“積不出”函數(shù)的判定與積分

楊立敏 趙嵩卿

摘要：一般高等數(shù)學(xué)書對于“積不出”函數(shù)的處理都是只給出三、四個簡單函數(shù)，沒有證明。學(xué)生不知如何判別所遇到的積分是否是“積不出”函數(shù)以及如何處理這類函數(shù)的積分，常常會感到困惑。本文從Liouville第三、四定理出發(fā)證明了三類“積不出”函數(shù)。不僅給出了較多的“積不出”函數(shù)，也給出了判別“積不出”函數(shù)的常見方法。最后又介紹了處理“積不出”函數(shù)積分的兩種方法。

關(guān)鍵詞：不定積分；“積不出”函數(shù)；初等函數(shù)；Liouville定理

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）23-0178-02

初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，連續(xù)函數(shù)是有原函數(shù)的，但初等函數(shù)的原函數(shù)不一定還是初等函數(shù)，初等函數(shù)的原函數(shù)若不是初等函數(shù)，它的不定積分是不能用教科書上提供的常用方法來求得的，這樣的函數(shù)被稱為“積不出”函數(shù)，這些不定積分都不能用初等函數(shù)來表示，但教科書上只是直接給出幾個簡單“積不出”函數(shù)，并且沒有證明，也沒有提到這些函數(shù)的原函數(shù)可以試用哪些辦法求得和被表示成什么樣子。容易讓人產(chǎn)生如下問題：（1）面對構(gòu)造那么簡單的函數(shù)，更傾向于它們可以被輕松求得原函數(shù)。（2）誤以為“積不出”函數(shù)很少見，就這么幾個，許許多多的函數(shù)是可以用常見辦法來積分的，碰到某些“積不出”函數(shù)時，不能判斷它，而是花大力氣去積分，浪費(fèi)了時間和精力。（3）這種做法也容易讓人覺得對于“積不出”函數(shù)的原函數(shù)，我們完全無能為力，無從下手。

為了解決以上三方面的問題，從替換定理[1]出發(fā)，本文先用Liouville第三定理[2]證明指數(shù)函數(shù)類的“積不出”函數(shù)，用歐拉公式和Liouville第四定理[2]證明三角函數(shù)類的“積不出”函數(shù)，用換元法和分部積分法給出更多的“積不出”函數(shù)，最后再給出尋找“積不出”函數(shù)的原函數(shù)的一些方法。

一、指數(shù)函數(shù)類“積不出”函數(shù)

參考文獻(xiàn)：

[1]張從軍.數(shù)學(xué)分析概要二十講[M].合肥：安徽大學(xué)出版社，2000：93-94.

[2]J.Liouville，Menreire sar lintegrtino dune classe de funcations tran scrndandres，J.Reine Angew.Math. 1835，vol.12：93-118.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008：201-205，216-217.