大學(xué)數(shù)學(xué)中幾何方法的運用

劉昂洋

【摘要】針對大部分大三學(xué)生來說，大學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容難度較大，而且極為重要.大學(xué)數(shù)學(xué)是大部分理工課程的基礎(chǔ)課程，有利于理工科學(xué)生之后的學(xué)習(xí)，對學(xué)生具有積極意義.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中如使用幾何方法，能夠有效提高自身學(xué)習(xí)質(zhì)量.本文簡要分析了學(xué)生在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所存在的問題，同時從闡述數(shù)學(xué)思維、簡化求解過程等多方面分析了學(xué)生應(yīng)如何在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用幾何方法，以期增強學(xué)生的邏輯性以及提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】大學(xué)數(shù)學(xué)；幾何方法；實際運用

對理工科學(xué)生來說，大學(xué)數(shù)學(xué)是必修課程，其不僅為學(xué)生之后專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，同時也培養(yǎng)了學(xué)生良好的邏輯思維能力，使其更為適應(yīng)之后的社會生活.因此，大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)質(zhì)量頗為重要.然而，就目前而言，我國大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)水平有待提升，學(xué)習(xí)過程也存在較大的問題.幾何方法可以使學(xué)生更為直觀地理解邏輯內(nèi)容.因此，學(xué)生應(yīng)積極在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用幾何方法，以提高自身學(xué)習(xí)質(zhì)量，同時加深對大學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解.

一、大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的問題

（一）學(xué)習(xí)時間以及資源不足

大學(xué)數(shù)學(xué)是理工科類學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課知識的必備工具，如物理中的力學(xué)、電學(xué)等課程知識的學(xué)習(xí)都涉及了大學(xué)數(shù)學(xué)中的知識.定積分的幾何運用在機械設(shè)計課程中得到廣泛應(yīng)用.然而，就目前而言，我國大部分大學(xué)給予大學(xué)數(shù)學(xué)課程的課時并不多，但該課程知識內(nèi)容數(shù)量繁多，且學(xué)習(xí)難度較高，學(xué)生難以在課堂短時間內(nèi)消化，所以學(xué)習(xí)時間明顯不足.加之課堂知識內(nèi)容被大幅壓縮，將部分定理的證明過程直接刪除，學(xué)生單純依靠記憶進行理解與使用，忽視了以幾何的角度理解定理，導(dǎo)致大部分學(xué)生并不理解定理的來源，也不理解定理的幾何意義.除此以外，部分高校還需面對教學(xué)資源不足這一問題.部分學(xué)校的教師或是教室會存在不足的現(xiàn)象.受教學(xué)資源的限制，部分高校采取大班授課的方式，令多個班級甚至多個專業(yè)同時聽課.如此一來，學(xué)生即使在學(xué)習(xí)狀態(tài)、進度以及學(xué)習(xí)方式等方面出現(xiàn)問題，由于人數(shù)眾多，無法直接向教師提問.且課堂氣氛沉悶單調(diào)，學(xué)生無法與教師或是其他學(xué)生進行直接交流與討論.只好被動接受知識，無法進行自主思考以及對知識的創(chuàng)新，課堂學(xué)習(xí)效率自然難以提升.

