數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的原則及其在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的體現(xiàn)

何天榮

摘 要：數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)的理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。每一門課都是蘊(yùn)含有其特有的數(shù)學(xué)思想方法。《數(shù)學(xué)分析》是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)非常重要的一門基礎(chǔ)理論課，在培養(yǎng)計(jì)劃中列為主干課程。該課程理論性、系統(tǒng)性強(qiáng)，有高度抽象性；知識(shí)點(diǎn)多，公式多；學(xué)生學(xué)習(xí)起來吃力；《數(shù)學(xué)分析》課程含有豐富的思想方法。本文結(jié)合數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)及其思想方法，從三個(gè)方面闡述在實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)，應(yīng)該遵循的原則。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法 原則 數(shù)學(xué)分析

中圖分類號(hào)：G633 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）05（a）-0000-00

1 化隱為顯的原則

由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在知識(shí)的背后，知識(shí)教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但是如果不是有意識(shí)地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對(duì)象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生往往只注意到表層的數(shù)學(xué)知識(shí)，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，把隱藏在知識(shí)背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識(shí)教學(xué)過程達(dá)到思想方法教學(xué)之目的。

例如，在講定積分在求面積的應(yīng)用時(shí)，我們知道面積公式是，這表示的是有曲線所圍圖形的面積，而在實(shí)際應(yīng)用中，圖形的形狀會(huì)千變?nèi)f化，但無論怎么變化，面積總是由定積分的值表示。而定積分的值與兩個(gè)因素有關(guān)：積分限與被積函數(shù)；要確定出積分限首先必須規(guī)范畫出圖形，借助圖示就能確定出積分限。決定定積分值的兩個(gè)關(guān)鍵要素是積分限和被積函數(shù)，而積分限的確定必須要借助規(guī)范的圖形。在用定積分求解不規(guī)則圖形面積的過程中蘊(yùn)含是數(shù)學(xué)思想方法叫數(shù)形結(jié)合的方法，教材中并沒有明確提出用什么方法來解決此類問題，這就需要教師的價(jià)值引導(dǎo)，學(xué)生通過解題過程的用心體會(huì)，反復(fù)多次訓(xùn)練才能領(lǐng)悟得到。數(shù)形結(jié)合方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中非常常見的方法。同時(shí)，將求不規(guī)則面積問題轉(zhuǎn)化為定積分求解問題的過程就化歸思想方法。實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，就要求教師按照“化隱為顯”的原則，對(duì)教材下一番改造的功夫。

2 循序漸進(jìn)的原則

數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識(shí)的理解和一般技能的掌握，它需要學(xué)生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系。學(xué)生對(duì)每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，是從個(gè)別到一般，從具體到抽象、從感性到理性，從低級(jí)到高級(jí)地沿著螺旋式方向上升的。

例如，導(dǎo)數(shù)思想的背景：數(shù)學(xué)背景是求過一已知點(diǎn)的曲線的切線方程問題；物理背景是求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題。看似相差很遠(yuǎn)的兩個(gè)現(xiàn)實(shí)問題。解決他們的數(shù)學(xué)方法本質(zhì)上卻是完全相同的，于是，就將這種數(shù)學(xué)問題抽象出來給它一名稱叫“導(dǎo)數(shù)”。然后從理論上研究導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、計(jì)算后，研究它的應(yīng)用，比如在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用等。導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生就是從個(gè)別到一般、從感性到理性的過程。凡是用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決的實(shí)際問題體現(xiàn)的就是導(dǎo)數(shù)思想。定積分思想的背景類似于導(dǎo)數(shù)，它本來是解決曲邊梯形面積的數(shù)學(xué)方法，抽象出來研究之后又回到應(yīng)用，有幾何方面的求面積、求體積、側(cè)面積、求弧長(zhǎng)等應(yīng)用，還有物理方面的許多應(yīng)用。應(yīng)用定積分知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問題的方法就是定積分的思想方法。

另外，每門課程都有其特有的思想方法，因此，思想方法的數(shù)學(xué)分析課程中的教學(xué)要與相應(yīng)的課程知識(shí)相聯(lián)系，符合學(xué)生的知識(shí)發(fā)展水平。例如，導(dǎo)數(shù)教學(xué)的背景知識(shí)與導(dǎo)數(shù)思想、極限思想相結(jié)合。定積分的教學(xué)與積分思想、極限思想相結(jié)合。根據(jù)不同課程內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)思考同一種思想方法，長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)逐漸領(lǐng)悟到這種思想方法。例如，連續(xù)性概念的教學(xué)、導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)、定積分概念的教學(xué)、級(jí)數(shù)的教學(xué)都蘊(yùn)含了極限思想。每次遇到函極限思想的內(nèi)容是要引導(dǎo)學(xué)生明確這其中所蘊(yùn)含是數(shù)學(xué)思想方法。

