基于等幾何法的葉片電解加工過(guò)程仿真方法研究*

萬(wàn) 能 ，段永吉 ，張森堂 ，杜 珂

（1.西北工業(yè)大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072；2.中國(guó)航發(fā)沈陽(yáng)黎明航空發(fā)動(dòng)機(jī)（集團(tuán)）有限責(zé)任公司，沈陽(yáng) 110043）

電解加工以其加工效率高、加工表面質(zhì)量好、不產(chǎn)生殘余應(yīng)力等優(yōu)勢(shì)成為葉片加工的重要特種加工方法。由于電解加工的成形機(jī)理復(fù)雜，試驗(yàn)成本高，工具電極的設(shè)計(jì)難度大，需要反復(fù)試驗(yàn)修正。因此有必要在計(jì)算機(jī)中預(yù)先進(jìn)行加工過(guò)程仿真。不同工況下，葉片電解加工過(guò)程仿真可以減少批量生產(chǎn)前的試制時(shí)間和成本。目前，常用的電解加工過(guò)程仿真與陰極優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算方法主要基于有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）和邊界元法（BEM）。Purcar[1-2]提出應(yīng)用邊界元法仿真電解加工過(guò)程中的陽(yáng)極工件變化，利用解算網(wǎng)格單元節(jié)點(diǎn)沿電流密度方向的移動(dòng)速率獲得陽(yáng)極的形狀變化。Kozak[3-5]提出了穩(wěn)態(tài)條件下電解加工的電場(chǎng)數(shù)學(xué)模型，指出平衡狀態(tài)下陰陽(yáng)極間隙與電勢(shì)差、電導(dǎo)率之間的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系。Drake[6]采用數(shù)值方法仿真了不同溫度、壓力和電解液流速等情況下電解過(guò)程的穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)情況。Buoni[7-8]等使用有限元法離散一個(gè)任意的空間區(qū)域，求解每一個(gè)瞬時(shí)的電場(chǎng)分布。朱荻院士[9-11]團(tuán)隊(duì)也提出了在三維環(huán)境下基于有限元法進(jìn)行陰極設(shè)計(jì)的方法，并將方法應(yīng)用于壓氣機(jī)葉片加工的陰極設(shè)計(jì)中，但應(yīng)用有限元法降低了優(yōu)化效率和計(jì)算精度。但上述研究方法的不足是，因?yàn)閹缀谓Ｅc數(shù)值分析模型采用不同數(shù)學(xué)描述方法，兩者之間需要相互轉(zhuǎn)換，所以有如下問(wèn)題：（1）分析模型的準(zhǔn)備時(shí)間長(zhǎng)，轉(zhuǎn)換常出現(xiàn)模型質(zhì)量不好的現(xiàn)象；（2）陰極優(yōu)化與電解過(guò)程仿真的結(jié)果表現(xiàn)為網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的位置變化，需要通過(guò)擬合網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)重構(gòu)復(fù)雜型面；（3）傳統(tǒng)有限元法采用多項(xiàng)式基函數(shù)的網(wǎng)格單元逼近表示邊界，從原理上不能精確表達(dá)求解區(qū)域邊界處的約束，不適于葉片電解加工這類(lèi)對(duì)邊界敏感問(wèn)題的求解。Hughes[12]和Huerta[13]等提出等幾何方法，利用 NURBS 基函數(shù)統(tǒng)一幾何建模與數(shù)值分析的思路。Wang等[14]借鑒無(wú)網(wǎng)格方法中的變換法思想，提出一種基于配點(diǎn)的強(qiáng)施加方法——通過(guò)選擇一組合適的邊界配點(diǎn)擬合控制變量，從而顯著提高近似解的收斂率。文獻(xiàn)[15]針對(duì)平流-擴(kuò)散問(wèn)題和不可壓縮 Navier-Stokes 方程提出了Dirichlet 邊界條件的弱施加方法，該方法為解決等幾何分析中邊界條件處理提供了重要思路，并將這種方法推廣到了墻壁約束的湍流問(wèn)題[16]。因此，本文試圖將等幾何法應(yīng)用于葉片電解加工的過(guò)程仿真，以期避免過(guò)程仿真中反復(fù)轉(zhuǎn)化幾何與分析模型，同時(shí)能夠更快地分析收斂和具有更高的分析精度。

