雙調(diào)和映照的單葉性與線性連結(jié)性

黃心中, 占龍俊

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

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雙調(diào)和映照的單葉性與線性連結(jié)性

黃心中, 占龍俊

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021)

摘要：假設(shè)F(z)=|z|2g(z)+h(z)為單位圓盤D={z||z|<1}上的雙調(diào)和映照,其中，0

關(guān)鍵詞：雙調(diào)和映照; 凸映照; 線性連結(jié)性; 單葉性

1預(yù)備知識

在單連通區(qū)域Ω上,連續(xù)可微函數(shù)f(z)定義為

對于單連通區(qū)域Ω上的4階連續(xù)可微復(fù)值函數(shù)F(z)=U(z)+iV(z),雙調(diào)和映照的充分必要條件是ΔF是Ω上的調(diào)和映照,即Δ2(F(z))=Δ(ΔF(z))=0,對任意z=x+iy∈Ω都成立.由文獻[2]可知：F(z)是單連通區(qū)域Ω上的雙調(diào)和映照，當且僅當 F(z)=|z|2g(z)+h(z),其中，h(z)和g(z)是Ω上的復(fù)值調(diào)和映照.

對于單連通區(qū)域Ω,任意兩點w1, w2∈Ω, 存在Ω上可求長曲線γ, 使得γ的弧長 l(γ)滿足l(γ)≤M|w1-w2|.其中，M∈[1,∞),稱Ω為M線性連結(jié)區(qū)域.

文獻[4]對文獻[3]所得的結(jié)論作進一步推廣,得到參數(shù)化的成果,即定理B.

陳少林等[8]證明了定理C.

在上述基礎(chǔ)上,文中研究雙調(diào)和映照的單葉性與線性連結(jié)性的關(guān)系.對于雙調(diào)和映照函數(shù)F(z)=

對于w1,w2∈h(D),γ1?h(D),其中，γ1為連結(jié)w1和w2的可求長曲線,由于h(D)是M1-線性連結(jié)區(qū)域,則有h(γ1)≤M1|w1-w2|.

對映照h-1(h(z))=z分別求微分,有

則有

接下來，證明F(D)是M2線性連結(jié)區(qū)域.令Γ1=H(γ1),有

因此

證明首先,要證明h(z)是單葉映照. 對于ξ=F(z)∈F(D), z=F-1(ξ)， 考慮到映照G(ξ)=h(F-1(ξ))=ξ-|F-1(ξ)|2g(F-1(ξ)),則只要證明G(ξ)是單葉映照.

對于ξ1,ξ2∈F(D),γ2?F(D),其中，γ2為連結(jié)點ξ1和ξ2的可求長曲線,由于F(D)是M3-線性連結(jié)區(qū)域,因此，l(γ2)≤M3|ξ2-ξ1|.

分別對映照F-1F(z))=z兩邊取微分得

由此推導(dǎo)出

綜上所述，有

接下來，證明h(D)是線性連結(jié)區(qū)域.令Γ2=G(γ2),有

由此可得

證明易證F(z)是單葉調(diào)和映照且F(D)是9/7-線性連結(jié)區(qū)域.由定理2可知：h(z)是單葉調(diào)和映照且h(D)是9-線性連結(jié)區(qū)域.顯然，h(z)為單葉的是凸映照.由此，定理2的結(jié)論是成立的.

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(責任編輯： 陳志賢 英文審校： 黃心中)

Univalence and Linear Connetivity of Biharmonic Mappings

HUANG Xinzhong, ZHAN Longjun

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

Abstract：Suppose that F(z)=|z|2g(z)+h(z) is a biharmonic mapping on the unit disk D={z||z|<1}, and 0

Keywords：biharmonic mapping; covex mapping; linear connectivity; univalence

中圖分類號：O 174.51; O 174.55

文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11471128)； 華僑大學(xué)中青年教師科研提升資助計劃(ZQN-YX110)

通信作者：黃心中(1957-)，男，教授，博士，主要從事函數(shù)論的研究.E-mail:huangxz@hqu.edu.cn.

收稿日期：2015-10-28

doi:10.11830/ISSN.1000-5013.2016.03.0375

文章編號：1000-5013(2016)03-0375-05