含混合常時滯的中立型系統(tǒng)穩(wěn)定性

張玉鳳， 周榮康

(1. 江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學院 機電工程學院， 江蘇 徐州 221116；2. 華東理工大學 機械與動力工程學院， 上海 200237)

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含混合常時滯的中立型系統(tǒng)穩(wěn)定性

張玉鳳1， 周榮康2

(1. 江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學院 機電工程學院， 江蘇 徐州 221116；2. 華東理工大學 機械與動力工程學院， 上海 200237)

摘要：研究含混合常時滯的不確定中立系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，基于時滯分割方法，分別通過構(gòu)造恰當?shù)腖yapunov-Krasovskii泛函，并結(jié)合積分不等式處理技巧、自由權(quán)矩陣以及凸組合技術(shù)得到新的穩(wěn)定性判據(jù).通過數(shù)值仿真,將文中所得結(jié)論與已有的文獻結(jié)果進行比較，驗證結(jié)論的有效性.數(shù)值仿真表明：文中方法改善了已有文獻的結(jié)果，降低了結(jié)論的保守性.

關(guān)鍵詞：時滯系統(tǒng)； Lyapunov-Krasovskii泛函； 穩(wěn)定性； 魯棒性； 中立系統(tǒng)

對時滯系統(tǒng)的研究始于20世紀50至60年代，當時一些基本理論(系統(tǒng)方程解的唯一性、零解的穩(wěn)定性理論)就已形成[1]，這些系統(tǒng)分析理論為后續(xù)的研究奠定了一定的基礎(chǔ)，但是直到近二十年來，對時滯系統(tǒng)的研究才真正成為一個熱點課題，尤其是在控制理論和控制工程領(lǐng)域[2-4].如何針對動態(tài)時滯模型進行穩(wěn)定性分析，分析時滯對控制系統(tǒng)的影響或合理地利用系統(tǒng)的時滯信息，以提高控制系統(tǒng)的性能，具有重要的理論意義及現(xiàn)實意義[5-8].目前,關(guān)于時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的多數(shù)結(jié)論是基于時滯相關(guān)條件而展開的.關(guān)于時滯相關(guān)條件的討論，在時域內(nèi)采用的研究方法主要涉及以下兩個部分[9]：一是如何構(gòu)造合適的Lyapunov-Krasovskii(L-K)函數(shù)；二是如何有效地處理L-K泛函的導數(shù).對這兩個方面研究的最終目標是使所得的時滯相關(guān)條件具有更低的保守性和有效性.本文針對含混合常時滯的中立型系統(tǒng)，基于時滯分割方法討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.針對具有結(jié)構(gòu)不確定性的混合常時滯中立系統(tǒng)，基于時滯分割方法構(gòu)造了新的L-K函數(shù)，結(jié)合積分不等式、自由權(quán)矩陣和凸組合技術(shù)推導出新的穩(wěn)定性判定條件，并利用數(shù)值算例仿真驗證了文中結(jié)論比現(xiàn)有文獻具有更小的保守性.

1問題描述

考慮如下混合中立型系統(tǒng)，其離散時滯和中立時滯均為常數(shù)，即

(1)

式(1)中：x(t)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)的向量；時滯h>0，為已知標量，且γ=max{τ,h}；φ(t)為初始向量函數(shù)；A，B，C為適當維數(shù)的已知常數(shù)矩陣;ΔA(t),ΔB(t),ΔC(t)為系統(tǒng)參數(shù)的不確定性,且滿足條件

(2)

式(2)中：D,Ea,Eb,Ec為適當維數(shù)的常數(shù)矩陣;F(t)為未知時變矩陣,且滿足

(3)

式(3)中：如果F(t)=0，則系統(tǒng)變?yōu)闃朔Q線性中立系統(tǒng).

為保證系統(tǒng)穩(wěn)定而估計離散時滯的最大上界范圍，基于時滯分割法，將離散時滯進行平均分割，構(gòu)造合適的L-K泛涵，結(jié)合積分不等式，從而得到保守性更低的結(jié)論.

2結(jié)論及其證明

首先,考慮系統(tǒng)(1)的標稱系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即

(4)

(5)

成立,則系統(tǒng)(4)漸近穩(wěn)定.其中，

證明構(gòu)造如下L-K泛函

(6)

其中，

計算L-K泛函V(t)沿系統(tǒng)(4)的導數(shù)，則有

(7)

(8)

(9)

(10)

由Jensen′s不等式,可得

(11)

(12)

(13)

進而可得

(14)

綜合式(7)～(14)，可得

(15)

其中，

如果Φ<0，則由L-K穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)(1)的標稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.由Schur補可知，Φ<0等價于定理1中的條件(5)，證畢.

依據(jù)定理1的證明思路,有如下推論.

(16)

成立,則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.其中,

3數(shù)值仿真與比較

通過數(shù)值仿真比較,說明文中方法改善了已有文獻的結(jié)論.考慮如下中立系統(tǒng)[10],有

其中,

當c值不同時，推論1給出不同分割數(shù)下，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時滯上界hM的值，同時，與文獻[9-11]的結(jié)論進行比較，仿真結(jié)果如表1所示.由表1可知:相比已有文獻[9-11]，文中推論1所得結(jié)果保守性明顯降低，且隨著分割數(shù)目的增加，保守性進一步降低，但是也會產(chǎn)生計算量隨之增加的問題，為了折中結(jié)論的保守性和計算的復雜性，一般取N為較小的數(shù)值(2或3).

4結(jié)束語

研究了不確定中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題.針對含混合常時滯類型的不確定中立型系統(tǒng)，基于時滯分割法，把離散時滯區(qū)間[-h,0]均分成N份，針對不同的分割子區(qū)間構(gòu)造了包含簡單形式的泛函和三重積分形式的L-K函數(shù).該方法有效利用了系統(tǒng)的時滯信息，降低了結(jié)論的保守性.數(shù)值仿真表明:文中方法改善了已有文獻結(jié)果，降低了結(jié)論的保守性.

參考文獻：

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(責任編輯： 黃曉楠英文審校： 黃心中)

Study on Stability of Neutral System With Interval Time-Varying Delay

ZHANG Yufeng1， ZHOU Rongkang2

(1. College of Mechanical Engineering， Jiangsu Vocational Institute of Architectural Technology, Jiangsu Xuzhou 221116, China;2. Machinery and Power Engineering College, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China)

Abstract：The robust stability of uncertain neutral system with interval time-varying delay is studied. The new stability criteria are obtained by constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functional and combining integral inequality handling techniques, free weight matrix and convex combination. Numerical simulations are given to show the effectiveness of the proposed approach and the results of this paper are compared with the existing cited results. It shows that the method proposed in this paper improves the known results and shows less conservatism.

Keywords：time delay system; Lyapunov-Krasovskii functional; stability； robust； neutral system

中圖分類號：TP 391.9

文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學基金資助項目(60874059)

通信作者：張玉鳳(1972-)，女，副教授，主要從事電氣工程技術(shù)的研究.E-mail:1337783864@qq.com.

收稿日期：2015-10-21

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.03.0386

文章編號：1000-5013(2016)03-0386-05