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    幾何問(wèn)題 抓住“點(diǎn)”

    2016-05-30 01:13:57李菁菁高明
    關(guān)鍵詞:輔助線

    李菁菁 高明

    【摘要】 在許多幾何問(wèn)題中都涉及特殊點(diǎn),如圓周上的切點(diǎn),角平分線上的點(diǎn),線段的中點(diǎn)等.當(dāng)求解含有這些特殊點(diǎn)的問(wèn)題時(shí),試著從這些“點(diǎn)”入手,把握住“點(diǎn)”的特征,根據(jù)已知條件作相應(yīng)的輔助線,從而尋找解題的突破口,利于解決幾何問(wèn)題.

    【關(guān)鍵詞】幾何問(wèn)題;特殊點(diǎn);輔助線

    在幾何問(wèn)題中常存在一些“點(diǎn)”,這里的“點(diǎn)”指的是如中點(diǎn),圓心,切點(diǎn)等特殊點(diǎn).在解決這類幾何問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是要抓住這些點(diǎn)的特征,根據(jù)點(diǎn)的性質(zhì)以及已知條件,適當(dāng)?shù)刈饕恍┹o助線,尋找有利于解題的信息,從而使問(wèn)題得到解決.下面,本文舉例說(shuō)明.

    例1 (2015全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽4)如圖,平行四邊形ABCD中,BC=2AB,DE⊥AB,M是BC的中點(diǎn),∠DEM=35°,則∠B的大小是( ).

    A.100° B.110° C.120° D.125°

    解析 由題可知∠BEM=90°-∠DEM=55°,而若不作輔助線,僅利用已知的邊角關(guān)系,此題不易解,要注意到,題中存在BC的中點(diǎn)M,則不妨取AD的中點(diǎn)N,并連接MN交ED于F點(diǎn),得右圖.因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別為BC、AD的中點(diǎn),所以MN平行且等于AB、CD.根據(jù)條件易證F為ED中點(diǎn),且有∠AED=∠NFD=∠MFE=∠MFD=90°,又因?yàn)镋F=DF,可證得△MFE≌△MFD(SAS),故∠FME=∠FMD.由BC=2AB且M是BC的中點(diǎn)可得MN=ND=DC=CM,則可證得△DMN≌△DMC(SSS),所以有∠FMD=∠CMD.故∠FME=∠FMD=∠CMD=∠MFE-∠DEM=55°,從而∠EMB=180°-3∠FME=15°,所以∠B=180°-(∠BEM+∠EMB)=110°,所以答案選B.

    評(píng)注 在幾何問(wèn)題中常有涉及中點(diǎn)、三等分點(diǎn)等等分點(diǎn)的問(wèn)題,它們不僅能將線段分成相等的幾個(gè)部分,還能與一些點(diǎn)構(gòu)成特殊角,所以在遇到等分點(diǎn)時(shí),通常需過(guò)該點(diǎn)作輔助線,從而形成利于解題的邊角關(guān)系.

    例2 如圖,在等腰三角形ABC中,以底邊AB的中點(diǎn)O為圓心作半圓,與兩腰相切于P,Q.在PQ上任意取一點(diǎn)D,過(guò)D作圓O的切線交兩腰于M,N.求證:AM與BN的乘積為定值.

    解析 要證明AM與BN的乘積為定值,則該定值一定與等腰三角形的邊有聯(lián)系,且AM與BN分別在△OMA與△NOB中,則要利用已知條件來(lái)尋找這兩個(gè)三角形的關(guān)系.此題存在切點(diǎn),則可先將切點(diǎn)與圓心連接起來(lái)(見(jiàn)右圖),以便于尋找利于解題的信息.因?yàn)椤螦=∠B,且∠APO=∠OQB=90°,所以可得∠1=∠6.又因?yàn)镺P=OD,∠MPO=∠MDO=90°,所以

    Rt△MOP≌Rt△MOD(HL),則可得∠2=∠3,同理可得Rt△DON≌Rt△QON,則∠4=∠5.因?yàn)椤?+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°,所以∠1+∠2+∠5=90°.又因?yàn)椤?+∠ONB=90°,所以可得∠1+∠2=∠ONB,即∠AOM=∠ONB,故△OMA≈△NOB,從而有AMAO=BOBN,則

    AM·BN=AO·BO=AB22,即證得AM與BN的乘積為定值.

    例3 (2015四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽13節(jié)選)如圖,已知△ABC和△DBE均為等腰直角三角形,且∠ABC=∠DBE=90°,A,B,D三點(diǎn)在同一直線上.∠BCD的平分線CF與∠CBD的平分線BF交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DC,垂足為G.求證:AD=CD+2FG.

    解析 最終要求證的等式中有FG,則要與點(diǎn)F發(fā)生聯(lián)系,由于點(diǎn)F是CF與BF的交點(diǎn),且CF與BF分別為∠BCD與∠CBD的角平分線,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,則不妨過(guò)點(diǎn)F分別作BC與BD的垂線,垂足分別為H、K,得右圖.因?yàn)镕G⊥DC,所以可知FG=FH,易證Rt△CFH≌Rt△CFG,所以有CH=CG.根據(jù)條件易證四邊形HBKF為正方形,則有HB=BK=KF=FH.因?yàn)椤螰KD=∠FGD=90°,且KF=FH=FG,所以有Rt△DFK≌Rt△DFG,故DK=DG,則AD=AB+BD=CB+BK+KD=CH+HB+FG+GD=CG+FG+FG+GD=CD+2FG.

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