分?jǐn)?shù)階PDμ控制器與常規(guī)PD控制器在倒立擺中的應(yīng)用研究

賈瑞強(qiáng)

摘 要：對比分析分?jǐn)?shù)階PDμ控制器與常規(guī)PD控制器在倒立擺系統(tǒng)中的控制性能。以直線一級倒立擺為被控對象，利用牛頓-歐拉方法創(chuàng)建了整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。提出了雙回路PD控制方案，對倒立擺的兩個被控變量一同進(jìn)行閉環(huán)控制，分別設(shè)計了常規(guī)PD控制器和分?jǐn)?shù)階PDμ控制器，并在Matlab中對系統(tǒng)實施了仿真。由仿真結(jié)果可知，兩種控制策略均能完成倒立擺的穩(wěn)定控制，但分?jǐn)?shù)階PDμ控制器使整個系統(tǒng)有較小的超調(diào)量，震蕩小，調(diào)節(jié)時間短，較常規(guī)PD控制器有更好的控制效果。

關(guān)鍵詞：直線一級倒立擺；分?jǐn)?shù)階PDμ控制器；常規(guī)PD控制器；MATLAB

0 引言

直線一級倒立擺是一個不穩(wěn)定、多變量的非線性系統(tǒng)，對其施加的控制需要微型計算機(jī)、控制工程、傳感器等多個領(lǐng)域的相關(guān)知識。倒立擺廣泛應(yīng)用在實際的控制實驗測試中，它能夠進(jìn)行系統(tǒng)魯棒性、穩(wěn)定性和可控制性等特性的分析。倒立擺的原理已經(jīng)不再停留在實驗研究的初步階段，目前它被運(yùn)用在各種工程中。因此，對倒立擺的探究既具有很強(qiáng)的理論價值，又有很強(qiáng)的實際價值。

整篇文章主要以倒立擺為具體的研究目標(biāo)，憑借常規(guī)PID控制策略與分?jǐn)?shù)階PID控制策略的理論基礎(chǔ)，使用Matlab仿真，完成倒立擺模型創(chuàng)建、控制器設(shè)計與仿真研究，最后對比分析了兩種PID控制方法。

1 系統(tǒng)建模

倒立擺自身固然是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)忽視掉空氣阻力和種種摩擦等成分后，便是經(jīng)典的運(yùn)動的剛體系統(tǒng)[1-2]?？梢詰?yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論的相關(guān)知識體系在慣性坐標(biāo)系內(nèi)創(chuàng)建系統(tǒng)的動力學(xué)方程。因此整個倒立擺的精確數(shù)學(xué)模型可以用牛頓—?dú)W拉方法來創(chuàng)建。

2 常規(guī)PD控制器設(shè)計

PID控制器是應(yīng)用最為廣泛、技術(shù)最成熟的控制器[3]。雖然種種新型控制器不斷出現(xiàn)，但PID控制器仍舊以其結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)等長處，占有主導(dǎo)地位。PID控制器由比例單元P、積分單元I和微分單元D組成，經(jīng)由Kp，Ki和Kd 3個參數(shù)的調(diào)節(jié)來達(dá)到良好的控制效果。其傳遞函數(shù)為：

由數(shù)學(xué)模型可以知道，單級倒立擺是一個單輸入雙輸出的被控對象，為此本文提出雙回路PD控制方案，這樣可對系統(tǒng)的兩個被控變量同時進(jìn)行閉環(huán)調(diào)節(jié)，完成倒立擺的穩(wěn)定控制。其模型與狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的模型相同，所以可通過極點(diǎn)配置法得到PD控制器的六個參數(shù)。取期望極點(diǎn)為μ1=-10，μ2=-10，μ3=-1.432+j1.671，μ4=-1.432-j1.671，在Matlab中求取反饋增益矩陣為：

[-10.0266 -7.9349 44.9897 6.2855] （2）

3 分?jǐn)?shù)階PDμ控制器設(shè)計

常規(guī)PID控制器的3個系統(tǒng)變量Kp，Ki，Kd一樣是分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器可整定的變量，同時它又多了兩個可調(diào)變量λ與μ。由于λ與μ值可以取值為分?jǐn)?shù)，而不只是常規(guī)PID控制器中的1或另外的整數(shù)，故分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器變量的可調(diào)節(jié)區(qū)域更加廣泛，能夠更靈活地調(diào)節(jié)被控系統(tǒng)，以便獲得更好的控制結(jié)果。

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器傳遞函數(shù)為

同上，這里也采用雙回路分?jǐn)?shù)階PDμ控制策略，同樣取以上期望極點(diǎn)，采用微粒群優(yōu)化算法[4]得到控制器參數(shù)=-15.5326，= -22.6401，= 137.5812，=25.9820，α= 0.8952，β= 1，0384。

4 仿真結(jié)果分析

設(shè)小車位移x的初始值為0，擺桿角度的初始值為0.05rad。仿真結(jié)果如圖1，可得出，兩種控制策略均能使小車位移靜止在零位，保持穩(wěn)定狀態(tài)，但分?jǐn)?shù)階PDμ控制器使小車位移有較小的超調(diào)量，系統(tǒng)震蕩小，調(diào)節(jié)時間短。兩種控制策略也可使擺桿角度靜止在零位，保持倒立穩(wěn)定狀態(tài)，但分?jǐn)?shù)階PDμ控制器使擺桿角度有較小的超調(diào)量，震蕩小，響應(yīng)速度快。

5 結(jié)論

文中以倒立擺為被控對象，利用牛頓-歐拉方法創(chuàng)建了整個系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。提出了雙回路PD控制方案，對倒立擺的兩個被控變量一同進(jìn)行閉環(huán)控制，分別設(shè)計了常規(guī)PD控制器和分?jǐn)?shù)階PDμ控制器，并在Matlab中對系統(tǒng)實施了仿真。由仿真結(jié)果可以知道，兩種控制策略均能完成倒立擺的穩(wěn)定控制，但分?jǐn)?shù)階PDμ控制器使整個系統(tǒng)有較小的超調(diào)量，震蕩小，調(diào)節(jié)時間短，較常規(guī)PD控制器有更好的控制效果。

參考文獻(xiàn)

[1]劉惠超，孔慶忠.最優(yōu)控制方法在直線倒立擺中的應(yīng)用[J].機(jī)械制造與自動化，2015，（5）：189-191.

[2]張白莉.單級倒立擺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性算法設(shè)計[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2011，（3）：120-122.

[3]梁春輝，馮雷，張欣.直線一級倒立擺控制策略研究及仿真分析[J].長春工程學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2010，（1）：36-40.

[4]李明杰，趙志誠，桑海.單級倒立擺的分?jǐn)?shù)階PI-λD-μ控制器設(shè)計[J].太原科技大學(xué)學(xué)報，2014，（1）：19-23.

（作者單位：石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院）