肖運彭
【摘要】 對于高考數(shù)學(xué)題或相應(yīng)的模擬題,教師們往往習(xí)慣用初等數(shù)學(xué)知識進行求解,實際上,能夠運用高等數(shù)學(xué)的思想方法求解,無疑對提高教師的解題能力,拓展教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng),轉(zhuǎn)變教師認(rèn)識視角,深刻理解新課改理念,把握高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)關(guān)系有非常顯著的促進作用. 作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師,不僅要學(xué)會用初等數(shù)學(xué)方法解決問題,而且要不斷深入的研究《數(shù)學(xué)分析》、《高等代數(shù)》、《高等數(shù)學(xué)》等課程,對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用. 因此、本文就以一道模擬題為例,簡要闡述拉格朗日常數(shù)法,在解決中學(xué)數(shù)學(xué)中條件最值問題時帶來的巨大方便. 以便老師能夠體會高等數(shù)學(xué)方法的作用及意義. 【關(guān)鍵詞】 拉格朗日常數(shù)法;高等數(shù)學(xué);中學(xué)數(shù)學(xué);新課標(biāo)
本文選自一道模擬題,該題涉及的知識主要有圓錐曲線、圓、線性規(guī)劃、切線等,這些知識在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位,是新課標(biāo)下必須要理解掌握的模塊,也是高考考察的重點,這部分內(nèi)容對于提高學(xué)生解題能力,促進學(xué)生理解能力,掌握數(shù)形結(jié)合等方法,都有極大的幫助.
例題:在平面直角坐標(biāo)系中,已知A,B兩點的坐標(biāo)分別為:A(1,0),B(-1,0),且圓C的一般式方程為:x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = 0,點P為圓C上的動點.
(1)求過點A的圓的切線方程;
(2)求|PA|2 + |BP|2的最值.
解 (1)由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(x - 3)2 + (y - 4)2 = 4.
圓心為:(3,4),半徑R = 2.
1)當(dāng)切線的斜率不存在時,經(jīng)驗證直線x = 1為圓的切線方程;
2)當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)過點A的切線方程為:y = k(x - 1).
即:kx - y - k = 0.
∵ 圓心到切線的距離為半徑R,∴ ■ = 2.
整理可得:|k - 2| = ■,即-4k = -3,k = ■.
由拉格朗日常數(shù)法:設(shè)L(x,y,z) = 2(x2 + y2) + 2 + λ[(x - 3)2 + (y - 4)2 - 4].
分別對x,y,λ求偏導(dǎo),并令偏導(dǎo)的值為0,可得:
由①,②,③解得x = ,y = 或x = ;帶入目標(biāo)函數(shù)2(x2 + y2) + 2,可得|PA|2 + |BP|2的最大值為100,最小值為12.
由拉格朗日常數(shù)法不難看出,該方法對于求條件最值是非常容易且簡明扼要的,不僅直接求出最大、最小值,而且輕易求出了在取得最值時對應(yīng)點的坐標(biāo). 作為中學(xué)老師掌握該方法,對于拓展教師視野,理解新課標(biāo)理念是有極大幫助的.