葉片電解加工腐蝕的數(shù)學(xué)模型

葉片這類(lèi)復(fù)雜型面工件的電解加工可采用一個(gè)形狀類(lèi)似的陰極工具（刀具），工件作為陽(yáng)極。以陰極工具向陽(yáng)極工件逐步進(jìn)給，在陰陽(yáng)極之間的加工間隙通過(guò)高速電解液，帶走葉片表面的陽(yáng)離子，逐漸將葉片工件腐蝕成需要的表面形狀，如圖1所示。

對(duì)于葉片電解加工過(guò)程而言，是多種物理場(chǎng)耦合作用形成最終葉片外形。在這些影響因素中，電壓引起工件的電化學(xué)反應(yīng)并且加工時(shí)間決定了葉片表面的材料溶解量。因此，本文在影響電解加工的諸多因素中，選取了電場(chǎng)作為加工仿真的物理對(duì)象，構(gòu)建了相應(yīng)的仿真模型。

圖1 葉片電解加工原理模型Fig.1 Electrochemical machining principle diagram

一般認(rèn)為，當(dāng)電解加工過(guò)程處于平衡狀態(tài)時(shí)，加工間隙內(nèi)的電場(chǎng)屬于穩(wěn)恒電場(chǎng)，電位分布符合Laplace方程：

工件陽(yáng)極邊界條件Γa為：

陰極邊界Γc條件為：

在邊界Γb上邊界條件為：

以上式中，φ為加工間隙中各點(diǎn)電勢(shì)值，U為工件陽(yáng)極表面電勢(shì)值，n為工件陽(yáng)極表面各處的法向坐標(biāo)。在電解加工中，工件的外形變化取決于表面材料溶解率，而材料溶解率取決于加工間隙間的電勢(shì)梯度。電勢(shì)梯度是隨著加工過(guò)程中材料幾何外形的變化而變化的。通過(guò)分析加工間隙中的電場(chǎng)分布就可以獲得電勢(shì)梯度，隨后陽(yáng)極工件的腐蝕速度也可以根據(jù)法拉第定律計(jì)算得到。

根據(jù)電場(chǎng)理論，電流密度j與電場(chǎng)強(qiáng)度E成正比：

其中，j是電流密度，E是電場(chǎng)強(qiáng)度，к是電解液電導(dǎo)率。

根據(jù)法拉第定律，陽(yáng)極工件的材料溶解體積可以被定義為：

其中，ω是陽(yáng)極材料的體積電化學(xué)當(dāng)量，I是電流，t是加工時(shí)間。

另外，電解加工中去除材料的體積可以被定義為：

其中，va是陽(yáng)極的溶解速率，ΔS是陽(yáng)極表面腐蝕的一個(gè)小面積塊。

電流則可定義為：

將公式（5）、（6）、（7）代入公式（8），則可獲得陽(yáng)極工件的腐蝕率表達(dá)為：

工件腐蝕速度va和陰極垂直進(jìn)給速度v之間的關(guān)系是：

為了顯示陽(yáng)極工件型面的變化過(guò)程，需要計(jì)算仿真葉片加工間隙的電場(chǎng)分布與腐蝕情況。陽(yáng)極工件隨著陰極工具的進(jìn)給而被腐蝕，陽(yáng)極工件型面發(fā)生變化進(jìn)而造成加工間隙變化。取不同時(shí)刻的陰極工具進(jìn)給狀態(tài)，可以計(jì)算出陽(yáng)極工件不同時(shí)刻的腐蝕狀態(tài)，形成葉片電解加工過(guò)程仿真。

基于等幾何法的電解加工過(guò)程仿真特點(diǎn)與思路

1 基函數(shù)統(tǒng)一的幾何與分析模型

目前，商用CAD系統(tǒng)通常采用非均勻有理B樣條表示葉片這類(lèi)具有復(fù)雜曲面的幾何模型。等幾何法的基本思想就是采用同一套NURBS基函數(shù)統(tǒng)一表達(dá)幾何模型和數(shù)值分析模型。對(duì)于葉片加工間隙采用樣條體表示，它是使用3個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量定義的張量積樣條。

