銳角三角函數(shù)考法展示及破解策略

余中華

銳焦三角函數(shù)的內(nèi)容可分為兩個部分：第一部分是正弦、余弦和正切的基本概念，特殊角的三角函數(shù)值；第二部分是解直角三角形及其應(yīng)用.

1.中考考情分析

人教版教材一共有356課時，其中銳角三角函數(shù)一章一共安排了12課時，盡管本章內(nèi)容所占的課時比例少了點，但銳角三角函數(shù)卻是中考試卷的高頻考點，

為什么解直角三角形在中考試卷中出現(xiàn)的頻率如此之高呢？原因有兩個：（1）解直角三角形代表的是一類應(yīng)用問題，而且是幾何知識的應(yīng)用，要讓學生感覺到數(shù)學知識學有所用，那么中考試卷就必須要出現(xiàn)應(yīng)用問題.（2）高中階段，將要學習三角知識（解斜三角形，三角函數(shù)），因此銳角三角函數(shù)是繼續(xù)學習高中知識的需要，

通過對各地中考試卷分析，可以看出在中考試卷中，本章在中考試卷中常常會以一道解直角三角形的應(yīng)用問題的形式出現(xiàn)，偶爾可能以一道簡單的填空或選擇題的形式出現(xiàn).

2.銳角三角函數(shù)的基本概念是填空、選擇題的高頻考點

2.1深刻理解正弦、余弦、正切概念

給定直角三角形，求一個角的正弦、余弦、正切的值，或者通過構(gòu)造直角三角形求已知角的三角函數(shù)值，或者通過求相等角的三角函數(shù)值來解.

例1 （2014年廣東廣州卷）如圖1，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，則tanA=（

）

A.3/5

B.4/5

C.3/4

D.4/3

答案：D.

評注：本題已經(jīng)給定了Rt△ABC，直接利用正切的定義求解即可，理解銳角三角函數(shù)的定義是解決此類問題的關(guān)鍵.

評注：本題需要構(gòu)造直角三角形，可借助垂徑定理.連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D.如圖2根據(jù)圓周角和圓心角的關(guān)系可得到∠BOD與∠A相等，進而可將求∠A的正切值轉(zhuǎn)化為求∠BOD的正切值.

啟示：求銳角三角函數(shù)值必須在直角三角形中計算，如果圖中沒有直角三角形，可考慮作輔助線，通過構(gòu)造直角三角形來解決問題，

2.2 特殊角的銳角三角函數(shù)是中考關(guān)注的焦點

特殊的銳角三角函數(shù)常見考法有兩種：一是直接寫出特殊角的三角函數(shù)值；二是由特殊角的三角函數(shù)值推斷出角的度數(shù).

答案：A.

評注：本題是直接寫出60。的余弦，雖然簡單，但類似的考法在中考試卷中時常出現(xiàn).

評注：本題是已知一些角的三角函數(shù)值，逆推這些角的度數(shù)，這些值一般是特殊角的三角函數(shù)值.

2.3 銳角三角函數(shù)基本概念與其他幾何知識的綜合

在2014年中考試卷中，除了直接考查正弦、余弦、正切的概念外，還出現(xiàn)了一些與四邊形、圓等知識整合在一起的綜合問題.

答案：B.（提示：本題可通過作輔助線，再利用切線的性質(zhì)、三角形相似及勾股定理進行求解.輔助線的作法：連接OA，OB，OP，延長BO交PA的延長線于F.）

評注：直接考查銳角三角函數(shù)知識，或者考查解直角三角形，一般難度都不是很大，如果要提升難度，那么只能與其他知識綜合起來.本題就是一道直線與圓的位置關(guān)系和正切概念的綜合題，題目的難度明顯提升，所以本題放在選擇題的最后一題，事實上，本題所用的銳角三角函數(shù)知識很簡單.

3.應(yīng)用問題考法展示及破解策略

解有關(guān)直角三角形的實際應(yīng)用問題是中考幾乎必考的知識點之一，這類問題的解題策略是將實際問題抽象為一個數(shù)學問題.抽象得到的幾何圖形可能是一個直角三角形，此時題目比較簡單，一般出現(xiàn)在填空、選擇題中，直接應(yīng)用正弦、余弦、正切的定義解決問題即可；得到的幾何圖形也可能是一個銳角三角形或其他特殊的圖形，這時可通過構(gòu)造垂線段，將圖形轉(zhuǎn)化為兩個或多個直角三角形.

3.1 構(gòu)造單直角三角形問題

3.2 構(gòu)造雙直角三角形問題

答：海警船到達C處需1. 25小時.

評注：從這道題的解答過程可以看出，構(gòu)造得到的兩個直角三角形Rt△BCD和Rt△ACD具有公共邊CD，通過CD這條公共邊建立起這兩個直角三角形之間的聯(lián)系.因此解決此類問題，建立起兩直角三角形的聯(lián)系是解決問題的關(guān)鍵.再如下面這道題目：

分析：本題的解題思路是，設(shè)法構(gòu)造垂線將兩個特殊角45°和30°放在直角三角形中處理，不難想到應(yīng)該過點A作AE⊥MN于E，過點C作CF⊥MN于F.雖然本題沒有像例8那樣出現(xiàn)一條公共的直角邊，但直角邊ME和MF之間相差0.2m，AE和FC的和為28m，由此可以將問題轉(zhuǎn)化為兩個未知數(shù)、兩個相等關(guān)系的問題，我們可以根據(jù)一個相等關(guān)系設(shè)未知數(shù)，根據(jù)另一個相等關(guān)系列方程，從而可以求出ME和MF的長，繼而求出旗桿MN的高度，

答案：約為12m.

評注：本題雖然沒有公共邊，但是ME和MF在同一條直線上，相當于公共邊；盡管沒有給出ME和MF的值，但這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系是聯(lián)系這兩個直角三角形的橋梁.