基于最小二乘法灰色模型的人口數(shù)量預測

徐旖旎

摘要：為了響應基本國策，因此需要對人口進行預測并研究，為國家的民生發(fā)展提供重要的參考依據(jù)。采用普通的人口統(tǒng)計學模型難以精準的作出預測，因此要選擇一個具有高精準性的人口模型。這個模型必須符合人口發(fā)展的基本理論，并且還要求模型數(shù)據(jù)的真實性，從而為相應預測提供真實的依據(jù)。

關(guān)鍵詞：人口預測；數(shù)學模型；人口統(tǒng)計

一、前言

在普通模型的基礎(chǔ)上對其進行優(yōu)化和新陳代謝，可以分別生成模型一和模型二。利用最小二乘法對模型一和模型二所預測的兩組數(shù)據(jù)結(jié)合真實的數(shù)據(jù)并擬合，從而得到相應的關(guān)鍵參數(shù)，并利用該參數(shù)建立第三個模型[1]。模型三是基于最小二乘法的GM（1，1）模型。對三個模型所預測的數(shù)據(jù)進行對比，分析出誤差最小的模型，從而該模型最符合實際。

二、灰色預測模型概述

（一）預測的步驟

設(shè)x（0）為n個元素的原始數(shù)據(jù)序列x（0）=[ x（0）（1）， x（0）（2）… x（0）（n）]

1、處理數(shù)據(jù)

為了使得所建立的模型具有真實可靠性，首先要對數(shù)據(jù)做出檢驗并處理。假設(shè)所參考的數(shù)據(jù)如下：

x（0）=[ x（0）（1）， x（0）（2）…x（0）（n）]，對數(shù)列的級比進行計算得出如下結(jié)論：

λ（k）= x（0）（k-1）x（0）（k），（k=2，3，，n）

2、模型建立

x（1）（K+1）= x（0）（1）bae-ak+ ba

x（0）（K+1）= x（1）（K+1）- x（1）（K）

3、進行預測值檢驗

采用殘差檢驗的方法，假設(shè)殘差為E（k），E（k）= x（0）（k）-x（0）（K）x（0）（K），（k=1，2，3，，n），能否達到要求主要是看E（k）是否小于0.2，E（k）小于0.1就認為達到了高級別的要求。

采用級比偏差值檢驗，對所參考的數(shù)據(jù)的級別K0（k）進行計算，利用a即發(fā)展系數(shù)，從而求得相應的級比偏差。

計算Q（k）=1-1-0.5a1+0.5aλ0（k），最后結(jié)果小于0.2才算是達到了一般要求，最后結(jié)果小于0.1才算是達到高級別的要求[2]。

（二）優(yōu)化的GM（1，1）模型

原始非負時間序列為X（0）=X（0）1，X（0）2，…，X（0）n， 累加生成序列為X（1）t，如下：

X（1）t=∑im=1X（0）m，t=1，2，…，n（1）

其白化微分方程為：dX（1）dt+aX（1）=u（2）

上述兩式當中，a作為辨識參數(shù)；u作為待辨識內(nèi)生變量。設(shè)待辨識向量=au， 按最小二乘法求得=（BTB）-1BTy式中

B=-12X（1）（1）+X（1）（2）1-12X（1）（2）+X（1）（3）1………-12X（1）（n-1）+X（1）（n）1

y=X（0）2X（0）3…X（0）n

如下所示，即為GM（1，1）預測的離散時間響應函數(shù)：

X（1）t+1=X（0）1-uae-at+ua（3）

累加的預測值為X（1）t+1，通過對預測值還原可得到如下所示函數(shù)：

（0）t+1=（1）t+1-（1）t，t=1，2，3…n（4）

所建立的新陳代謝模型就是在原始序列x（0）=[ x（0）（1）， x（0）（2）…x（0）（n）]的基礎(chǔ)上，建模之后將預測值x（0）（n+1）求得，并將最新的信息加入序列當中，并且還要去掉舊的信息x（0）（1），從而才能夠保證序列長度不變，以此類推得出GM（1， 1）模型群。

三、利用最小二乘法灰色模型對人口統(tǒng)計進行預測

由于灰色建模的數(shù)據(jù)都會在5維以上，同時序列越短誤差越小，預測時間越短誤差越小，預測的時間越接近誤差也會相應減小。5維和6維的灰色預測模型精度高，誤差小，與實際值最為接近。根據(jù)實際情況，可將5維模型作為最佳的預測模型。

（一）利用優(yōu)化的GM（1，1）預測

以1950-1999年的人口數(shù)據(jù)為依據(jù)，對2000-2005年的人口進行預測，利用普通灰色模型得出相應的預測結(jié)果：

X1 =[x11 ， x12 ， x13 ， x14 ， x15 ]

式中， x1j 表示采用這種方法第j年預測的數(shù)據(jù)結(jié)果。

（二）利用新陳代謝的GM（1，1）預測

同理，可預測2000-2005年的人口數(shù)據(jù)，并對GM（1，1）模型進行優(yōu)化得到相應的預測結(jié)果：X2 =[x21 ，x22 ，x23 ，x24 ，x25 ]

其中， x2j 表示采用這種方法第j年預測的數(shù)據(jù)結(jié)果。

（三）最小二乘法的GM（1，1）預測

對于2000-2005年的人口實際數(shù)據(jù)，通過查閱資料來檢驗預測的精準性。通過上述的方法可以得出預測結(jié)果。假設(shè)2000-2005年所預測的人口實際數(shù)據(jù)為Y=[y1 ，y2 ，y3 ，y4 ，y5 ]。

那么所改進的GM（1，1）模型為y=αx1+βx2+u，通過數(shù)據(jù)X1 ， X2 ， Y預測出系數(shù)α，β。利用模型一和模型二預測出x1 ， x2 。

綜上所述，最小二乘法的灰色預測模型三GM（1，1）為y=αx1+βx2+u。

四、預測結(jié)果

基于最小二乘法的GM（1，1），對我國人口總數(shù)做一個簡單的短期預測，詳細數(shù)據(jù)見表1。

五、結(jié)論

基于最小二乘法的GM（1，1）在對數(shù)據(jù)進行預測以及模擬的過程中較普通的GM（1，1）模型更為科學。與普通GM（1，1）模型相比，二者都是尋找一條和x（1）或x（0）高度擬合的曲線，本文所述的方法能保證整個原始序列與模擬序列的擬合度最好，所以具有可推廣性。（作者單位：山東科技大學礦業(yè)與安全工程學院）

參考文獻：

[1]宋健 田雪原 于景元等.人口預測和人口控制[M].北京：人民出版社，1980.

[2]許秀莉 羅鍵. GM（1，1）模型的改進方法及其應用[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2002，24（04）：61-63.