借助幾何直觀提高學(xué)生解決問題的能力

鐘春偉

摘要：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）第一次將“幾何直觀”作為核心理念提出。但是，在實際教學(xué)中不少學(xué)生在解決問題時往往不能恰當(dāng)?shù)亟柚鷰缀沃庇^，明晰數(shù)量關(guān)系。總的來說，主要有三種表現(xiàn)：利用幾何直觀解決問題的意識較弱；利用幾何直觀解決問題的經(jīng)驗積累不足；對幾何直觀圖背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)理解不到位。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；解決問題；意識；經(jīng)驗；本質(zhì)

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）18-0279-02

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）第一次將“幾何直觀”作為核心理念提出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！比欢?，在實際教學(xué)中不少學(xué)生在解決問題時往往不能恰當(dāng)?shù)亟柚鷰缀沃庇^，明晰數(shù)量關(guān)系。

如：東升小學(xué)六年級（02）班男孩人數(shù)比女孩人數(shù)多25%，女孩人數(shù)是全班人數(shù)的（ ）。

學(xué)生練習(xí)后，反饋：

生1：我沒辦法。

師：你是怎么想的？

生1：女孩人數(shù)是單位“1”。

師：你判斷得非常準(zhǔn)確，有沒有辦法找出女孩人數(shù)和總?cè)藬?shù)的關(guān)系呢？

生1：（撓頭）：我沒辦法……

生2：我是畫圖，可是我畫不好……

師：我們可以把女孩人數(shù)看作單位“1”，男孩人數(shù)比女孩多25%，就是1+25%=125%，也就可以把男孩看作是1.25，……

生3：?。咳嗽趺纯赡?.25個？

……

很明顯，有部分學(xué)生利用幾何直觀解決問題的能力是極弱的，相信這樣的學(xué)生也不會是個例。我們絕不能簡單地將這種現(xiàn)象歸因為學(xué)生的基礎(chǔ)問題、智力問題，仔細(xì)分析我們會發(fā)現(xiàn)三位學(xué)生存在以下問題：

1.“沒辦法”這類學(xué)生，問題在于利用幾何直觀解決問題的意識較弱。借助線段圖等幾何直觀方式有助于學(xué)生對知識的理解，我們在教學(xué)中也經(jīng)常使用幾何直觀進行分析，為什么我們的孩子不習(xí)慣運用？這是因為對于這些學(xué)生來說，他們沒有體會到幾何直觀的優(yōu)勢所在，導(dǎo)致了他們利用幾何直觀解決問題的意識較弱。

2.“畫不好”這類學(xué)生，問題在于利用幾何直觀解決問題的經(jīng)驗積累不足。反觀我們的教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)許多教師只是偶爾呈現(xiàn)幾何直觀的相關(guān)材料，學(xué)生能即時產(chǎn)生有效結(jié)果就草草了事，重結(jié)果而輕過程。很多時候我們很少會有意識地選擇一些學(xué)習(xí)材料，供學(xué)生經(jīng)常性地利用幾何直觀解決問題，造成經(jīng)驗的積累不足，長此以往，學(xué)生在解決實際問題時自然就不會用直觀的圖形語言來分析問題。

3.“人怎么可能1.25個”這類學(xué)生，問題在于對幾何直觀圖背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)理解不到位。由于對分?jǐn)?shù)意義的理解不深刻，無法順利提取相關(guān)的儲備知識，對數(shù)的認(rèn)識還不能從具體數(shù)量過渡到對關(guān)系的考慮上，所以對這類沒有具體數(shù)量的計算顯得力不從心。

冰凍三尺非一日之寒。我們的日常教學(xué)出現(xiàn)了問題，就得在日常教學(xué)中去解決，針對幾何直觀意識薄弱、經(jīng)驗積累不足、本質(zhì)理解不到位，我們可以從以下三方面加以改進。

一、學(xué)為中心，培養(yǎng)意識

眾所周知，只有學(xué)生的學(xué)與教師的教相統(tǒng)一的教學(xué)活動才是有效的教學(xué)，學(xué)為中心，以學(xué)定教，教師的教只有緊緊地貼合學(xué)生的學(xué)，方能有效。在解決問題的過程中，很多學(xué)生看到問題后往往會感到無從下手，不知道應(yīng)該從何去分析。在這種迫切的需要與深度的困惑下，教師適時介入，更能讓學(xué)生深切體會幾何直觀對理解和分析問題的價值，從而培養(yǎng)他們借助幾何直觀理解和分析問題的意識。例如一位老師在執(zhí)教《小數(shù)乘法》時出了一道出租車的計價問題：

鐘老師從八都鎮(zhèn)打車到學(xué)校25公里，總共要付多少元？（龍泉市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)：起步里程3公里，起步價8.00元。3公里后，每公里1.50元。超出15公里以上部分每公里1.80元）

教師讓學(xué)生在小組內(nèi)進行交流，理解收費標(biāo)準(zhǔn)。然后集體反饋得出：起步里程3公里，起步價8.00元就是0～3公里（包括3公里），無論走多少，都收10元錢。3公里～15公里（超出3公里，包括15公里）這一部分路程，每公里收費是1.50元。15公里以上（不包括15公里），每公里收費是1.80元。要分三種情況考慮。