其中：

式中為節(jié)點(diǎn)矢量的索引集，為各節(jié)點(diǎn)矢量對(duì)應(yīng)的單變量B樣條基函數(shù)。ωijk，ωi'j'k'為權(quán)因子。

2 自然劃分加工間隙的參數(shù)域

NURBS基函數(shù)是由節(jié)點(diǎn)矢量和樣條次數(shù)定義的，而張量積樣條的節(jié)點(diǎn)矢量正好張成加工間隙參數(shù)域上的規(guī)則網(wǎng)格。等幾何法采用節(jié)點(diǎn)矢量張成的規(guī)則網(wǎng)格做自然劃分，而無(wú)需后續(xù)的網(wǎng)格剖分工作。借用經(jīng)典有限元法中單元和節(jié)點(diǎn)的概念，把等幾何法中的單元類(lèi)比為測(cè)度不等于零的節(jié)點(diǎn)間隙，而節(jié)點(diǎn)類(lèi)比為間隙內(nèi)非零基函數(shù)對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)。對(duì)于三維張量積樣條，單元可表示為其中可以發(fā)現(xiàn)單元內(nèi)的非零基函數(shù)共有個(gè)，其中p，q，r為基函數(shù)的次數(shù)。

3 NURBS基函數(shù)的非插值性

相對(duì)于經(jīng)典有限元的多項(xiàng)式基函數(shù)，NURBS基函數(shù)具有很多優(yōu)點(diǎn)，例如它可以精確表示任意的幾何模型，在單元邊界處可以獲得更高的連續(xù)性，但它缺少一個(gè)重要的性質(zhì)，即在節(jié)點(diǎn)處的插值性，即εj為節(jié)點(diǎn)處的參數(shù)值。雖然可以由“開(kāi)放節(jié)點(diǎn)矢量”定義的單變量樣條基函數(shù)在曲線(xiàn)首末端點(diǎn)處獲得插值性，但是當(dāng)擴(kuò)展為張量積樣條時(shí)并不是總能成立。單變量基函數(shù)在首末端點(diǎn)處滿(mǎn)足插值條件，但是二維張量積樣條基函數(shù)除4個(gè)角點(diǎn)外，在其他各節(jié)點(diǎn)處都不具有插值性。因此等幾何法不能像傳統(tǒng)有限元法一樣對(duì)葉片電解加工間隙的節(jié)點(diǎn)處場(chǎng)變量插值以表示Dirichlet邊界條件。

4 葉片電解加工過(guò)程仿真思路

在葉片電解加工的計(jì)算機(jī)過(guò)程仿真中，葉片工件與陰極工具之間的加工間隙一般采用CAD系統(tǒng)建立其幾何模型。這種幾何模型是基于B-Rep格式表達(dá)的體模型，而以其作為加工間隙求解域，則采用多項(xiàng)式網(wǎng)格劃分進(jìn)行有限元法的數(shù)值計(jì)算。當(dāng)求解域幾何變化后，需要重新劃分網(wǎng)格，計(jì)算分析后又需要重新調(diào)整加工間隙的NURBS曲面形狀。究其原因就是幾何求解域與物理量逼近空間采用不同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，因此造成過(guò)程仿真中模型重復(fù)轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換精度喪失等問(wèn)題。因此本文利用加工間隙的參數(shù)化幾何模型與分析模型共用NURBS基函數(shù)實(shí)現(xiàn)參數(shù)化建模，并自然完成分析單元?jiǎng)?chuàng)建。在完成某一瞬態(tài)下的電場(chǎng)強(qiáng)度分析后，根據(jù)法拉第定律建立腐蝕體積與電場(chǎng)強(qiáng)度之間關(guān)系，可以獲得加工Δt時(shí)間后加工間隙邊界上任意一點(diǎn)處在不同方向上的位移。根據(jù)邊界上采樣點(diǎn)的位移反求各自由曲面邊界上的控制頂點(diǎn)位移，即完成了加工間隙重新幾何建模，如圖2所示。

