• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    論正態(tài)分布的由來與推導(dǎo)

    2020-09-10 01:35:31黃詩哲黃孝祥覃秦
    科教導(dǎo)刊 2020年13期
    關(guān)鍵詞:最小二乘法正態(tài)分布

    黃詩哲 黃孝祥 覃秦

    摘 要 本文通過對正態(tài)分布的起源、發(fā)展和不同學(xué)者的推導(dǎo)等三個方面,對正態(tài)分布進(jìn)行詳細(xì)的介紹,因?yàn)檎龖B(tài)分布作為具有劃時代意義的一個分布,現(xiàn)在很多的學(xué)生對它并不了解,很多有統(tǒng)計背景的專業(yè)的學(xué)生對正態(tài)分布的推導(dǎo)只知其然,而不知其所以然,這里有必要對該分布進(jìn)行一個詳細(xì)的介紹。

    關(guān)鍵詞 正態(tài)分布 誤差分布 最小二乘法

    中圖分類號:O212.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A? DOI:10.16400/j.cnki.kjdks.2020.05.021

    Abstract In this paper, the origin, development and derivation of normal distribution are introduced in detail, because normal distribution is a landmark distribution. Now many students don't know about it. Many students with statistical background only know the derivation of normal distribution, but don't know why. It is necessary to introduce the distribution in detail.

    Keywords normal distribution; error distribution; least square method

    如若向在大學(xué)里學(xué)過數(shù)理統(tǒng)計的學(xué)生或者大學(xué)里的老師、學(xué)者提出這樣一個問題:你認(rèn)為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中,哪一個概率分布是最重要的?那他們的回答一定是比較一致的:正態(tài)分布。不論是從它在實(shí)際應(yīng)用中作為描述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計模型來說,還是從在理論上的作用來說,都很明顯的體現(xiàn)了這一點(diǎn)。從19世紀(jì)的統(tǒng)計學(xué)發(fā)展來看,正態(tài)分布一直處于主導(dǎo)地位,不同性質(zhì)和不同類型的數(shù)據(jù)均服從這個分布,使得許多學(xué)者在后期的研究中,感覺從混亂里找到了秩序和方向。這個分布的鐘型曲線形狀優(yōu)美、對稱,密度充滿了美感,進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化以后的密度函數(shù)更加簡潔,含有數(shù)學(xué)中的兩個重要常量。正態(tài)分布又稱高斯分析,所以人們很自然的認(rèn)為這個分布是由高斯發(fā)現(xiàn)的,但回顧歷史,我們不僅可以學(xué)習(xí)這個分布的詳細(xì)內(nèi)容,還可以從中找到這個分布的發(fā)展和推導(dǎo)過程,除了高斯,其它的很多有名的統(tǒng)計學(xué)家均做出了他們的貢獻(xiàn)。整個正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)完全可以看作是一篇跌宕起伏的歷史故事,下面一起來揭開它的真實(shí)面目。

    1 正態(tài)分布的雛形

    從棣莫弗推導(dǎo)的上式很明顯的可以看到,積分中的被積函數(shù)正是后世的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù),這個結(jié)論也說明了二項(xiàng)分布近似等于正態(tài)分布,這種函數(shù)形式第一次被數(shù)學(xué)家以概率的二項(xiàng)分布推導(dǎo)出來。

    不過在上述的公式中,棣莫弗只解決了在的情況,這個結(jié)果顯然太片面,這個公式發(fā)現(xiàn)40年后,拉普拉斯對進(jìn)行了研究,將這種二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布的情況推廣到了取任意值的時候,并得到了后來著名的棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,設(shè)隨機(jī)變量,則對任意的,總有

    學(xué)習(xí)過概率統(tǒng)計的同學(xué)看到這里肯定會很奇怪,中心極限定理不是在正態(tài)分布講完以后才學(xué)習(xí)的嗎,都認(rèn)為沒有正態(tài)分布就沒有這個定理,但實(shí)際上,我們在學(xué)習(xí)正態(tài)分布的時候,是直接給出的正態(tài)分布的密度函數(shù),有心的讀者應(yīng)該會對這個密度函數(shù)的由來比較好奇,而這個中心極限定理中出現(xiàn)的積分被積函數(shù)給出了正態(tài)分布發(fā)展到最終形態(tài)的雛形。既然是這樣,那正態(tài)分布怎么沒有以棣莫弗或者拉普拉斯的名字進(jìn)行命名呢?而是以高斯或者正態(tài)分布來稱呼,我們繼續(xù)進(jìn)行分析和推導(dǎo)。

