淺談數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用

謝雨嫣

【摘要】數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)命題的極為有效的科學(xué)方法，其應(yīng)用十分廣泛。從初中接觸數(shù)學(xué)歸納法開始，它就和我們結(jié)下了不解之緣。了解數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的歷史，是掌握數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)。理解數(shù)學(xué)思想方法和原理，是掌握數(shù)學(xué)歸納法的重要途徑。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法思想于生活中解決實(shí)際問題，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的目的

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法;遞歸

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)有關(guān)命題的極為有效的方法。從它被納入初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱就可以看出它的重要性。在實(shí)踐中，用于證明問題的方法越來越多，但首選還是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)樗亲钪庇^、最簡(jiǎn)便的。

一、數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)歸納法是一個(gè)很重要的證明方法，從數(shù)學(xué)歸納法被發(fā)現(xiàn)、發(fā)展到實(shí)用，關(guān)于它的相關(guān)知識(shí)逐漸豐富到逐步完善。了解數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的歷史，是掌握數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)。理解數(shù)學(xué)思想方法和原理，是掌握數(shù)學(xué)歸納法的重要途徑。數(shù)學(xué)歸納法的靈魂是遞歸思想，掌握它不但能培養(yǎng)我們以數(shù)學(xué)思想思考問題的習(xí)慣，還能提高我們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)、歸納規(guī)律的能力。

（一）數(shù)學(xué)歸納法的本源

先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律，再?gòu)睦碚撋蟻碜C明這一規(guī)律的一般性，這是人們認(rèn)識(shí)客觀法則的方法之一。以小孩子識(shí)數(shù)為例。他們剛開始都是從一學(xué)起，一直學(xué)下去，直到某一時(shí)刻，他們領(lǐng)悟了，所有的數(shù)字都會(huì)數(shù)了。這是一個(gè)認(rèn)識(shí)的飛躍，竟從有限躍到了無窮！這就是一個(gè)規(guī)律的總結(jié)。解釋這個(gè)飛躍現(xiàn)象的原理，就是數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法大大地幫助我們認(rèn)識(shí)客觀事物，由簡(jiǎn)到繁，由有限到無窮。

我們認(rèn)識(shí)事物的時(shí)候，會(huì)自然的總結(jié)事物的規(guī)律，用一種設(shè)想將事物給描述出來。當(dāng)我們對(duì)事物有了新的認(rèn)識(shí)的時(shí)候，我們要推翻前面的設(shè)想，再總結(jié)出一個(gè)新的設(shè)想。首先我們可以把對(duì)該事物最基本的認(rèn)識(shí)做為第一個(gè)命題，這是能夠保證其正確性的;如果我們可以證明在此基礎(chǔ)上的第k個(gè)認(rèn)識(shí)是正確的時(shí)候，第k+1個(gè)認(rèn)識(shí)也是正確的，那么，這一系列認(rèn)識(shí)就全部正確。前面的例子也很直觀的說明了這個(gè)問題。

（二）數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)展歷史

正整數(shù)可以說是人們最先認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)概念之一。關(guān)于正整數(shù)，人們最初只是對(duì)有限個(gè)正整數(shù)的問題進(jìn)行處理。而正整數(shù)是一個(gè)無限集。人們研究正整數(shù)就不可避免的要涉及到無限集的問題。但人們不可能對(duì)正整數(shù)做無限次的操作，所以人們只有通過某種方法來實(shí)現(xiàn)以有限次的操作去獲取無限集的某些性質(zhì)，來研究涉及無限集的問題。

1893年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾建立起正整數(shù)的公理體系，他把數(shù)學(xué)歸納法作為一條公理納入他的正整數(shù)公理系統(tǒng)之中。其形式一般為：

“如果一個(gè)由正整數(shù)組成的集合S包含有1，又如果S包含有某一數(shù)a，就必然也包含有a的后繼（即a+1），則S就包含所有的正整數(shù)?！?/p>

此后，數(shù)學(xué)歸納法成為證明關(guān)于正整數(shù)的命題的首選方法，并且又發(fā)展出若干變型，如第一數(shù)學(xué)歸納法，倒推數(shù)學(xué)歸納法等。

（三）數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)