圖2 葉片電解加工仿真過(guò)程Fig.2 Simulation process of blade ECM

基于等幾何法的葉片電解加工電場(chǎng)強(qiáng)度分析

1 葉片電解加工常微分方程組構(gòu)建

采用加權(quán)余量法推導(dǎo)方程（1）的等效積分弱形式：

方程（1）兩邊同乘以權(quán)函數(shù)w，得到：

由格林第一公式：

式中由于在邊界Γb上在本質(zhì)邊界Γa和Γc上權(quán)函數(shù)w=0，則可得到：

使用NURBS基函數(shù)作為電場(chǎng)的形狀函數(shù)，只在空間域上進(jìn)行離散化。其中 為電勢(shì)物理量的控制變量，即基函數(shù)的系數(shù)項(xiàng)，電位場(chǎng)值變量的逼近公式可寫(xiě)為：

取權(quán)函數(shù)w為NURBS基函數(shù)族，再代入到公式（6）中可以得到方程組形式：

整理得到電位場(chǎng)值問(wèn)題的一階常微分方程組形式：

式中為某時(shí)刻加工間隙電勢(shì)值的控制變量，[Kij]和[Fi]分別被稱(chēng)為剛度矩陣和載荷向量。它們的計(jì)算公式為：

2 葉片電解加工間隙的剛度矩陣和載荷向量的裝配

假設(shè)葉片電解加工加工區(qū)間對(duì)應(yīng)U、V、W方向上參數(shù)域的節(jié) 點(diǎn) 矢 量 為 [0,ε1,ε2,...εi,εi+1,...1]，[0,η1,η2,...ηj,ηj+1,...1]和[0,ζ1,ζ2,...ζk,ζk+1,...1]，基于這些節(jié)點(diǎn)矢量所構(gòu)建的基函數(shù)為Ni,Nj,Nk。由于NURBS基函數(shù)的局部支撐性，即基函數(shù)Ni,Nj,Nk只在區(qū)間內(nèi) 有 非零值，其中基函數(shù)取工程中常見(jiàn)的3次，即p=3，公式（14）中的積分運(yùn)算就不用在整個(gè)參數(shù)域Ω內(nèi)進(jìn)行?？紤]參數(shù)域中所有測(cè)度不為零的間隔，可以把Ωe看成為電解加工間隙劃分的等幾何分析單元，因此顯然有結(jié)論定義單元?jiǎng)偠染仃嘯K e]和單元載荷向量[F e]：

類(lèi)似于有限元方法，等幾何分析法也可以看成是劃分了NURBS樣條體單元，如圖3所示，但這種單元在加工間隙建模完成時(shí)即已完成。同樣等幾何法也有一個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚭洼d荷向量的裝配過(guò)程，通過(guò)單元?jiǎng)偠染仃囇b配得到全局剛度矩陣。

3 葉片電解加工間隙幾何的參數(shù)化

葉片電解加工間隙的邊界Γa與邊界Γc為自由曲面，邊界Γb為直紋面。為了建立加工間隙的參數(shù)化幾何模型，可以對(duì)工件表面和陰極工具表面選取采樣點(diǎn)，獲得邊界Γa和Γc上的采樣點(diǎn)，另外依據(jù)等參條件給定Γb上的采樣點(diǎn)，如圖4所示。

圖3 NURBS樣條體單元Fig.3 NURBS volume element

圖4 葉片電解加工間隙的三維模型及采樣點(diǎn)Fig.4 sampling points on the model of machining gap

航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的葉盤(pán)葉背的曲面比較平展，曲率變化不急劇。因此本文的采樣點(diǎn)選取原則：在邊界曲面Γa、Γc和Γb的邊界線(xiàn)上沿著U向、V向和W向按照等弧長(zhǎng)原則選擇采樣點(diǎn)，分別取樣m、n、l個(gè)點(diǎn)，按照3個(gè)方向分別記為Pijk。曲面上采樣點(diǎn)集合Pijo、Pijl按照U、V方向等參選取， 集合按照V，W方向等參選取，Piok、Pink集合按照U，W方向等參選取。其中，i=0，1,2，...，m；j=0，1,2，...，n；k=0，1,2，...，l。