    2 正態(tài)分布的發(fā)展:誤差分布與最小二乘法

    在上節(jié)中推導(dǎo)出的中心極限定理,已得到了正態(tài)分布的雛形,但是這個定理卻并沒有在統(tǒng)計學(xué)的應(yīng)用中發(fā)揮作用,只被認(rèn)為是一種數(shù)學(xué)表達(dá)式,而不是概率分布,從而沒有引起統(tǒng)計學(xué)界的重視。在18世紀(jì)末之前,天文學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最發(fā)達(dá)的領(lǐng)域,在天文學(xué)中,涉及到大量數(shù)據(jù)的測量和計算,而在計算和測量中產(chǎn)生誤差不可避免,天文學(xué)家為了解決誤差問題,一般是采用多次測量取平均的方式,這種方式因?yàn)槠渲庇^有效被使用了上百年。但是因?yàn)樘煳膶W(xué)家在不同環(huán)境、設(shè)備、人員進(jìn)行數(shù)據(jù)觀測,差異在所難免,算術(shù)平均的合理性得到了很多學(xué)者的質(zhì)疑。辛普森(Thomas Simpson,1755)指出,在天文學(xué)界,很多學(xué)者算術(shù)平均并不可靠,而是應(yīng)該選擇那個“謹(jǐn)慎的觀測”所得到的值。不過他仍從數(shù)學(xué)方法上出發(fā),證明取算術(shù)平均這種方法具有更大的可信度。

    這個公式可以看到正態(tài)密度函數(shù)的雛形,但在當(dāng)時,對誤差的分析并沒有起到什么作用,尋找誤差分布的進(jìn)展甚微。

    到1809年,高斯為了解決天體力學(xué)中的行星軌道計算問題,發(fā)表了數(shù)學(xué)與天體力學(xué)的名著《繞日天體運(yùn)動的理論》,系統(tǒng)地給出了計算的數(shù)學(xué)方法,這個方法正是以正態(tài)誤差分布為基礎(chǔ)的最小二乘法。

    高斯在這個過程中主要有兩個貢獻(xiàn),一是設(shè)被測量的變量真值為,變量的次觀測值為,概率;,其中為要求的誤差分布的密度函數(shù),然后求解使達(dá)到最大的作為的估計值,稱為樣本的似然函數(shù),稱為最大似然估計。

    第二個貢獻(xiàn)是,高斯假設(shè)算術(shù)平均值作為的估計,然后返回去再求概率分布函數(shù),而此時求得的,,才能使他的假設(shè)成立,這就是正態(tài)分布。

    另外,使用這個正態(tài)誤差分布,分析誤差函數(shù),其中為觀測樣本數(shù)據(jù),根據(jù)高斯的最大似然估計,求誤差密度的概率為,要使此概率為最大,只需式中的達(dá)到最小,這樣就得到了的最小二乘法。

    高斯的這兩項(xiàng)創(chuàng)新對整個統(tǒng)計學(xué)的重要性不言而喻,不僅讓正態(tài)分布正式的以他名字命名,而且最小二乘法的發(fā)現(xiàn)也歸屬了高斯。拉普拉斯得到高斯的結(jié)論以后,對中心極限定理 進(jìn)行優(yōu)化,得到上面的最優(yōu)化形式,并對自己發(fā)表的論文進(jìn)行了補(bǔ)充,認(rèn)為誤差是很多原因產(chǎn)生的元誤差疊加而成,根據(jù)他的中心極限定理,高斯分析(正態(tài)分布)也成了所有其它分布在趨向無窮時的落腳點(diǎn)。在整個正態(tài)分布被發(fā)現(xiàn)的過程中,棣莫弗、拉普拉斯,高斯都做出了他們的貢獻(xiàn),他們的研究相互連接,使統(tǒng)計學(xué)成為一門和諧的整體,意義重大。

    3 正態(tài)分布的不同推導(dǎo)