對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法并能正確應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)歸納法被明確提出并廣泛應(yīng)用的很長(zhǎng)一段時(shí)間里，它的邏輯基礎(chǔ)仍是不明確的。直到1889年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾發(fā)表了《算術(shù)原理新方法》，建立起關(guān)于正整數(shù)的5條公理，才使嚴(yán)格意義下的數(shù)學(xué)歸納法得以進(jìn)一步明確。

正整數(shù)五條公理：

（1）1是正整數(shù);

（2）1不是任何正整數(shù)的后繼者;

（3）每一個(gè)正整數(shù)a都是一個(gè)后繼者;

（4）若a與b的后繼者相等，則a與b也相等;

（5）若有一個(gè)由正整數(shù)組成的集合S含有1，又若當(dāng)S含有任一數(shù)a時(shí)，它一定也含有a的后繼者，則S就含有全部正整數(shù)。

正整數(shù)理論的建立，標(biāo)志著數(shù)學(xué)歸納法邏輯基礎(chǔ)的奠定。數(shù)學(xué)歸納法原理可表述為：設(shè)p（n）是與自然數(shù)n有關(guān)的一個(gè)命題，如果p（1）成立，若p（k）成立，則p（k+1）成立，那么p（n）對(duì)一切正整數(shù)n都成立。

數(shù)學(xué)歸納法有著許多變種，但它的本質(zhì)還是“1對(duì);假設(shè)k對(duì)，k+1也對(duì)”，理解它并掌握，那么我們也可以變著法子來運(yùn)用。

在數(shù)學(xué)歸納法的證法里，它的兩個(gè)命題都是不可缺少的。即便它是對(duì)在n等于1乃至n等于1萬都成立，它對(duì)于任何自然數(shù)是否都成立呢？這卻是并不一定的。這樣，對(duì)于后面那個(gè)命題，一般不會(huì)被我們遺忘。但是，值得注意的是，我們不能以為“當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)命題是正確的”這句話簡(jiǎn)單而忽略它。在證題時(shí)，如果只證了“假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，這個(gè)命題是正確的，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，這個(gè)命題也是正確的”，那么這個(gè)證明是不完整的、不正確的，它甚至?xí)贸龇浅；闹嚨慕Y(jié)論。

如：所有的正整數(shù)都相等。

這個(gè)命題顯然是荒謬的。但是如果我們忽略掉“1對(duì)”，那么可以用那個(gè)不完整的“數(shù)學(xué)歸納法”來“證明”它。

首先，我們假設(shè)“第k-1個(gè)正整數(shù)等于第k個(gè)正整數(shù)”是正確的，即k-1=k;

這時(shí)兩邊都加1，則得k=k+1，即

“第k個(gè)正整數(shù)等于第k+1個(gè)正整數(shù)”也是正確的。

這樣，我們就得到了所有的正整數(shù)都相等這個(gè)結(jié)論。所以說，數(shù)學(xué)歸納法的2個(gè)組成部分是缺一不可的。

數(shù)學(xué)歸納法與一般歸納法的根本區(qū)別在于，數(shù)學(xué)歸納法具有明確的論證意識(shí)，通過應(yīng)用歸納法步驟和傳遞步驟來確保論證的嚴(yán)密性和正確性。龐加萊很明確的指出了普通歸納法和數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)區(qū)別，他說：“我們必須承認(rèn)，這和通常的歸納程序有及其相似之處。但是，其中有一個(gè)根本的不同。歸納法，當(dāng)其應(yīng)用于自然科學(xué)時(shí)，常是不確定的，因?yàn)樗幕A(chǔ)是相信宇宙中有一種普遍順序，一種在我們之外的順序。相反，數(shù)學(xué)歸納法，即遞歸證法，把自然視為一種必然，因?yàn)樗贿^是心靈本身的一種性質(zhì)……”。

（四）遞歸函數(shù)

遞歸思想是數(shù)學(xué)歸納法的靈魂。一般來說，遞歸函數(shù)是一個(gè)在正整數(shù)集上定義了的函數(shù)。首先，有定義;其次，如果知道了，……，，那么也就完全知道了。

