梅森素數(shù)奇聞軼事

胡曉昕

素數(shù)，又叫質(zhì)數(shù)，是只能被自身和1整除的數(shù)。2300年前，古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素數(shù)有無窮多個，并提出少量素數(shù)可寫成“2P-1”（其中指數(shù)P也是一個素數(shù)）的形式。由于2P-1型素數(shù)具有許多獨特的性質(zhì)和無窮的魅力，千百年來一直吸引著許多數(shù)學家和無數(shù)業(yè)余數(shù)學愛好者對它進行探究。這種特殊素數(shù)被稱為“梅森素數(shù)”（the Mersenne prime）。迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)了49個梅森素數(shù)。梅森素數(shù)被譽為“數(shù)海明珠”，在探究它的過程中，曾經(jīng)出現(xiàn)過不少奇聞趣事呢。

“數(shù)學英雄”歸歐拉

2P-1型素數(shù)貌似簡單，但當指數(shù)P值較大時，其探究難度就會很大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱難的計算。1772年，瑞士數(shù)學家、物理學家歐拉在雙目失明的情況下，花了兩天的時間，靠心算證明了231-1（即2147483647）是第8個梅森素數(shù)。這個具有10位的素數(shù)，堪稱當時世界上已知的最大素數(shù)。

歐拉第一個證實了梅森的預(yù)言——“231-1是個素數(shù)”；他證明這一素數(shù)的頑強毅力和解題技巧都令人贊嘆不已，他也因此獲得了“數(shù)學英雄”的美名。難怪法國大數(shù)學家拉普拉斯經(jīng)常對他的學生說：“讀讀歐拉，他是我們每一個人的老師?！?/p>

蓋上素數(shù)的郵戳

1963年6月2日晚上8點，當美國數(shù)學家吉利斯領(lǐng)導(dǎo)的研究小組通過大型計算機找到第23個梅森素數(shù)——211213-1時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時間發(fā)布了這一振奮人心的消息。

吉利斯所在的伊利諾伊大學數(shù)學系為這一重大發(fā)現(xiàn)感到無比驕傲。為了讓全世界都分享這一研究成果，以致于把所有從系里發(fā)出的信件上都蓋上了“211213-1是個素數(shù)”的郵戳。這一做法一直延續(xù)到1976年該系數(shù)學家證明著名的“四色定理”為止。

“素數(shù)大王”的誕生

隨著指數(shù)P值的增大，每一個梅森素數(shù)的產(chǎn)生都艱辛無比；而數(shù)學家和業(yè)余數(shù)學愛好者仍樂此不疲，激烈競爭。例如，在1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數(shù)——223209-1時，有人告訴他們：在兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經(jīng)給出了同樣結(jié)果。

為此他們潛心發(fā)奮，繼續(xù)尋找，使用Cray-1型超級計算機，并花了一個半月的時間，終于找到了新的梅森素數(shù)——244497-1。這件事成了當時不少主流報紙的頭版新聞。后來史洛溫斯基還獨自發(fā)現(xiàn)了6個梅森素數(shù)，因而被人們譽為“素數(shù)大王”。順帶一提，目前找到梅森素數(shù)最多的單位是美國加州大學洛杉磯分校數(shù)學系，一共發(fā)現(xiàn)8個。

靈機一動見曙光

梅森素數(shù)的分布時疏時密、極不規(guī)則，因此探究梅森素數(shù)的重要性質(zhì)——分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素數(shù)更為復(fù)雜。英、法、德、美等國的數(shù)學家都曾分別給出過有關(guān)梅森素數(shù)分布的猜測，但他們的猜測都以近似表達式給出，而且與實際情況的接近程度均難如人意。中國數(shù)學家、語言學家周海中1976年在廣東雷州半島當“下鄉(xiāng)知青”時就開始探究梅森素數(shù)的分布規(guī)律。他有過無數(shù)次的失敗，但并不氣餒。有一天，他在閱讀一本關(guān)于法國數(shù)學家費馬的書時，突然想到了“費馬數(shù)”的形式，這為他日后解決這一難題找到了突破口。

經(jīng)過多年的不懈努力，周海中終于在1992年正式提出了以精確表達式給出的梅森素數(shù)分布的猜測。后來這項重要成果被國際上命名為“周氏猜測”。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主塞爾伯格認為：周氏猜測具有創(chuàng)新性，開創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法；其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上。

