對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點認識

闕鳳珍 溫少挺

【摘要】概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中至關(guān)重要的一項內(nèi)容，是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心.正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念；教學(xué)；思想方法

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，因此如何設(shè)計數(shù)學(xué)概念教學(xué)，怎樣加強概念教學(xué)，就值得深入地進行探討.本文結(jié)合教學(xué)實踐，談一些膚淺的看法.

一、正確認識數(shù)學(xué)概念的重要性

數(shù)學(xué)概念向來不被學(xué)生重視，大部分的學(xué)生認為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵就是做題，即便有些概念不是很清楚，只要多做一些題，就可以掌握相應(yīng)的定理、公式及法則，就可以學(xué)好數(shù)學(xué).事實上，數(shù)學(xué)概念是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、公式和數(shù)學(xué)法則的邏輯的基礎(chǔ)，只要理解并掌握了數(shù)學(xué)概念，掌握很多定理、公式與法則就易如反掌.例如，在我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)這一章時，只要弄清任意角三角函數(shù)的定義這一概念：在直角坐標系xOy中，對任意角α，在α的終邊上任取一點p（x，y）≠0，0，令|op|=r，則r=x2+y2≠0，定義正弦sinα=yr，余弦cosα=xr，正切tanα=yx，余切cotα=xy，正割secα=rx，余割cscα=ry，則對三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式比如sin2α+cos2α=1，tanα=sinαcosα等，以及誘導(dǎo)公式很容易的就掌握了.相反，恰恰是對數(shù)學(xué)概念的一知半解，導(dǎo)致學(xué)生不能理解記住掌握數(shù)學(xué)中的定理、公式以及法則，制約著學(xué)生成績的提高.因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當加強數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，使學(xué)生自覺養(yǎng)成嚴肅認真對待數(shù)學(xué)概念的習(xí)慣.

二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點認識

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式.從數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的客觀背景來說，有兩種情形：一是直接從客觀事物的空間形式或數(shù)量關(guān)系反映得來的，如幾何中點的概念等，二是在原有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多層次的抽象概括而形成的，如近世代數(shù)中的群、環(huán)、域概念等.但由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和明確規(guī)定性，很多教師在教學(xué)中往往以“告訴”的方式，先入為主的讓學(xué)生“占有”新概念，置學(xué)生于被動地位，使思維呈依賴性，這不利于創(chuàng)新型人才的培養(yǎng).因此，如何使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)概念，在概念教學(xué)中，教學(xué)方法尤為重要.

（一）闡明概念的實際意義

任一抽象概念，都有其客觀實際意義，對概念的理解，要首先注意到它反映了什么實際東西.拿導(dǎo)數(shù)這個概念來說，在此概念的建立和形成過程中，首先從實際問題出發(fā)，引入物體運動的瞬時速度與曲線的切線兩個實例，而后抽象出導(dǎo)數(shù)的概念.但這還不夠，最后還要指出導(dǎo)數(shù)是概括了各種各樣的變化率概念而得出的更一般更抽象的概念，它丟棄了自變量和因變量所代表的某種特殊意義，純粹從數(shù)學(xué)方面來刻畫變化率的本質(zhì).這樣的好處是：第一，能使學(xué)生了解這個概念的產(chǎn)生，不是憑人的主觀意識決定，而是客觀現(xiàn)實的要求；第二，這一概念不是空洞的詞句，而是有一定的實際內(nèi)容，這樣給出的定義，是扎實可靠的.

（二）引入新概念要遵從認識規(guī)律

數(shù)學(xué)概念本身具有概念的形成與概念的抽象性等特征，因而在這部分數(shù)學(xué)概念教學(xué)中更須遵循由特殊到一般，由局部到整體的觀察方法；遵循由現(xiàn)象到本質(zhì)，由具體到抽象的認識規(guī)律，使學(xué)生形成新的概念.如數(shù)學(xué)概念中的點、線、面、體、集合、對應(yīng)等概念的建立，就是通過大量具體的生產(chǎn)、生活中的具體實例抽象出來的.

（三）引入新概念要明確概念的層次性

首先，在復(fù)習(xí)舊有概念的基礎(chǔ)上導(dǎo)出新的概念.如中學(xué)數(shù)學(xué)中“導(dǎo)數(shù)”概念的建立，就是在函數(shù)的平均變化率及極限概念的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的.如果對預(yù)備概念不熟悉，必然影響新概念的建立.其次，針對概念形成的階段性，弄清概念形成的層次性.這個概念的產(chǎn)生，需要復(fù)習(xí)哪些預(yù)備概念，準備哪些舊有知識，教師要做到心中有數(shù)，講授前首先對預(yù)備概念進行復(fù)習(xí)，重點概念要反復(fù)強調(diào)，以便新概念的順利導(dǎo)出.