3 學(xué)生參與的原則

數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)有著顯著區(qū)別。數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的結(jié)果的教學(xué)，呈靜態(tài)點(diǎn)型，重在記憶理解；數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的教學(xué)，呈動(dòng)態(tài)線型，重在領(lǐng)會(huì)應(yīng)用；離開數(shù)學(xué)活動(dòng)過程數(shù)學(xué)思想方法也就無從談起，只有組織學(xué)生積極參與教學(xué)過程，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下才能逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學(xué)思想方法。

例如，教師在講解二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念時(shí)。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)熟知定積分概念的產(chǎn)生背景—求曲邊梯形面積的過程。所以，引導(dǎo)學(xué)生參與到教學(xué)中，與學(xué)生探討曲頂柱體體積的求解方法，通過探討，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)解決曲頂柱體體積的數(shù)學(xué)方法與求曲邊梯形的數(shù)學(xué)方法類似，都是分割、近似求和、取極限三個(gè)步驟。所不同的是曲邊梯形中曲邊由一元函數(shù)表示，積分限是一條線段，表示成閉區(qū)間；曲頂柱體中曲頂由二元函數(shù)表示，積分區(qū)域是一個(gè)有界閉區(qū)域。于是，類似于定積分的討論，我們就將這種數(shù)學(xué)方法抽象出來，稱之為“二重積分”。同理，三重積分、曲線積分、曲面積分本質(zhì)上都是“和式極限”可以用完全類似于定積分和二重積分的方法來研究，學(xué)生只要透徹理解了定積分的思想方法，講解二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的概念時(shí)完全可以讓學(xué)生參與到教學(xué)中，在教師的價(jià)值引導(dǎo)下有學(xué)生得出結(jié)論。研究這幾個(gè)概念用到的數(shù)學(xué)思想方法是類比的思想方法；當(dāng)然，其中還涉及到數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、函數(shù)思想、極限思想、積分思想等等。

在進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法與在數(shù)學(xué)分析課程中的教學(xué)時(shí)，教師要給出機(jī)會(huì)讓學(xué)生參與到教學(xué)活動(dòng)中來，通過教學(xué)活動(dòng)，在教師的價(jià)值引導(dǎo)下讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)分析課程中所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想方法。例如，在極限概念的教學(xué)中，在講授數(shù)列極限的定義時(shí)，教師要通過數(shù)形結(jié)合思想、極限思想，透徹講解，當(dāng)學(xué)生透徹理解了數(shù)列極限定義后。講到函數(shù)極限時(shí)完全可以讓學(xué)生參與到教學(xué)過程中，定義大同小異，讓學(xué)生通過畫圖，理解其幾何意義的同時(shí)領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想。至于函數(shù)極限有各種趨向、而數(shù)列極限只有一種趨向的問題，歸結(jié)為函數(shù)與數(shù)列的異同，其本質(zhì)歸結(jié)為而二者定義域的不同。在教學(xué)中一定要尊重學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在函數(shù)極限教學(xué)時(shí)借助于數(shù)列極限知識(shí)的方法就是數(shù)學(xué)思想方法中的類比思想。類比思想方法在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中也是非常常用有極好用的方法。

數(shù)學(xué)分析課程中蘊(yùn)含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)思想、極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、類比思想、定積分思想和導(dǎo)數(shù)思想方法等等。在教學(xué)中要注重思想方法的滲透，既可以增強(qiáng)課程內(nèi)容的邏輯連貫性，例如極限思想就是貫穿整門課程的一條主線。又可以化抽象為具體，例如一旦理解了定積分的思想，就能理解曲線積分概念、重積分概念、曲面疾風(fēng)概念等。只有領(lǐng)悟了課程所蘊(yùn)含的思想方法，才真正學(xué)習(xí)到課程的本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)

[1] 顧泠沅.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：中央廣播電視出版社，2004.

[2] 華東師大數(shù)學(xué)系編.《數(shù)學(xué)分析》（第三版）[M] 北京：高等教育出版社 2010