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    旋轉(zhuǎn)中心在直線上運動的問題

    2016-05-28 17:32:32周東
    考試周刊 2016年33期
    關(guān)鍵詞:繞點線段規(guī)律

    周東

    旋轉(zhuǎn)變換是三大變換中的難點,也是近年來中考命題的熱點.通過整理發(fā)現(xiàn),旋轉(zhuǎn)相關(guān)的中考題中,有一部分是旋轉(zhuǎn)中心在直線上運動的.本文以此為切入口,通過讓學(xué)生動手畫圖,探究發(fā)現(xiàn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上運動時,旋轉(zhuǎn)的方向和角度保持不變,旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移這一規(guī)律.并將這一規(guī)律加以運用,提高旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用能力.

    一、在操作中梳理知識,發(fā)現(xiàn)規(guī)律

    問題1:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的。

    分析:(1)旋轉(zhuǎn)的三要素是什么?(旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度)(2)畫圖時,運用了旋轉(zhuǎn)的哪些性質(zhì)?

    設(shè)計意圖:通過問題1的操作,梳理旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì),找到旋轉(zhuǎn)后不變的量,即圖形全等,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,旋轉(zhuǎn)角度相等.

    變式:在上題坐標(biāo)平面中分別以(0,2),(0,4)為旋轉(zhuǎn)中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°.畫出,旋轉(zhuǎn)后的這些三角形有什么關(guān)系?

    分析:(1)這題和前面問題1什么是相同的,什么是不同的?(2)旋轉(zhuǎn)后的圖形有什么關(guān)系,你可以提出什么猜想?

    小結(jié):當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上移動時,旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度保持不變,所得的圖形之間可以通過平移得到.

    設(shè)計意圖:通過畫圖,比較分析,提出猜想:當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心在直線上移動時,旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度保持不變,旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移.通過幾何畫板的操作可以驗證這一規(guī)律.

    二、在解題中鞏固知識,提高能力

    問題2:已知二次函數(shù)y=x-4交x軸于點A、B(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,D點坐標(biāo)(0,2),動點P在線段DO上從D到O運動,若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,求點A的對應(yīng)點A′移動的路徑長.

    分析:(1)當(dāng)點P在點D時,點A′在哪里?(在點B處)當(dāng)點P在點O時,點A′又在哪里?(0,-2)(2)點A′移動的路徑是什么圖形?(線段)

    設(shè)計意圖:通過確定旋轉(zhuǎn)中心的起點和終點確定A的路徑,即線段的兩個端點.從而概括出利用起點和終點確定路徑的方法.

    變式:若點P在y軸上,線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上,求點A和點P的坐標(biāo).

    分析:(1)當(dāng)點P在y軸上運動時,點A′是怎樣運動的?(呈直線平移)(2)求A所經(jīng)過的直線可以用兩個特殊點(2,0)(0,-2)求得,求出直線與拋物線的另一交點(1,-3)后,求點P的坐標(biāo)可以先求AA的解析式,再求AA中垂線的解析式,最后求中垂線與y軸的交點即可.

    設(shè)計意圖:(1)旋轉(zhuǎn)中心由在線段上變成在直線上,從而確定點A的運動路線也由線段變成直線,這樣就可以非常準(zhǔn)確地畫出圖形確定點,然后用解析法求點的坐標(biāo).(2)問題一發(fā)現(xiàn)的規(guī)律加以運用,讓學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)規(guī)律的價值.

    問題3:已知二次函數(shù)y=x-3交x軸于點A、B(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C.若點P在線段AC上,從點C到點A移動,移動速度為1,時間為t.將△OBC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△OBC.

    (1)若點P在點C上,求點O的坐標(biāo).

    (2)當(dāng)t為何值時點O落在線段BC上?

    (3)若OBC與△ABC重疊部分面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.

    分析:(1)如圖(1),當(dāng)點P在C點時,借助圓規(guī)和三角板畫出圖像.當(dāng)點P在A點時,O又在什么位置?(AC的中點)△OBC隨著點P的運動是怎樣運動的?(從右向左平移至點B與點C重合為止.)

    (2)當(dāng)t為何值時,O落在BC上?方法一:如圖(2),O的縱坐標(biāo)為-,代入BC的解析式可求得O的坐標(biāo),再求OO中垂線與AC的交點,即可求出t的值.方法二:如圖(3)易得△OCB為等邊三角形,可得O為BC的中點.方法三:如圖(3),也可證△OPO為等邊三角形.方法四:如圖(1),從勻速平移的路徑來看,點O落在BC上時,剛好為平移總路徑的一半,因此點P平移的時間也是總時間的一半.

    (3)在P點運動過程中,OBC與△ABC重疊部分是怎樣變化的?(從三角形到梯形)重疊部分的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式要分段討論.

    當(dāng)0≤t≤時,如圖(4),易知△DCE為直角三角形,S=×t·t=t;

    當(dāng)≤t≤2時,如圖(5),重疊部分為梯形,S=-t+3t-.

    設(shè)計意圖:(1)讓學(xué)生認清圖形旋轉(zhuǎn)是由點的旋轉(zhuǎn)組成的,即圖形旋轉(zhuǎn)之根本是點的旋轉(zhuǎn).(2)通過旋轉(zhuǎn)中心在線段上運動,找到O的平移路徑.從而可以判斷OBC的平移方向和路徑.(3)發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于60°時,對應(yīng)點連接旋轉(zhuǎn)中心后可以得到等邊三角形.(4)在旋轉(zhuǎn)特殊角度時,要充分運用三角板、圓規(guī)作出圖形.(5)運用整體思想,引導(dǎo)學(xué)生認清旋轉(zhuǎn)后圖形的運動路徑,然后根據(jù)路徑求解一些特殊情況的值.

    本文由旋轉(zhuǎn)的操作入手,在規(guī)定旋轉(zhuǎn)中心在直線上運動,旋轉(zhuǎn)方向和角度不變的情況下,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后的圖形呈直線平移的規(guī)律.然后從點的旋轉(zhuǎn)出發(fā),到三角形的旋轉(zhuǎn),并且把三角形的旋轉(zhuǎn)歸結(jié)為點的旋轉(zhuǎn),體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.旨在激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的熱情,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

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