（四）提出概念中需要注意的細節(jié)問題

數(shù)學(xué)概念中，有一些細節(jié)性的東西容易被教師以及學(xué)生忽略，但恰恰正是這些細節(jié)問題嚴重影響學(xué)生對概念的理解，以至在處理問題時模棱兩可，對問題認識不清.因此，在概念教學(xué)中，必須提出需要注意的細節(jié)問題.如在講述反函數(shù)這一數(shù)學(xué)概念時，在介紹完反函數(shù)的概念后，再指出下面需要注意的問題：①反函數(shù)的定義域就是直接函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域就是直接函數(shù)的定義域；②函數(shù)y=f（x）與函數(shù)x=f-1y表示變量x與y的同一關(guān)系，因而它們的圖像是同一條曲線；③函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱；④函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)的充要條件是其定義域中的x與值域中的y是一一對應(yīng)的.這樣學(xué)生就能清楚地認識反函數(shù)這一概念了.

（五）指明容易出現(xiàn)的錯誤

如果錯誤的、模糊的概念一旦在學(xué)生頭腦中形成，先入為主，再糾正就很困難，而且遺患無窮.因此，在講述每一個概念時，要指明容易出現(xiàn)錯誤的地方，先入為主，使學(xué)生更清晰的認清新概念，以促進正確概念的形成.例如：在講無窮小的概念時，介紹無窮小的概念后需強調(diào)：①無窮小是個極限為零的變量或函數(shù)，而不是零；②無窮小不是一確定的常數(shù)，任意小的實數(shù)ε不是無窮小，比如10-100、10-1000不是無窮??；③“0”是唯一的無窮小的常數(shù)；④是不是無窮小與自變量的變化趨勢有關(guān)，所以說無窮小時必須指明自變量的變化趨勢.認清了這幾點，學(xué)生對無窮小的概念就十分清晰了.

（六）對一些不易理解的抽象概念注意分散難點

數(shù)學(xué)概念是對客觀事物的抽象概括，因而概念具有高度的抽象性，概念的這一特性為人們研究學(xué)習(xí)概念造成了一定的障礙.在概念教學(xué)中，對某些概念，一方面盡可能地從直觀入手；另一方面，也應(yīng)對概念進行定性分析、定量分解，達到分散難點的目的，使概念變得容易被接受.例如在講“函數(shù)f（x）在x→x0時的極限”的定義時，首先舉出幾個簡單函數(shù)的例子，比如f（x）=x+1在x→1時函數(shù)值無限接近于2.函數(shù)值隨自變量的變化如下表：

從上表中容易看出，當x越來越接近1時，f（x）就越來越接近于2，即f（x）與2的差值越來越接近于0，還可看出x無論是從1的左側(cè)還是從1的右側(cè)趨向于1時，|f（x）-2|都越來越小，這時就稱x→1時，f（x）以2為極限.

又比如考察函數(shù)f（x）=x2-1x-1在x→1時的變化情況.函數(shù)在x=1處沒有定義，而x≠1時，f（x）=x2-1x-1=x+1，故f（x）在x→1時函數(shù)值隨自變量的變化同表1，所以當x越來越接近1時，f（x）就越來越接近于2，即f（x）在x→1時也以2為極限.但從這個函數(shù)我們看到，函數(shù)在一點處的極限值與這一點的情況無關(guān).由此，便可以給出關(guān)于x→x0時函數(shù)極限的定義：設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，A為常數(shù)，如果在自變量x→x0的變化過程中，函數(shù)值f（x）無限接近于A，就稱A是函數(shù)f（x）當x→x0時的極限.

通過這六個方面，可以在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，一改傳統(tǒng)方式，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解與記憶，改善課堂結(jié)構(gòu)，真正落實了教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位.通過概念教學(xué)，不僅培養(yǎng)了學(xué)生動腦筋的習(xí)慣，也使學(xué)生領(lǐng)悟到具體問題要具體分析.久而久之，培養(yǎng)了學(xué)生的解題能力，獲得情感、能力、知識的全面發(fā)展.同時，教師在精心設(shè)計師生共作的過程和精心編選例習(xí)題的過程中也可以不斷提高自身素質(zhì)，達到教學(xué)相長的目的.

【參考文獻】

[1]趙雙貴.淺談數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J].焦作大學(xué)學(xué)報，2001，3.