    要了解正態(tài)分布的內(nèi)涵,必需有很深的概率論知識,從棣莫弗和拉普拉斯以中心極限定理為路徑,把統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)到正態(tài)分布的門口以后,很多的學(xué)者、統(tǒng)計學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家都通過不同的方法和路徑對正態(tài)分布進(jìn)行了推導(dǎo),下面我們就從三位具有影響力的學(xué)者的推導(dǎo)中體現(xiàn)正態(tài)分布的魅力。

    3.1 高斯的推導(dǎo)

    Maxwell在1860年,通過類似的假設(shè)和推導(dǎo)過程推出了氣體分子速率分布定律,這個定律中正好是三個正態(tài)分布的乘積,,Herschel-Maxwell的推導(dǎo)過程不同之處在于他們沒有依賴概率論,只是根據(jù)空間幾何的旋轉(zhuǎn)對稱性,而推導(dǎo)過程中的正是分布密度中的。

    4 總結(jié)

    算術(shù)平均公式作為統(tǒng)計計算的起點(diǎn),被使用了千百年,在這個公式的背后隱藏著一個宏大而美麗的世界,偉大的數(shù)學(xué)家們一代接一代不停歇的對它和它背后的世界進(jìn)行研究。在某個時間段,這個世界里的中心極限定理被發(fā)現(xiàn),棣莫弗和拉普拉斯是它的挖掘者,而這個定理最初只是滄海中的一粒沙塵,不過當(dāng)數(shù)學(xué)家們通過對它的精雕細(xì)琢,它最終顯現(xiàn)出它的光芒。算術(shù)平均的秘密被高斯在最大似然估計中實(shí)現(xiàn),從而推導(dǎo)出正態(tài)分布,這個分布的出現(xiàn)是數(shù)理統(tǒng)計史上具有里程碑意義的時刻,高斯的成就讓他有了數(shù)學(xué)之神的美譽(yù),后世的德國鈔票和鋼镚上通過印有正態(tài)密度曲線的圖形來紀(jì)念他,高爾頓曾說:我不曾見過像誤差正態(tài)分布這么美麗的曲線,它激發(fā)了人們無窮的想象力,它是無理性世界中的最高法律,當(dāng)我們從混亂的總體中抽取大量樣本,從小到大排序后,這個規(guī)律總會潛伏其中。這樣一個來自經(jīng)驗(yàn)直方圖和賭博游戲的規(guī)律,成了我們?nèi)粘I钪械囊徊糠郑瑹o論在哪里,都能感受到他的存在,在大數(shù)據(jù)時代愈發(fā)明顯。

    資助項(xiàng)目:長江大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(JY2018030)

    參考文獻(xiàn)

    [1] 陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)簡史[M].2002.

    [2] 靳志輝.正態(tài)分布的前世今生,https://cosx.org/2013/01/story-of-normal-distribution-1

    [3] 吳江霞.正態(tài)分布進(jìn)入統(tǒng)計學(xué)的歷史演化[D].河北師范大學(xué),2008.

    [4] Kiseon Kim, Shevlyakov, G. Why Gaussianity?[J].Signal Processing Magazine IEEE,25(2):102-113.

    [5] Bhattacharya R. A history of the central limit theorem: from classical to modern probability theory [book review of MR2743162][J].Magyar Seb閟zet,1956.

    [6] Doob J L.[The Central Limit Theorem Around 1935]:Comment[J].1986.1(1):93-94.

