“勾股定理”的教學(xué)課例分析

丁金華

【摘要】 勾股定理是直角三角形非常重要的性質(zhì)，揭示了直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系，主要解決直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題，它與實(shí)數(shù)、二次根式和方程知識(shí)聯(lián)系密切，將來(lái)學(xué)習(xí)四邊形、圓及一元二次方程后應(yīng)用范圍更大，勾股定理也是以后學(xué)“解直角三角形”的基礎(chǔ). 課例注重培養(yǎng)學(xué)生的分析思考能力，通過(guò)比較、探索、歸納理解勾股定理，以利于正確應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 勾股定理；探索；歸納；直角三角形；面積；數(shù)量關(guān)系

下面是這節(jié)課的課堂實(shí)錄及反思：

一、以問(wèn)題解決方式導(dǎo)入新課

師：在我們認(rèn)知過(guò)的三角形中，有哪些特殊的三角形？

生1：等邊三角形； 生2：等腰三角形；生3：還有直角三角形.

師： 回答得很好. 那老師再追問(wèn)等邊三角形特殊在哪里？學(xué)生反映很快馬上回答：三條邊相等.

師：如果一個(gè)等邊三角形的一條邊為3，另外兩條邊是多少？生：3和3 .

師：很好，那等腰三角形的特殊性在哪里？生：有兩條邊相等.

師：已知一個(gè)等腰三角形的兩邊為3和4，另一邊長(zhǎng)是多少？生：3或4.

師：很聰明，抓住了等腰三角形的特征. 直角三角形也是特殊的三角形，如果已知兩邊為3和4，如何求第三邊呢？有一學(xué)生答：第三邊是5，因?yàn)槲衣?tīng)過(guò)勾3股4弦5的說(shuō)法.

師：其他同學(xué)會(huì)求嗎？（搖頭）好，這就是我們這節(jié)課要討論的課題，反映直角三角形三邊關(guān)系的著名定理：勾股定理. （板書課題：2.1勾股定理）

【設(shè)計(jì)意圖】：從特殊三角形邊的關(guān)系，引出一系列問(wèn)題讓學(xué)生思考，從而激發(fā)學(xué)生探索問(wèn)題的興趣，自然引出對(duì)直角三角形三邊關(guān)系的探討，因“疑”生“趣”，導(dǎo)入自然貼切，引起學(xué)生關(guān)注課堂學(xué)習(xí).

二、定理探索（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）

（一）簡(jiǎn)要介紹歷史

師：直角三角形特殊在哪？學(xué)生回答：有一個(gè)角是直角.

師：有一個(gè)角是直角這個(gè)特殊性很顯然. 但三邊之間的關(guān)系很難發(fā)現(xiàn)，所以說(shuō)勾股定理的發(fā)現(xiàn)是人類歷史上偉大的發(fā)現(xiàn). 大家一定想了解一點(diǎn)勾股定理的歷史背景吧.

教師活動(dòng)：幻燈片展示歷史背景，教師做簡(jiǎn)單介紹，目的是讓學(xué)生知道名稱的由來(lái)，強(qiáng)調(diào)我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家之一，然后由一張郵票圖案引發(fā)思考. （幻燈出示郵票圖案）

師：這張圖能反映直角三角形的三邊關(guān)系嗎？如果能，那三邊之間到底是什么關(guān)系呢？我們一起來(lái)做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)介紹歷史，讓學(xué)生對(duì)勾股定理有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，重點(diǎn)介紹我國(guó)是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國(guó)家之一，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：（每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）

1. 等腰直角三角形的三邊向外作正方形，根據(jù)右圖圖1-1填空. （幻燈顯示）

（1）正方形A中含有（ ）個(gè)小方格，即A的面積是（ ）個(gè)單位面積；

（2）正方形B的面積有（ ）個(gè)單位面積；

（3）正方形C的面積（ ）個(gè)單位面積.

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖形思考后回答問(wèn)題.

2. 一般直角三角形的三邊向外作正方形，根據(jù)圖形填空. （幻燈顯示）

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖形思考后回答問(wèn)題. 計(jì)算A和B的面積比較容易，如何計(jì)算C的面積？學(xué)生積極動(dòng)腦，提出自己的想法，并上臺(tái)來(lái)講解自己的思路.

教師活動(dòng)：動(dòng)畫展示C的面積的兩種計(jì)算方法. 根據(jù)表格數(shù)據(jù)，能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？從而歸納出正方形A、正方形B、正方形C之間的關(guān)系.

師生共同探討得出結(jié)論：正方形A的面積 + 正方形B的面積=正方形C的面積

師：猜想直角三角形三邊關(guān)系，正方形面積和直角三角形邊之間存在什么關(guān)系？生：面積=邊長(zhǎng)的平方.

師：假設(shè)直角三角形兩直角邊為a，b斜邊為c. 由以上計(jì)算結(jié)果，我們可以猜想直角三角形的三邊滿足什么等量關(guān)系呢？生：a2 + b2 = c2.

師：是不是所有的直角三角形都滿足這一數(shù)量關(guān)系呢？我們都知道用具體數(shù)據(jù)歸納得出的結(jié)論并不能用來(lái)說(shuō)明事實(shí)，還需要進(jìn)一步論證. 這就需要我們對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行證明.到目前為止，對(duì)這個(gè)命題的證明方法已有五百種之多. 勾股定理是數(shù)學(xué)史乃至人類史上一個(gè)著名的定理. 它一直以來(lái)吸引著數(shù)學(xué)家、普通學(xué)者、一般百姓，甚至美國(guó)總統(tǒng)的興趣. 人們目前共發(fā)現(xiàn)了它的500多種證法，勾股定理可能是人類史上，證明方法最多的一個(gè)定理.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索直角三角形的三邊關(guān)系，讓學(xué)生感受勾股定理的幾何意義，培養(yǎng)探究精神.

