課例：造橋選址問題

張學(xué)川

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2016）19-0112-02

造橋選址問題在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，在一條河上造橋，利用橋的長度始終保持不變，通過平移橋到河的岸邊，再利用兩點(diǎn)之間線段最短，從而達(dá)到最佳的建造一座橋選址的問題，有了在一條河道上建一座橋的基礎(chǔ)，可以得到在兩條河道、三條河道、直到在n條河道分別建造兩座橋、三座橋、n座橋的方法。利用平移變換進(jìn)行造橋選址問題，是平移變換的一個重要應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，同時用運(yùn)用于生活。從而達(dá)到平移知識的遷移在實(shí)際生活中的具體應(yīng)用。

一、背景介紹

本節(jié)內(nèi)容是我校實(shí)施的省級科研課題：“初中數(shù)學(xué)“課題學(xué)習(xí)”校本化實(shí)施與評價的行動研究”研究實(shí)施方案的研討內(nèi)容之一。本節(jié)內(nèi)容經(jīng)過了幾位教師的執(zhí)教與研討，本文展示的是筆者的實(shí)踐設(shè)計與實(shí)錄。

（一）內(nèi)容與學(xué)情分析

“造橋選址問題”是人教版《數(shù)學(xué)》八年級上冊第十三章“軸對稱”的最后一節(jié)“ 課題學(xué)習(xí)”的第二節(jié)內(nèi)容。比“將軍飲馬”問題較難，本節(jié)內(nèi)容的解決主要是平移知識的綜合應(yīng)用。是對學(xué)生動手操作能力的一個考查，本節(jié)的難點(diǎn)在于如何把問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短的問題”，在解決的過程中滲透了化歸的思想。

（二）目標(biāo)與目標(biāo)解析

1.能利用軸對稱、平移解決簡單的最短路徑問題.

2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用；

3.能通過邏輯推理證明所求距離最短，感悟轉(zhuǎn)化思想，體會利用作圖解決最短路徑問題。

達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是：能夠?qū)?shí)際問題中的“河”的兩岸抽象為數(shù)學(xué)中的“平行線”，把實(shí)際問題抽象為線段和最小問題。通過學(xué)生獨(dú)立思考、合作討論、教師點(diǎn)撥等方式；能利用平移將線段的最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求路徑最短；在探索最短路徑的過程中，體會平移的“橋梁”作用，感悟化歸的轉(zhuǎn)化思想，

（三） 教學(xué)思路與理念

本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是利用平移變換解決造橋選址問題并利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”公理進(jìn)行證明，難點(diǎn)是體會利用平移作圖將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題。

最短路徑問題從本質(zhì)上說是極值問題，作為初中學(xué)生，以前涉及這方面的極值問題很少，特別是遇到具有實(shí)際背景的極值問題，更會無從下手。

在河岸的什么位置造橋，使得路徑最短，采用通過平移橋、或者河道的辦法，如何平移，為什么要這樣平移，多少學(xué)生存在理解上和操作上的困難。在教學(xué)時，教師要適時點(diǎn)撥學(xué)生。

二、教學(xué)過程

引言：前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”、軸對稱、平移等的問題，

1.下圖中的變換屬于平移的有哪些？

師生活動：讓學(xué)生獨(dú)立思考回答后，教師作補(bǔ)充。

設(shè)計意圖：通過問題1讓學(xué)生對軸對稱性質(zhì)、平移的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行再認(rèn)識。

（一）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題

歷史上著名的造橋選址問題：

A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

師生活動：1.如上圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑指的是哪些線段的和？

學(xué)生：AM+MN+BN，

教師：這三條線段哪些線段的長度是固定不變的，那么怎樣確定什么情況下路徑最短呢？

學(xué)生：橋的程度MN是固定的不變的。

教師：利用線段公理解決問題：我們遇到了什么困難呢？

思維點(diǎn)撥：在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？

學(xué)生：

（1）把A平移到岸邊

（2）把B平移到岸邊

（3）把橋平移到和A相連

（4）把橋平移到和B相連

（5）平移河道

師生活動：由于河道寬度是固定不變的，造的橋要與河垂直，因此路徑AMNB中的MN的長度是固定的。

我們可以將點(diǎn)A沿與河垂直的方向平移MN的距離到A1，那么為了使AMNB最短，只需A1B最短。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接A1B，交河岸于點(diǎn)N，在此處造橋MN，所得路徑AMNB就是最短路徑，如圖2。

證明：如圖3，如果在不同于MN的位置造橋M1N1。由于M1N1=MN=AA1；又根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”?？芍珹N1+N1B>A1N+NB。

所以，路徑AMNB要短于AM1N1B。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小的問題”。通過平移搭建臺階，即平移橋或河道的辦法，將問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題，滲透了化歸的轉(zhuǎn)化思想。

（二）小結(jié)

師生一起回顧本節(jié)所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答

（1）本節(jié)研究問題的基本過程是什么？

（2）平移在研究問題中起什么作用？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把握研究問題的基本策略、基本思路、基本方法，體會平移在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化化歸思想的重要價值。

（三）作業(yè)

由學(xué)生畫圖并完成四條河、五條河、直到n條河相互平行和相互不平行的橋的建造，并總結(jié)出規(guī)律。

設(shè)計意圖：進(jìn)一步考查學(xué)生對本節(jié)所學(xué)知識的掌握程度以及平移等相關(guān)知識的綜合運(yùn)用能力。

教學(xué)反思：本節(jié)課應(yīng)著重體現(xiàn)小組合作學(xué)習(xí)的重要性，通過探究相互交流得到解決最短路徑的方法，由于難度較大，中差生學(xué)起來顯得力不從心。通過本節(jié)課的探究，我們不難體會到，造橋選址問題，要使所得到的路徑最短，就是要通過平移變換，使除橋長不變外所得到的其它路徑經(jīng)平移后在一條直線上。同時要讓學(xué)生明白許多問題的解決往往要通過特殊情形下的問題來解決，要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生學(xué)會探索一般與特殊，復(fù)雜與簡單之間的關(guān)系。如今修建的高速公路，許多的高架橋就是造橋選址在實(shí)際生活中的具體運(yùn)用。