    猜你喜歡
    最小二乘法正態(tài)分布
    基于對數(shù)正態(tài)分布的出行時長可靠性計算
    正態(tài)分布及其應(yīng)用
    馬爾科夫鏈在市場預(yù)測中的應(yīng)用
    一種改進(jìn)的基于RSSI最小二乘法和擬牛頓法的WSN節(jié)點(diǎn)定位算法
    最小二乘法基本思想及其應(yīng)用
    科技視界(2016年22期)2016-10-18 17:12:13
    手動求解線性回歸方程的方法和技巧
    考試周刊(2016年27期)2016-05-26 23:45:13
    一種基于最小二乘法的影子定位技術(shù)
    科技視界(2016年12期)2016-05-25 08:59:28
    基于最小二乘擬合的太陽影子定位模型
    科技視界(2016年8期)2016-04-05 18:58:04
    正態(tài)分布題型剖析
    χ2分布、t 分布、F 分布與正態(tài)分布間的關(guān)系
    91久久精品国产一区二区三区| 在线观看www视频免费| 丰满饥渴人妻一区二区三| 亚洲美女搞黄在线观看| 国产成人精品福利久久| 国产精品成人在线| 大片电影免费在线观看免费| 丰满少妇做爰视频| 久久久久久久久久久丰满| 少妇被粗大的猛进出69影院 | 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 欧美激情极品国产一区二区三区 | 成人影院久久| 男人爽女人下面视频在线观看| 高清毛片免费看| kizo精华| 大香蕉久久成人网| 国产亚洲最大av| 人妻少妇偷人精品九色| 亚洲三级黄色毛片| 久久免费观看电影| 少妇的逼好多水| 亚洲精品国产av成人精品| 丝瓜视频免费看黄片| 国产成人freesex在线| 超色免费av| 男女高潮啪啪啪动态图| 在线观看www视频免费| a级片在线免费高清观看视频| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 国产亚洲最大av| 51国产日韩欧美| 精品一品国产午夜福利视频| 这个男人来自地球电影免费观看 | 久久久久国产网址| 哪个播放器可以免费观看大片| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 熟女人妻精品中文字幕| 久久亚洲国产成人精品v| 日韩一本色道免费dvd| 亚洲内射少妇av| 国产精品熟女久久久久浪| av在线app专区| 国产精品一区二区在线观看99| 看非洲黑人一级黄片| 校园人妻丝袜中文字幕| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 人妻 亚洲 视频| 午夜福利网站1000一区二区三区| 国产精品一区二区在线不卡| 亚洲五月色婷婷综合| 两个人免费观看高清视频| 成人毛片60女人毛片免费| 亚洲综合色网址| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 老熟女久久久| 日本-黄色视频高清免费观看| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 精品国产国语对白av| 久久久久久人妻| 久久鲁丝午夜福利片| 国产黄频视频在线观看| 国产精品三级大全| 男人爽女人下面视频在线观看| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 亚洲成人一二三区av| kizo精华| 秋霞伦理黄片| 两个人的视频大全免费| 91久久精品国产一区二区三区| 亚洲国产精品一区三区| 看非洲黑人一级黄片| 黑人高潮一二区| 日韩伦理黄色片| 2022亚洲国产成人精品| 精品人妻偷拍中文字幕| 91aial.com中文字幕在线观看| 高清黄色对白视频在线免费看| 国产精品一区二区在线观看99| 国产在线视频一区二区| 日韩成人伦理影院| 夫妻性生交免费视频一级片| 免费大片黄手机在线观看| 精品酒店卫生间| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 伊人亚洲综合成人网| 久久久精品94久久精品| 大香蕉97超碰在线| av视频免费观看在线观看| 成人亚洲精品一区在线观看| 成人黄色视频免费在线看| 日本爱情动作片www.在线观看| 色婷婷久久久亚洲欧美| 伊人久久国产一区二区| 男女免费视频国产| 精品一区二区免费观看| 免费日韩欧美在线观看| 新久久久久国产一级毛片| 高清视频免费观看一区二区| 亚洲伊人久久精品综合| 久久99热这里只频精品6学生| 五月天丁香电影| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 亚洲av日韩在线播放| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 毛片一级片免费看久久久久| 亚洲精品456在线播放app| www.av在线官网国产| 久久久亚洲精品成人影院| 26uuu在线亚洲综合色| 丝袜美足系列| 热re99久久精品国产66热6| 九草在线视频观看| 亚洲av中文av极速乱| 精品国产一区二区久久| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 