（二）學(xué)生學(xué)習(xí)方式存在問題

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注重調(diào)節(jié)自身心態(tài)，注意自身課堂細微的情感變化.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)、熱情度以及積極性直接影響了其課堂教學(xué)效率.大部分學(xué)生學(xué)習(xí)時，往往只研究課本上的定理及其證明內(nèi)容，但定理及其證明方面的知識晦澀難懂，且學(xué)習(xí)過程枯燥無味，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程較為沉悶無趣，久而久之，學(xué)生便會逐漸喪失學(xué)習(xí)興趣.所以，若學(xué)生采用上述學(xué)習(xí)方式，便限制了自身思維，逐漸喪失了學(xué)習(xí)熱情，甚至產(chǎn)生厭學(xué)的洗能力.學(xué)生采用幾何方法學(xué)習(xí)，能夠使數(shù)學(xué)知識更為直觀，容易理解.同時也能令學(xué)習(xí)過程較為輕松.但是部分學(xué)生卻過于依賴使用幾何方法進行學(xué)習(xí)，忽視了對數(shù)學(xué)思想的解釋，或是直接利用幾何圖像替代了教材中的定理以及相關(guān)證明，從而令自身無法更為深入地理解問題，從理性的角度看待以及解決問題.由此可見，部分學(xué)生無法正確使用幾何方法，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)方式存在較大問題.不僅如此，學(xué)生若不將代數(shù)與幾何聯(lián)系為一體，之后的學(xué)習(xí)也會收到一定影響，以建筑工程為例，建筑工程中大部分問題為幾何問題，而大學(xué)數(shù)學(xué)中大部分為代數(shù)語言，若學(xué)生僅了解幾何內(nèi)容，則學(xué)生生無法了解兩者之間的聯(lián)系.同理，若學(xué)生僅了解大學(xué)數(shù)學(xué)中代數(shù)內(nèi)容，則無法利用大學(xué)數(shù)學(xué)知識解決建筑工程中的問題.

（三）學(xué)生對幾何方法的認識有誤

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，信息技術(shù)在大學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用逐漸豐富.學(xué)生可借助目前的科技設(shè)備，如計算機、手機等設(shè)備構(gòu)建更為形象以及直觀的圖形，圖形也由平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形，使得學(xué)生突破了空間限制，也解決了之前紙筆繪制圖形時，圖形不準確這一問題.然而，學(xué)生在構(gòu)建圖形并進行研究的過程中，往往會走向誤區(qū)，發(fā)生以偏概全的現(xiàn)象.大部分學(xué)生繪圖過程中不理解幾何方法的實質(zhì)，錯誤地認為，針對定理證明問題，無需使用嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言以及邏輯進行驗證，只需繪制特定函數(shù)的函數(shù)圖像即可.然而并非如此，學(xué)生運用幾何方法理解定理以及定理證明內(nèi)容，實質(zhì)是舉例，但舉例并不能包括所有的狀況，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)之前，需反復(fù)研究幾何示例，同時清楚、了解幾何學(xué)習(xí)方式的特殊性.學(xué)生也可選用多個幾何示例作為對比，更為深入地了解幾何學(xué)習(xí)方式的實質(zhì).

二、大學(xué)數(shù)學(xué)中幾何方法的實際運用

（一）闡述數(shù)學(xué)定理

數(shù)學(xué)定理是課程內(nèi)容的重點，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理的目的，不僅是要求自身對數(shù)學(xué)定理有所記憶，還需對知識有一定理解，同時能夠靈活運用.然而，大學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)的定理知識過于抽象，大部分學(xué)生抽象思維能力不足，難以理解定理內(nèi)容，對定理所描述的情況也沒有清晰地認識，使得學(xué)生雖然能夠記憶定理，但無法深刻理解，也難以正確運用.針對上述情況，學(xué)生便可運用幾何學(xué)習(xí)方式，將定理轉(zhuǎn)化為圖像，使定理的表現(xiàn)形式更為直觀，也有利于自己接受.

（二）簡化題目

數(shù)形結(jié)合思想一直是數(shù)學(xué)常用的思想之一，其不僅能夠令題目變得更為直觀與形象，同時也能簡化題目步驟，從而提高學(xué)生的解題效率以及正確率.部分題目如果僅依靠代數(shù)進行計算，計算量較大，計算過程中容易發(fā)生錯誤.若學(xué)生將題目部分量轉(zhuǎn)化為圖形，則能夠輕易觀察到各量值之間的關(guān)系，同時也省去大量計算，大大降低了出錯的概率.

如題：設(shè)存在一旋轉(zhuǎn)拋物面，該拋物面方程為z=x2+y2，同時存在一平面，方程為x+y-2z=2，求解兩面之間相距距離最短時是多少.

