例析電磁學中的等效處理

曾明

在一些物理問題中，一個過程的發(fā)展，一個狀態(tài)的確定，往往是由多個因素決定的，在這些因素中，若某些因素所起的作用和物理學中另一個因素所起的作用相同，則這些因素與這一個因素是等效的，它們便可以互相代替，且對過程的發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結果并不受影響，這種以等效為前提而使某些因素互相代替來研究問題的方法就是等效法.

等效思維的實質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復雜的實際問題變換為簡單的熟悉問題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中的規(guī)律.因此應用等效法時往往是用較簡單的因素代替較復雜的因素，以使問題得到簡化而便于求解.

實際上，高中物理課本中在很多地方都采用了這種方法.如力的合成和分解、運動的合成和分解、復雜電路的簡化等，都采用了等效思維法.下面舉例分析用等效法處理電磁學中的一些常見問題.

例1 氫原子的核外電子質(zhì)量為m，帶電量為e，最小的軌道半徑為r，試計算電子在軌道上運動的等效電流強度.

解析 氫原子的核外電子在庫侖力作用下繞核做勻速圓周運動，其定向移動形成的電流可等效為環(huán)形電流.要求電子運動的電流強度，根據(jù)電流強度定義式知，只要求出單位時間內(nèi)通過某一截面的電量即可.氫原子的核外電子在一個周期內(nèi)，旋轉一周，設周期為T，則

T=2πrv

①

又因為電子繞核旋轉所需的向心力為庫侖力，則有

ke2r2=mv2r

②

由①②式解得：

v=ke2mr=ekmr

由此可得電流強度

I=eT=e22πrkmr.

圖1例2 半徑為r的絕緣光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，環(huán)上套有一質(zhì)量為m、帶正電的珠子，空間存在水平向右的勻強電場，如圖1所示.珠子所受電場力是重力的34倍.將珠子從環(huán)上最低位置A點由靜止釋放，則：

（1）珠子所能獲得的最大動能是多少？

（2）珠子對圓環(huán)的最大壓力是多少？

圖2解析 珠子從A點靜止釋放后，在電場力和重力作用下向右運動，如果按常規(guī)方法直接求珠子獲得的最大動能及對圓環(huán)的最大壓力，比較麻煩.為此，可把珠子受到恒定的電場力與重力的合力求出，作為珠子處在等效重力場中的等效重力G′，如圖2甲所示，其等效重力為G′=（mg）2+（34mg）2=54mg，等效重力加速度g′=G′m=54g.與豎直方向的夾角θ=37°.

所以B點為等效重力場中圓周的最高點，C為最低點.如圖2乙所示.珠子做圓周運動時相當于只受等效重力和環(huán)對它的彈力作用.由此可知，珠子在C點時獲得的動能最大，相應的壓力最大.

（1）在等效重力場中應用能量守恒定律得：珠子獲得的最大動能為：

Ekm=mg′r（1-cosθ）=54mgr（1-cos37°）

=14mgr.

（2）在C點由牛頓第二定律得：

Nm-mg′=mv2r，Nm=54mg+12mg=74mg

由牛頓第三定律可知，珠子對圓環(huán)的壓力為74mg.

例3 如圖3所示，R1、R2、R3為定值電阻，但阻值未知，Rx為電阻箱.當Rx為Rx1=10Ω時，通過它的電流Ix1=1A；當Rx2=18Ω時，通過它的電流Ix2=0.6A，則當Ix3=0.1A時，求電阻Rx3.

圖3 圖4解析 電源電動勢E、內(nèi)阻r，電阻R1、R2、R3均未知，按題目給的電路模型列式求解，方程數(shù)將少于未知數(shù).于是可采取變換電路結構的方法，作等效處理.

把圖中Rx左邊部分的整個電路看成新的電源，則等效電路如圖4所示，設此時新電原電動勢為E′、內(nèi)電阻為r′，根據(jù)電學知識，新電路不改變Rx和Ix的對應關系，有

E′=Ix1（Rx1+r′）

①

E′=Ix2（Rx2+r′）

②

E′=Ix3（Rx3+r′）

③

由①②兩式得：

E′=12V，r′=2Ω.