建立葉片電解加工間隙參數(shù)化模型的步驟如下：

（1）如圖4所示，在加工間隙的邊界上取采樣點(diǎn)集合Pioo，其 中

（2）采用累加弦長(zhǎng)法建立P0jk，Pi0k和Pij0集合對(duì)應(yīng)在參數(shù)域中對(duì)應(yīng)參數(shù)值，其中i=0，1,2，...，m；j=0，1,2，...，n；k=0，1,2，...，l。將U、V、W3個(gè)方向的節(jié)點(diǎn)矢量統(tǒng)一記為，其中可以代表其中任何一種，s是對(duì)應(yīng)下標(biāo)i、j、k其中一種。

（3）構(gòu)建3個(gè)方向的節(jié)點(diǎn)矢量。即令節(jié)點(diǎn)矢量滿(mǎn)足p是曲面的次數(shù)，本文取工程中最常見(jiàn)的次數(shù)為p=3。

（4）節(jié) 點(diǎn) 矢 量 記 為rs′其 中s′=0,1,2,...,s+p+1，。以rs′作為節(jié)點(diǎn)矢量分別構(gòu)建在U、V、W方向上的 NURBS 基函數(shù)Ni、Nj和Nk。

（5）分別對(duì)Γa、ΓbF、ΓbB、ΓbL、ΓbR、Γc6個(gè)邊界面反求其控制頂點(diǎn)集合若記加工間隙邊界Γ上的控制頂點(diǎn)為Ctrl(Γ)，則可得到：

（6）驗(yàn)證采樣點(diǎn)擬合曲面誤差。由于采用的是準(zhǔn)均勻節(jié)點(diǎn)矢量，因此對(duì)于6個(gè)邊界曲面，每張曲面的角點(diǎn)處采樣點(diǎn)P000，Pm00，P00l，Pm0l，P0n0，Pmn0，P0nl，Pmnl與控制頂點(diǎn)重合，因此可以將由采樣點(diǎn)擬合的邊界曲面Γ f和CAD建模的理論邊界曲面Γ t的4個(gè)角點(diǎn)重合。由邊界Γ t上采樣點(diǎn)Pijk做邊界Γ f的垂線(xiàn)，交于邊界Γ f上的點(diǎn)記 為P′ijk。 記

當(dāng)滿(mǎn)足εmjk≤ ε,εi0k≤ ε,εink≤ ε 時(shí)，則認(rèn)為控制頂點(diǎn)所構(gòu)建加工間隙邊界與加工間隙模型一致。

（7）通過(guò)對(duì)邊界控制頂點(diǎn)超限插值可以得到整個(gè)加工間隙體的控制頂點(diǎn)：

（8）最終得到葉片電解加工參數(shù)化間隙體的控制頂點(diǎn)為：

其中，i=0，1,2，...，m，j=0，1,2，...，n，

因此，葉片電解加工間隙的幾何模型可表示為

文章后續(xù)將

簡(jiǎn)寫(xiě)為

4 Dirichlet邊界約束處理

由于采用NURBS基函數(shù)表達(dá)葉片電解加工間隙的電場(chǎng)分布，因此不能像傳統(tǒng)分段多項(xiàng)式有限元單元一樣插值Dirichlet邊界上采樣點(diǎn)的電場(chǎng)值。因此，采用強(qiáng)施加方法對(duì)公式（14）施加Dirichlet邊界條件。假設(shè)弱解φ∈s可以表示為兩部分之和：u=e+g，其中g(shù)∈s，e∈V，代入到公式（11）中得到：

式中是集合B中對(duì)應(yīng)基函數(shù)的控制變量是集合I中對(duì)應(yīng)基函數(shù)的控制變量?？紤]到NURBS基函數(shù)的局部支撐性質(zhì)，只有少量的基函數(shù)在邊界上有非零值。不失一般性，假設(shè)集合由于加工間隙中穩(wěn)態(tài)電場(chǎng)的求解方程組公式（14）沒(méi)有考慮強(qiáng)制邊界條件，剛度矩陣是奇異的。因此，在邊界Γa和Γc上引入采樣點(diǎn)χmm0，χmm1處的電場(chǎng)電勢(shì)值對(duì)應(yīng)參數(shù)域坐標(biāo)為則弱解中的強(qiáng)制邊界條件項(xiàng)可近似表示為：