網(wǎng)格技術(shù)顯身手

在“手算筆錄”的年代，人們僅找到12個梅森素數(shù)。而計算機的誕生，尤其是網(wǎng)格技術(shù)的出現(xiàn)，加速了梅森素數(shù)探究的進程。1996年，美國數(shù)學家、程序設(shè)計師沃特曼編制了一個梅森素數(shù)計算程序，把它放在網(wǎng)頁上供數(shù)學家和業(yè)余數(shù)學愛好者免費使用。它就是舉世聞名的“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”（GIMPS）項目。該項目采取網(wǎng)格計算的方式，并利用大量普通計算機的閑置處理能力來獲得相當于超級計算機的運算能力。為了激勵人們尋找梅森素數(shù)和促進網(wǎng)格技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國的電子新領(lǐng)域基金會1999年設(shè)立了專項獎金懸賞參與GIMPS項目的梅森素數(shù)發(fā)現(xiàn)者；但絕大多數(shù)研究者參與該項目不是為了金錢而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。

迄今為止，人們通過GIMPS項目找到了15個梅森素數(shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國、英國、法國、德國、挪威和加拿大。目前，全球已有190多個國家和地區(qū)近64萬人參加了這一國際合作項目，并動用了超過124萬臺計算機聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素數(shù)。

同人不同命

2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校數(shù)學系計算中心的雇員史密斯，通過GIMPS項目發(fā)現(xiàn)了第46個梅森素數(shù)——243112609-1。他是私自利用中心內(nèi)的75臺計算機參加該項目的。按校規(guī)他本應(yīng)受到處罰，但由于為學校爭了光，他反被表彰。著名的美國《時代》周刊曾將第46個梅森素數(shù)評為“2008年度50項最佳發(fā)明”之一。此外，史密斯還獲得了EFF頒發(fā)的10萬美元大獎及金牌一枚。

另一位仁兄就沒有這樣的運氣了。美國一家電話公司的雇員福雷斯特偷偷使用公司內(nèi)的2585臺計算機參加GIMPS項目。隨后公司發(fā)現(xiàn)計算機經(jīng)常會出些差錯，本來只需要5秒鐘就可以接通的電話號碼，實際卻需要5分鐘才能接通。聯(lián)邦調(diào)查局最終查到了原因，福雷斯特承認“被GIMPS項目引誘”。他最后被解雇，還被罰款一萬美元。

功夫不負有心人

美國密蘇里中央大學數(shù)學教授庫珀從2002年起就參加了GIMPS項目，他與本?；瘜W教授布恩合作，于2005年和2006年先后找到兩個梅森素數(shù)——230402457-1和232582657-1。他們的研究成果不僅推進了梅森素數(shù)的探究，也提升了學校的知名度。后來，布恩因精力和時間問題退出這項研究，庫珀只好一個人繼續(xù)探究了。在校方的支持下，他動用了全校實驗室里的800多臺計算機，于2013年1月25日找到了第48個梅森素數(shù)——257885161-1。美國數(shù)學學會發(fā)言人布林說：“這個超大素數(shù)令數(shù)學家和計算機科學家感到興奮?！彼赋觯@是素數(shù)探究的一項重大突破。

布恩再接再厲、趁熱打鐵，于2016年1月7日又找到了一個更大的素數(shù)——274207281-1；該素數(shù)是第49個梅森素數(shù)，也是目前人類已知的最大素數(shù)，它長達22338618位。如果用普通字號將它打印下來，其長度可超過90公里！美國《赫芬頓郵報》認為，這是一項重大的科技成就。

發(fā)現(xiàn)芯片有漏洞

2015年第四季度上市的Intel Skylake是美國英特爾公司的第六代核心處理器，這個全新一代的處理器與第五代Broadwell處理器一樣使用14納米工藝，號稱不僅提升了CPU性能，尤其是3D游戲性能，還特別注重節(jié)能性。但2016年初德國一名GIMPS項目參與者發(fā)現(xiàn)：當Intel Skylake處理器在執(zhí)行Prime95應(yīng)用來尋找梅森素數(shù)時，運算到指數(shù)P=14942209時就出現(xiàn)了觸發(fā)系統(tǒng)死機的漏洞。

Prime95是一款運行于微軟視窗中的開源軟件，由創(chuàng)立GIMPS項目的沃特曼編寫，這款軟件可以用來測試系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在所有的拷機軟件中，Prime95是公認的最殘酷的一款。它把負荷高得有點離譜的工作量加載在中央處理器身上，以此來考驗中央處理器的承受能力。這種測試因其可以發(fā)現(xiàn)其他測試程序無法發(fā)現(xiàn)的穩(wěn)定性問題而備受關(guān)注，更被計算機制造商用來確定計算機的穩(wěn)定性。由此可見，梅森素數(shù)的尋找還可以發(fā)現(xiàn)計算機芯片是否存在問題。