三、定理證明探索

介紹圖形，這是我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的拼圖. 這個(gè)圖形熟悉嗎？數(shù)學(xué)課本上就有.

設(shè)直角三角形兩直角邊短邊為a，長(zhǎng)邊為b，斜邊為c.

師：這個(gè)圖形是由哪幾個(gè)部分組成的？

生：有四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形組成.

師：從哪個(gè)角度來(lái)分析這個(gè)圖形？周長(zhǎng)？面積？

學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，一名學(xué)生踴躍發(fā)言：周長(zhǎng)很顯然是4C，從周長(zhǎng)角度找不到未知量之間的等量關(guān)系. 只有從面積角度來(lái)思考，因?yàn)橐粋€(gè)圖形不管怎么分割，它的面積總和是不變的.

師：說(shuō)的很好. 整個(gè)圖形是一個(gè)正方形，它的面積是C2，組成正方形的各部分面積可以表示為（b - a）2 + 4·ab. 從面積角度列出一個(gè)等式

C2 = （b - a）2 + 4·ab，（進(jìn)一步追問(wèn)：為什么相等？）教師啟發(fā)：圖中有空缺嗎？有重疊部分嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)沒(méi)有.

師：圖形經(jīng)過(guò)拼接后只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積就不會(huì)改變. 教師用紅粉筆畫上一個(gè)等號(hào)，以引起學(xué)生注意. 上面等式經(jīng)過(guò)整理得a2 + b2 = c2.

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)是難點(diǎn)的突破環(huán)節(jié)，從圖形拼接關(guān)系列出面積相等的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生感受數(shù)和形的結(jié)合.

勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. （幻燈片出示）符號(hào)表示：在Rt△ABC中，∠C = 90°，a2 + b2 = c2.

師：運(yùn)用定理要注意哪些方面？學(xué)生回答.

教師歸納板書：

1. 在直角三角形中

2. 式中的a、b表示兩直角邊長(zhǎng)，c表示斜邊的長(zhǎng)度.

3. 等式反映的是2直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)歸納注意點(diǎn)，讓學(xué)生進(jìn)一步知道勾股定理的具體內(nèi)容.

四、例題的意圖分析

例1：在Rt△ABC中，∠C = 90°.

（1）已知b = 4，a = 3，求c = ____.

（2）已知c = 13， b = 5，求a = ____.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師的示范板書，教會(huì)學(xué)生如何運(yùn)用勾股定理解題，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解題.

五、隨堂有效練習(xí)

1. 求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)：

請(qǐng)學(xué)生扮演（3人）教師講評(píng)板書中存在的問(wèn)題.

2. 已知，四邊形ABCD中，∠DAB = ∠DBC = 90°，AD = 3，AB = 4，BC = 12. 求：DC的長(zhǎng).

分析：（1）DC在直角三角形中嗎？

（2）要求DC，需先求BD.

【設(shè)計(jì)意圖】練習(xí)目的是鞏固勾股定理的知識(shí)，也是檢驗(yàn)課堂學(xué)習(xí)效果的有效途徑.

六、課堂小結(jié)

師：本節(jié)課我們一起經(jīng)歷了做實(shí)驗(yàn)得出猜想，對(duì)猜想進(jìn)行論證，最后運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，同時(shí)也感受對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要嚴(yán)謹(jǐn). 課后我們還可以對(duì)勾股定理的歷史，證明方法做進(jìn)一步的探索學(xué)習(xí)，以獲得更多關(guān)于勾股定理的知識(shí).

七、拓展思考題

開(kāi)頭老師提出的問(wèn)題，一個(gè)直角三角形的兩直角邊為3和4，那么另外一邊是多少？請(qǐng)同學(xué)們重新思考，這個(gè)問(wèn)題你能解決了嗎？

已知：Rt△ABC中，AB = 4，AC = 3， 則BC的平方為 .

【設(shè)計(jì)意圖】本題與引入的問(wèn)題呼應(yīng)，直角三角形三邊都是特指的，這里沒(méi)有指明直角邊和斜邊，目的是促使學(xué)生靈活運(yùn)用勾股定理.

課例反思

本課例從以下幾個(gè)方面設(shè)計(jì)：第一個(gè)環(huán)節(jié)從讓學(xué)生回憶特殊三角形邊的關(guān)系直接引出課題：勾股定理；第二個(gè)環(huán)節(jié)簡(jiǎn)要介紹勾股定理的歷史背景，讓學(xué)生感知古代人的聰明才智；第三個(gè)環(huán)節(jié)從一張郵票圖案引出問(wèn)題：這張圖能反映直角三角形的三邊關(guān)系嗎？和學(xué)生一起探索做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，滲透面積割補(bǔ)方法，得出猜想；第四個(gè)環(huán)節(jié)介紹我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽的拼圖證明方法，引導(dǎo)學(xué)生從圖形本身思考問(wèn)題，從面積角度列出數(shù)量關(guān)系式，突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)；第五個(gè)環(huán)節(jié)是知識(shí)的應(yīng)用，例題注重知識(shí)的直接運(yùn)用，練習(xí)有層次性；最后教師簡(jiǎn)單小結(jié)，并引導(dǎo)學(xué)生思考本課開(kāi)頭提出的問(wèn)題，整節(jié)課首尾呼應(yīng)，達(dá)到解決問(wèn)題的根本目的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐國(guó)英.《勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)及點(diǎn)評(píng)[J].中國(guó)信息技術(shù)教育，2009，19.