在现免费观看毛片| 免费看不卡的av| 少妇精品久久久久久久| 边亲边吃奶的免费视频| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 国产精品一区二区在线观看99| 亚洲美女黄色视频免费看| 777米奇影视久久| 九色亚洲精品在线播放| 亚洲三级黄色毛片| 久久国产精品大桥未久av| 欧美人与性动交α欧美精品济南到 | 久久人人爽av亚洲精品天堂| 少妇熟女欧美另类| 亚洲成色77777| 亚洲精品日韩av片在线观看| av一本久久久久| 飞空精品影院首页| 久久精品国产亚洲av涩爱| 又大又黄又爽视频免费| 夫妻午夜视频| 伦理电影免费视频| 啦啦啦在线观看免费高清www| av女优亚洲男人天堂| av黄色大香蕉| .国产精品久久| 精品午夜福利在线看| 男男h啪啪无遮挡| a 毛片基地| 欧美精品高潮呻吟av久久| 伦理电影大哥的女人| 七月丁香在线播放| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 嘟嘟电影网在线观看| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| av播播在线观看一区| 夫妻午夜视频| 亚洲图色成人| 免费高清在线观看日韩| 在线观看三级黄色| 在现免费观看毛片| 极品少妇高潮喷水抽搐| 男的添女的下面高潮视频| 成人国语在线视频| 国产69精品久久久久777片| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 国产精品一区二区在线观看99| 五月玫瑰六月丁香| a级毛片黄视频| 欧美激情国产日韩精品一区| 观看av在线不卡| 日韩中文字幕视频在线看片| 色吧在线观看| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 欧美 日韩 精品 国产| 国产一区二区三区综合在线观看 | 精品午夜福利在线看| 免费观看性生交大片5| 国产av国产精品国产| 欧美xxxx性猛交bbbb| 婷婷色av中文字幕| 成年av动漫网址| 国产深夜福利视频在线观看| 性色av一级| 精品视频人人做人人爽| 边亲边吃奶的免费视频| 日韩中文字幕视频在线看片| av卡一久久| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 亚洲精品aⅴ在线观看| 亚洲国产欧美在线一区| 99热这里只有是精品在线观看| 18+在线观看网站| 不卡视频在线观看欧美| 一级片'在线观看视频| 国产精品熟女久久久久浪| 国产成人一区二区在线| 久久精品国产自在天天线| 最近手机中文字幕大全| 免费黄网站久久成人精品| 午夜福利视频在线观看免费| 亚洲精品视频女| 中文欧美无线码| 搡老乐熟女国产| 自线自在国产av| 国产在线免费精品| 哪个播放器可以免费观看大片| 高清欧美精品videossex| 少妇精品久久久久久久| 欧美日韩视频精品一区| 91精品国产国语对白视频| 美女中出高潮动态图| 寂寞人妻少妇视频99o| 色婷婷av一区二区三区视频| 国产日韩欧美视频二区| 另类亚洲欧美激情| 如日韩欧美国产精品一区二区三区 | 亚洲内射少妇av| 丝袜脚勾引网站| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕 | 欧美人与性动交α欧美精品济南到 | av国产久精品久网站免费入址| 日韩电影二区| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 黑人猛操日本美女一级片| a 毛片基地| 香蕉精品网在线| 边亲边吃奶的免费视频| 国产一区二区在线观看日韩| 日日爽夜夜爽网站| 亚洲欧美色中文字幕在线| 国产精品99久久久久久久久| 国产高清不卡午夜福利| 欧美性感艳星| 久久久久久久大尺度免费视频| 国产精品国产av在线观看| 日本wwww免费看| 毛片一级片免费看久久久久| 视频中文字幕在线观看| 丰满饥渴人妻一区二区三| 亚洲欧美精品自产自拍| 亚洲伊人久久精品综合| 成人二区视频| 亚洲成人av在线免费| 久久午夜综合久久蜜桃| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 久久久亚洲精品成人影院| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 免费av不卡在线播放| 久久久久久久久大av| 日韩免费高清中文字幕av| 久久久久久久久久成人| 七月丁香在线播放| 99久久人妻综合| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 午夜免费鲁丝| 国产乱人偷精品视频| 婷婷色麻豆天堂久久| 国产成人av激情在线播放 | 两个人免费观看高清视频| 99视频精品全部免费 在线| 97超视频在线观看视频| 国产高清国产精品国产三级| 久热这里只有精品99| 中文天堂在线官网| 一本大道久久a久久精品| 一级毛片aaaaaa免费看小| 亚洲国产av影院在线观看| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 免费黄频网站在线观看国产| 