代入（3）式可得：

Rx3=118Ω.

例4 如圖5所示，把輕質(zhì)線圈用細線掛在磁鐵N極附近，磁鐵的軸線穿過線圈的圓心且垂直于線圈平面.當線圈內(nèi)通過圖示方向的電流時，線圈怎樣運動？

圖5 圖6解析 如果直接畫出磁鐵產(chǎn)生的磁場，然后研究線圈的受力情況，必須采用微元分析法，較麻煩.為此可將線圈等效為一個條形磁鐵，如圖6所示，再由磁極間的相互作用判斷出相互吸引.所以線圈將向磁鐵方向運動.

圖7例5 在豎直放置的光滑、絕緣圓環(huán)上，有一帶負電、可以滑動的小球m套在環(huán)的頂端，整個裝置放在如圖7所示的正交勻強電、磁場中，磁場與環(huán)的圓面垂直.若小球所受的電場力和重力的大小相等，則當小球沿環(huán)相對于圓心滑過多大角度時，它所受的洛侖茲力最大（ ）.

A.π4 B.π2 C. 3π4 D. π

解析 小球從A點開始，在重力和電場力作用下向左運動.要使它所受洛侖茲力最大，速度必為最大，但要討論小球運動到什么位置時速度最大，比較麻煩.為此，可把小球受到不變的重力和電場力的合力求出，作為等效重力G′，其方向與豎直方向成45°角斜向左下方，如圖8甲所示，其做圓周運動的等效最高點和等效最低點分別為C和D，如圖8乙所示.由動能定理知小球在D點速度達到最大.即小球從最高點A逆時針運動到D點時，所受洛侖茲力最大，滑過的角度為3π4.故C正確.

圖8例6 如圖9所示表示置于同一水平面內(nèi)的兩平行長直導軌相距L=0.3m，兩導軌間接有一固定電阻R=5Ω和一個內(nèi)阻為零、電動勢E1=6V的電原，兩導軌間還有如圖示的豎直方向的勻強磁場.兩導軌上置有一根導體棒MN，棒與導軌間的滑動摩擦力大小為f=0.1N，棒及導軌電阻均不計.當接通開關S時，棒由靜止開始在導軌上滑動直至獲得穩(wěn)定速度v.為使v最大，磁場的磁感應強度B應為多大？此時v值為多少？

圖9 圖10解析 接通開關S時，棒中通有從M至N方向的電流，受水平向右的安培力作用，向右做加速

運動.同時MN切割磁感線又產(chǎn)生感應電動勢，其電路可等效為圖10所示，隨著速度v增大，感應電動勢E增大，電流減小，安培力減小，當棒MN做勻速運動時，棒MN的速度v最大，若將R作為電源E1的內(nèi)阻看待，等效為一個新的電源，當MN中速度最大時，動能最大，則等效電源有最大的輸出功率.即fvm=E214R.最大速度vm=E214Rf=18m/s.根據(jù)直流電路的輸出功率最大時，內(nèi)外電壓相等得E12=BLvm，此時磁感應強度B=E12Lvm=59T.

例7 如圖11甲所示的直流電通過圖11乙中的電阻R，則交變電流表的示數(shù)為多少？

解析 當圖11甲的電流通過圖11乙時，直流電的大小是變化的，它不屬于恒定電流，而交流電流表的示數(shù)為電流的有效值，但這個電流有效值不是52A.顯然應從電流有效值定義來求解.

圖11圖11甲中的i-t圖象是正弦曲線，在半個周期內(nèi)，它的有效值與正弦交變電流的有效值相同，再根據(jù)直流電在一個周期內(nèi)所做的功和其有效值做功等效的關系，就可以求出通過電流表的示數(shù).由圖11甲知Im=5A，

I=12Im=2.52A.

由I2R·T2=I2ART 得IA=I2=2.5 A.

所以電流表的示數(shù)為2.5A.

（收稿日期：2015-05-16）