如：由

定義了一個(gè)遞歸函數(shù)。通過計(jì)算，可以知道=1，?=2，?=4，=7，……，從而可以得出這個(gè)遞歸函數(shù)就是

這個(gè)等式就變成一個(gè)需要“證明”的問題。而由數(shù)學(xué)歸納法可以很輕松的解決這個(gè)問題。

二、數(shù)學(xué)歸納法的數(shù)學(xué)應(yīng)用

（一）代數(shù)恒等式方面的應(yīng)用

例 1：等差數(shù)列的第n項(xiàng)，可以用公式

表示。這里，a1是它的首項(xiàng)，d是公差。

證明：當(dāng)n=1時(shí)，，（1）式是成立的。

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，（1）式成立，那么有

=

=

所以當(dāng)n=k+1的時(shí)候，（1）式也是成立的。

綜上所述，對(duì)于所以的n，（1）式都是成立的。

例 2：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和，可以用公式

表示。這里，是它的首項(xiàng)，是公差。

證明 ??當(dāng)=1的時(shí)候，?=，（2）式是成立的。

假設(shè)當(dāng)=k的時(shí)候，（2）式是成立的，那么

=

=

=+

所以當(dāng)n=k+1的時(shí)候，（2）式也是成立的。

綜上所述，對(duì)于所以n，（2）式都是成立的。

這一個(gè)公式我們經(jīng)常應(yīng)用它解決一些數(shù)學(xué)題目，以前單純的相信它，而不去思考它的正確性。但是現(xiàn)在我們?cè)谑褂靡粋€(gè)公式前都應(yīng)該先運(yùn)用自己已有的知識(shí)去嘗試證明它，去思考它是怎么歸納出來的。這個(gè)時(shí)候，數(shù)學(xué)歸納法將是我們最好的幫手。

（二）不等式方面的應(yīng)用

例3：求證n個(gè)非負(fù)數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)。

n個(gè)非負(fù)數(shù)，，……，的幾何平均數(shù)是;

算術(shù)平均數(shù)是

所以本題就是要求證明：

證明 ?當(dāng)n=1時(shí)，（3）式顯然成立。

假設(shè)0<≦≦……≦

如果，那么所有的（j=1，2，……，n）都相等，（3）式顯然成立。

進(jìn)一步假設(shè)<，并且假設(shè)

成立。顯然（4）式的右邊<

因?yàn)???=

= ?+

把等式兩邊都乘方n（n 1）次，并且由

> ?+ （a>0，b>0）

可知

>

+n（）

=

≧

=……

所以

≦

也成立。于是定理得證。

上題可以說是不等式證明方面的一個(gè)比較輕松的例題。因?yàn)閷?duì)于不等式方面的證明并不像恒等式那么直觀，所以僅僅是會(huì)生搬數(shù)學(xué)歸納法的證明公式已經(jīng)無法滿足解題需要，我們必須理解數(shù)學(xué)歸納法的思想才能靈活應(yīng)用。

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法思想于生活中解決實(shí)際問題，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的目的。數(shù)學(xué)歸納法不僅僅只是一個(gè)證明數(shù)學(xué)問題的證明方法，它包含了一個(gè)很好的看待事物的思想。在日常生活中以數(shù)學(xué)歸納法的思想看待問題可以幫助我們很輕松的解決一些看起來很復(fù)雜的問題。

數(shù)學(xué)歸納法的靈魂是遞歸思想。貫徹好數(shù)學(xué)歸納法的思想，不但可以幫助我們做“進(jìn)”的思考，還能輔助我們做“退”的思考。把一個(gè)比較復(fù)雜的問題，“退”成最簡(jiǎn)單最原始的問題，把這個(gè)最簡(jiǎn)單最原始的問題想通了、想透了，然后再用數(shù)學(xué)歸納法來一個(gè)飛躍上升，于是問題就迎刃而解了。

在實(shí)際生產(chǎn)中，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)例也是比比皆是，如氣象工作者、水文工作者，地震工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，地震預(yù)測(cè)用的就是歸納法。在我們普通人的生活中，比如排隊(duì)對(duì)齊問題，運(yùn)用老師教的經(jīng)驗(yàn)我們很快就整齊了，可是這些經(jīng)驗(yàn)是怎么出來的呢？這就好像我們一直知道“1+1=2”，可是它為什么等于2呢？真正貫徹?cái)?shù)學(xué)歸納法于思想中，認(rèn)識(shí)事物將從本質(zhì)出發(fā)，或許還能留下一些經(jīng)驗(yàn)給后人以方便。