對(duì)其中的基函數(shù)進(jìn)行排序后，可以求出控制變量并將帶入到公式（14）消元后即可求得未知內(nèi)部控制變量。令最終利用逼近表達(dá)了電解加工間隙的電勢(shì)分布。

葉片電解加工過(guò)程的仿真

通過(guò)采用NURBS基函數(shù)作為逼近電勢(shì)空間的形狀函數(shù)，求得了陽(yáng)極表面任一點(diǎn)處的電勢(shì)值。由于電場(chǎng)強(qiáng)度是電勢(shì)的梯度，即可得記加工間隙邊界曲面上任意一點(diǎn)為加工 Δt時(shí)間后該點(diǎn)的位移后的坐標(biāo)為：

對(duì)于葉片陽(yáng)極表面Γa而言，根據(jù)公式（9）計(jì)算得到腐蝕速率在 腐 蝕 時(shí) 間 Δt時(shí)間后，可以得到陽(yáng)極工件表面上任一點(diǎn)在U、V、W方向上的位移分量為和陽(yáng)極表面上對(duì)應(yīng)該點(diǎn)腐蝕產(chǎn)生位移后的坐標(biāo)記為：

對(duì)于陰極工具表面Γc而言，它是沿著Z軸的負(fù)方向以速度v進(jìn)給，而陰極工具由于不會(huì)發(fā)生電化學(xué)反應(yīng)，因此其表面不會(huì)發(fā)生變化，是一種剛體運(yùn)動(dòng)。其上任一點(diǎn)的位移是：

如圖5所示，對(duì)于加工間隙的邊界曲面Γb而言，其上任一點(diǎn)隨著加工間隙的變化而產(chǎn)生位移。在t時(shí)刻，由陰極曲面邊界曲線(xiàn)上采樣點(diǎn)其集合記為Pc，其每一點(diǎn)的Z坐標(biāo)記為沿其進(jìn)給方向做直線(xiàn)交于陽(yáng)極曲面邊界曲線(xiàn)上，交點(diǎn)記為（其集合記為P'c），求出間隙值為腐蝕 Δt時(shí)間后，間隙值變?yōu)橹忻恳稽c(diǎn)的Z坐標(biāo)記為則在邊界Γb上任一點(diǎn)的位移是：

由于在時(shí)刻t=0時(shí)，邊界Γa、Γb和Γc上采樣點(diǎn)記為根據(jù)公式（19）、（20）和 (21)計(jì) 算 可 得 Δt時(shí)間后的對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)為將采樣點(diǎn)執(zhí)行“建立葉片電解加工間隙參數(shù)化模型”第（5）步反求出各邊界面上的控制頂點(diǎn)，執(zhí)行第（7）步超限插值獲得加工Δt后加工間隙樣條體的控制頂點(diǎn)相應(yīng)的加工間隙參數(shù)化幾何體為

利用統(tǒng)一的NURBS基函數(shù)統(tǒng)一表達(dá)幾何模型與數(shù)值計(jì)算模型，將陽(yáng)極工件表面因?yàn)楦g而造成的型面幾何變化直接轉(zhuǎn)化為型面控制頂點(diǎn)的變化，可以避免葉片電解加工過(guò)程仿真中兩種模型的相互轉(zhuǎn)換。消除了由于傳統(tǒng)有限元法方法因?yàn)橐M(jìn)行模型轉(zhuǎn)化而影響計(jì)算效率的因素。

試驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)上述分析，我們?cè)O(shè)置電解加工仿真的電勢(shì)差為15V，陰極進(jìn)給速度為0.5mm/min，電解液成分為NaNO3，濃度10%，初始溫度25～30℃，流速為 15m/s，工件材料為2Cr13鋼。

利用三維設(shè)計(jì)軟件NX建立葉片電解加工初始狀態(tài)下陽(yáng)極工件和陰極工具加工型面的幾何模型，如圖6所示。

在加工間隙的每個(gè)面上，分別在兩個(gè)方向上按照等弧長(zhǎng)原則選擇采樣點(diǎn)，并通過(guò)采樣點(diǎn)反求每個(gè)面的控制頂點(diǎn)。利用“超限插值”方法求解出加工間隙體內(nèi)的控制頂點(diǎn)，得到加工間隙體的控制頂點(diǎn)網(wǎng)格，從而參數(shù)化地表達(dá)加工間隙體，如圖7所示。