師：看了這道題，你有什么感覺？

生：太麻煩了，都記不住！

師：那怎么辦呢？怎么看著就不那么麻煩了？ 生（異口同聲）：畫圖。

經(jīng)過操作很多學(xué)生繪制了示意圖。（基本上分為三段并標(biāo)上了各段的單價）

二、積累經(jīng)驗，提升能力

史寧中教授指出：“直觀并不是一成不變的，隨著經(jīng)驗的積累其功能可能逐漸加強?！庇纱耍e累幾何活動經(jīng)驗就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個更加直接的目標(biāo)和追求。擁有豐富的幾何活動經(jīng)驗并且善于思考的人，他的幾何直觀更有可能達到更高的水平。但我們要明白，“幾何直觀”并不僅僅與“幾何”相關(guān)，在數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐活動領(lǐng)域都應(yīng)該抓住契機，有意識地滲透在日常的教學(xué)環(huán)節(jié)中。比如，在《有余數(shù)除法》的教學(xué)中，為了讓學(xué)生進一步理解余數(shù)的含義，一位老師采取了以下環(huán)節(jié)：

師：請大家觀察這種擺法，15盆花，每組擺6盆，擺了2組還余3盆，現(xiàn)在假如再增加1盆花，16盆，擺的結(jié)果會怎樣呢？

請大家閉眼想一想，然后畫一畫，看看想的和畫的是否一樣，并用式子表示。

反饋：

16÷6=2（組）……4（盆）。

師：再增加2盆呢？ 生：18÷6=3（組） 師：為什么不是2（組）……6（盆）？

你看圖上明明是2組余6盆么。

生：因為這個6盆又可以擺成一組了。

教師將6盆圈為1組。

師：猜猜陳老師接下來打算擺多少盆花？

生：19盆，每組擺6盆，擺成3組還余1盆。

師：（出示一片花）現(xiàn)在有這么多的花，每組擺6盆，假如擺到最后花會多出來，可能會多出幾盆呢？

生1：可能會多30盆。

生2：不對的。30盆的話，那還可以再擺成好幾組了。

生3：可能會多2盆。

生4：可能會是1盆、2盆、3盆、4盆、5盆。

師：6盆為什么不行？

生：6盆就可以再擺一組。……

上面這個環(huán)節(jié)，通過直觀圖的操作豐富了學(xué)生的活動經(jīng)驗，使幾何直觀真正成為學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動、形成數(shù)學(xué)知識的有效中介，讓學(xué)生更好地理解了余數(shù)和除數(shù)間的關(guān)系。由此可見，幾何直觀經(jīng)驗的積累藏身于各個領(lǐng)域，應(yīng)抓住契機，盡可能增加學(xué)生幾何直觀經(jīng)驗的積累，從而提升學(xué)生的能力。

三、理解至上，直擊本質(zhì)

教師不應(yīng)只局限于形式化的表達，應(yīng)強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將有血有肉的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在“枯燥的形式化海洋里”。如：有的年輕教師在執(zhí)教乘法分配律這一內(nèi)容時，受功利性驅(qū)使，而不顧學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，“引導(dǎo)”學(xué)生寫出幾個等式，而后組織學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、近而概括出乘法分配律。

教學(xué)片斷：

師：同一個問題我們常常可以用不同的方法來解決，咱們來試一試。

課件出示：乒乓社團的李老師到商店購買一些乒乓球，他打算買這樣白色的6筒，黃色的4筒，每筒為8只裝。李老師一共購買了多少只乒乓球？

（學(xué)生嘗試解決）。

師：誰來介紹你的解決方法。

生：（6+4）×8和6×8+4×8。（教師板書）

師：說說你是怎么想的？

生1：6×8+4×8就是先算白色的要買多少只再加上黃色的要買多少只，也就是算6個8加上4個8。

師：教師課件出示兩種圖（第一種6個8白色加4個8黃色，分開；第二種10個8）

師：這兩個算式雖然不一樣，但都在算10個8是多少，所以結(jié)果是一樣的，看來這兩種方法都能解決這一問題，在數(shù)學(xué)上，我們就可以用“=”把相等的兩個算式連起來，變成一個等式。

板書：10個8 6個8 4個8 （6+4）×8=6×8+4×8 ……

師：同學(xué)們，黑板上出現(xiàn)了這么多有趣的等式，仔細(xì)觀察，你們覺得這樣的等式還有嗎？誰來說一說。

生舉例：（11+9）×8=11×8+9×8（45+55）×6=45×6+55×6

25×（40+4）=25×40+25×4 ……

師：這樣的等式說得完嗎？

生：說不完。

師：你能不能找到一個萬能等式，能夠代表所有的像這樣的等式？

生1：（★+●）×■=★×■+●×■。

生2：（你+我）×他=你×他+我×他。

……

師：同學(xué)們真了不起能用圖形、文字來表示這樣的等式，在數(shù)學(xué)中，我們通常用字母來表示這樣的規(guī)律：（a+b）×c=a×c+b×c，它叫作乘法分配律。

總之，幾何直觀在解決問題教學(xué)中有著不可替代的作用，它可以讓我們的學(xué)生打開思維的大門，開啟智慧的寶庫，突破理解的難點，培養(yǎng)理性的品質(zhì)。只有讓學(xué)生在圖形和問題之間自由翱翔，才能幫助學(xué)生實現(xiàn)對數(shù)學(xué)內(nèi)容的深入理解。加強利用幾何直觀解決問題的意識，增加幾何直觀解決問題的經(jīng)驗積累，注重幾何直觀背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)理解，提高學(xué)生解決問題的能力，是一個任重而道遠(yuǎn)的過程。