該問題共有兩種求解方式：第一種方法，學(xué)生可使用條件極值的方式進行求解，單純依靠代數(shù)知識解答，其中并不涉及任何幾何方式.該方法具體如下：

在旋轉(zhuǎn)拋物面上隨意截取一點，設(shè)該點坐標為P（x，y，z），那么點P與平面x+y-2z=2之間相距的距離可通過下列式子表示：d=16|x+y-2z-2|.此時，問題便發(fā)生了變化，即求解約束條件下，函數(shù)f（x，y，z）=（x+y-2z-2）2的極限值.學(xué)生設(shè)立拉格朗日輔助函數(shù)：F（x，y，z，λ）=（x+y-2z-2）2-λ（x2+y2-z）.由上可得：

計算完成后，可知拉格朗日函數(shù)有且僅有一個駐點，即x=y=14，z=18，λ=1.將上述數(shù)值代入算式d=16|x+y-2z-2|當中，此時便能求的旋轉(zhuǎn)拋物面同平面之間的距離最短時為746.

該解答方法看似步驟較為簡潔，但其計算量極大，且學(xué)生在求解駐點時，方法也是極為繁瑣，且會耗費學(xué)生大量時間.所以，學(xué)生可使用第二種方法，即結(jié)合幾何方法進行求解.具體解法如下：

從幾何的角度進行分析，若希望旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2上任意一點同平面之間的為最短距離，那么旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2上點的法向量應(yīng)當與平面的法向量保持平行關(guān)系.在旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2上任取一點，設(shè)該點為P，坐標為P（x，y，z）.此時可以通過求解得出，點P處，旋轉(zhuǎn)拋物面的法向量，表示為（2x，2y，-1），還有平面的法向量（1，1，-2）.所以可得：2x1=2y1=-1-2.

通過上式可以解出：x=y=14.之后將該結(jié)果代入旋轉(zhuǎn)拋物面方程當中，可解得結(jié)果z=18.學(xué)生再將所得結(jié)果代入求解點與平面距離公式當中，便能夠求得結(jié)果d=746.

（三）運用幾何圖像活躍思維

數(shù)學(xué)定理一定有其形成過程，也有其思考以及證明過程.學(xué)生若只是背誦了定理，而不了解其產(chǎn)生的原因以及過程，便無法靈活運用.學(xué)生應(yīng)結(jié)合圖像探索定理的實質(zhì)內(nèi)容.以極為重要的極限limx→0sinxx=1為例，該極限在之后的使用都較為頻繁.然而學(xué)生是無法通過定義以及極限運算的方式了解該極限的含義，需要使用夾逼準則進行證明.然而，以學(xué)生的能力，難以找到與sinxx相關(guān)的不等式.學(xué)生需使用x同正弦函數(shù)sinx之間的聯(lián)系作為引入，復(fù)習(xí)高中所學(xué)的有關(guān)

圖3單位圓示意圖三角函數(shù)的知識，構(gòu)建單位圓，尋找x、sinx以及tanx之間的關(guān)系.具體如圖3所示，設(shè)定∠AOB=x，其中x的取值范圍為0，π2，使得BC與OA為垂直關(guān)系.學(xué)生可知sinx=2S△AOB，x=2S扇形AOB.之后學(xué)生尋找tanx的代表式，構(gòu)建圓的切線，令圓過點A，且與OB延伸線相交，交點為點D，此時tanx=2S△AOD，通過面積大小的對比，學(xué)生較為容易得出sinx結(jié)束語

大學(xué)數(shù)學(xué)是理工科學(xué)生學(xué)習(xí)其他專業(yè)課程必備的知識，所以對學(xué)生之后的學(xué)習(xí)生活尤為重要.作為學(xué)生，應(yīng)靈活運用幾何學(xué)習(xí)方式輔助自己進行學(xué)習(xí)，從而提高自身學(xué)習(xí)效率，提升數(shù)學(xué)水平.

【參考文獻】

[1]林冠男，肖歡歡.關(guān)于在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強幾何教學(xué)的幾點意見[J].才智，2015，30：213.

[2]王輝.幾何方法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].教書育人（高教論壇），2015，30：88-89.

[3]陳維桓.關(guān)于在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中加強幾何教學(xué)的幾點意見（續(xù)）[J].高等數(shù)學(xué)研究，2013，01：5-6.

[4]賈長虹，范志勇，葉留青.數(shù)學(xué)分析中的幾何直觀方法[J].焦作師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2012，01：47-49.

[5]李榮祥.幾何方法在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的運用[J].惠陽師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，03：36-38.