圖5 采樣點(diǎn)的腐蝕位移模型Fig.5 Sampling point corrosion displacement model

圖6 加工間隙幾何模型Fig.6 Geometry model of machining gap

利用邊界配點(diǎn)法施加電解加工間隙邊界處的電勢(shì)約束條件，通過(guò)計(jì)算得到加工間隙內(nèi)的電勢(shì)分布，電場(chǎng)矢量分布如圖8所示。

對(duì)經(jīng)典有限元和等幾何分析的收斂速度進(jìn)行比較，將經(jīng)典有限元和等幾何分析法分別采用三次函數(shù)構(gòu)建。雖然樣條函數(shù)也可理解為定義在參數(shù)域內(nèi)的分段（有理）多項(xiàng)式，但它通?？梢垣@得比經(jīng)典有限元更高的單元邊界連續(xù)性。經(jīng)典有限元在單元邊界處通常是C0連續(xù)，而樣條函數(shù)可以獲得C p-r（r為節(jié)點(diǎn)重復(fù)次數(shù)）連續(xù)。因此，如圖9所示，等幾何分析方法可以獲得更高的分析精度。計(jì)算數(shù)據(jù)表明，在相同的網(wǎng)格自由度情況下，F(xiàn)EM和等幾何法都能達(dá)到收斂，但是相對(duì)來(lái)說(shuō)等幾何法的收斂速度明顯要快于FEM。

利用求解出的電場(chǎng)矢量分布，根據(jù)公式（19）、（20）和 (21)計(jì)算可得Δt時(shí)間后的對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)的偏移，通過(guò)采樣點(diǎn)新的位置重新擬合陽(yáng)極工件型面，并帶入公式反求每個(gè)面的控制頂點(diǎn)，超限插值建立加工間隙體的控制頂點(diǎn)網(wǎng)格，并再次進(jìn)行分析計(jì)算。這樣隨著工具陰極不斷的進(jìn)給，工件陽(yáng)極被不斷的腐蝕加工，我們選取仿真過(guò)程中T=0min、T=5min、T=10min、T=15min 4個(gè)時(shí)間點(diǎn)，可以清楚地看出陽(yáng)極工件隨著時(shí)間的變化慢慢成形，如圖10所示。

圖7 加工間隙體的控制頂點(diǎn)Fig.7 Control points of machining gap parametric model

圖8 加工間隙內(nèi)的電勢(shì)分布與電場(chǎng)矢量分布Fig.8 Electric potential distribution and electric field distribution

圖9 有限元和等幾何法的收斂速度比較Fig.9 Convergence speed comparison between finite element method and Isogeometric analysis

圖10 加工間隙電解過(guò)程仿真Fig.10 Process simulation of ECM

結(jié)束語(yǔ)

電解加工是航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片加工的一種重要的特種加工技術(shù)，其加工過(guò)程仿真對(duì)于預(yù)測(cè)加工結(jié)果、提升加工質(zhì)量等都有幫助作用。本文針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片這類(lèi)具有復(fù)雜型面產(chǎn)品的電解加工過(guò)程仿真，提出加工間隙幾何建模和電場(chǎng)分布數(shù)值分析共用相同的NURBS基函數(shù)這一思路，幾何建模結(jié)束就自然劃分了用于電場(chǎng)矢量分析的單元網(wǎng)格，電場(chǎng)矢量分析結(jié)果直接轉(zhuǎn)化為幾何模型的控制頂點(diǎn)位移，避免了傳統(tǒng)有限元方法的網(wǎng)格剖分與幾何模型重構(gòu)，節(jié)約了這兩部分所消耗的時(shí)間。另外，對(duì)于相同粒度的網(wǎng)格單元，等幾何法較有限元法有更快的收斂速度，單次分析所用時(shí)間短于使用有限元法。因此，基于等幾何法進(jìn)行航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片電解加工的過(guò)程仿真較傳統(tǒng)采用有限元法具有更好的響應(yīng)速度和更高的仿真精度。

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