久久久久精品久久久久真实原创| 国产亚洲精品久久久com| 伊人久久精品亚洲午夜| 亚洲国产精品专区欧美| 久久久久精品性色| 黑丝袜美女国产一区| 日韩三级伦理在线观看| 国产在线一区二区三区精| 寂寞人妻少妇视频99o| 国产伦精品一区二区三区视频9| 欧美性感艳星| 精品一区二区三区视频在线| 一区二区日韩欧美中文字幕 | 大陆偷拍与自拍| 久久99蜜桃精品久久| 我要看黄色一级片免费的| 日韩精品免费视频一区二区三区 | 亚洲四区av| 韩国av在线不卡| 日日啪夜夜爽| 亚洲av欧美aⅴ国产| av在线播放精品| 少妇精品久久久久久久| 国产黄色免费在线视频| 午夜激情福利司机影院| 欧美最新免费一区二区三区| 久久韩国三级中文字幕| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 我的女老师完整版在线观看| 国产乱来视频区| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 韩国av在线不卡| 黄色欧美视频在线观看| 黄色一级大片看看| 麻豆乱淫一区二区| 丝袜在线中文字幕| 蜜桃国产av成人99| 曰老女人黄片| 两个人免费观看高清视频| 欧美日韩综合久久久久久| 最黄视频免费看| 18禁在线播放成人免费| 蜜桃国产av成人99| 在线播放无遮挡| 免费人妻精品一区二区三区视频| 观看av在线不卡| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 22中文网久久字幕| 日本爱情动作片www.在线观看| 18禁观看日本| 午夜福利,免费看| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 国产精品久久久久久久久免| 欧美日韩精品成人综合77777| 国产黄片视频在线免费观看| 又黄又爽又刺激的免费视频.| av免费观看日本| 我要看黄色一级片免费的| 中文字幕制服av| 亚洲精品,欧美精品| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 亚洲成人av在线免费| 丰满乱子伦码专区| 亚洲三级黄色毛片| av福利片在线| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 男的添女的下面高潮视频| 女性被躁到高潮视频| 精品少妇黑人巨大在线播放| 久久久久人妻精品一区果冻| 老熟女久久久| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 18在线观看网站| 曰老女人黄片| 日韩av在线免费看完整版不卡| 日韩亚洲欧美综合| 新久久久久国产一级毛片| 一级,二级,三级黄色视频| 国产精品女同一区二区软件| 18+在线观看网站| 丰满乱子伦码专区| 国产伦理片在线播放av一区| 一级毛片电影观看| 丁香六月天网| 国产男人的电影天堂91| 天天影视国产精品| 亚洲怡红院男人天堂| 在线亚洲精品国产二区图片欧美 | 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 久久毛片免费看一区二区三区| 一级毛片电影观看| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 国产av国产精品国产| 国产淫语在线视频| 国产亚洲欧美精品永久| 水蜜桃什么品种好| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 一级二级三级毛片免费看| 高清在线视频一区二区三区| 在线观看www视频免费| 街头女战士在线观看网站| 伦理电影免费视频| 亚洲久久久国产精品| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 国产高清三级在线| 一边亲一边摸免费视频| 午夜福利视频在线观看免费| 高清av免费在线| 免费黄网站久久成人精品| 草草在线视频免费看| 熟女人妻精品中文字幕| 亚洲一区二区三区欧美精品| av不卡在线播放| 全区人妻精品视频| 高清不卡的av网站| 99国产综合亚洲精品| 日韩强制内射视频| 国产精品99久久久久久久久| 亚洲av国产av综合av卡| 蜜桃国产av成人99| 一级,二级,三级黄色视频| 简卡轻食公司| 这个男人来自地球电影免费观看 | 亚洲精品国产av蜜桃| 成人毛片a级毛片在线播放| 国产免费一区二区三区四区乱码| 晚上一个人看的免费电影| 精品酒店卫生间| 午夜激情久久久久久久| 一级毛片我不卡| 欧美丝袜亚洲另类| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 女人精品久久久久毛片| 一级毛片我不卡| 国产成人一区二区在线| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 激情五月婷婷亚洲| 国产深夜福利视频在线观看| 最近中文字幕2019免费版| 99热网站在线观看| 亚洲国产最新在线播放| 国产精品嫩草影院av在线观看| 精品一品国产午夜福利视频| 少妇人妻 视频| 99九九在线精品视频| 少妇被粗大的猛进出69影院 | 国产伦理片在线播放av一区| 免费大片18禁| av专区在线播放| 中国国产av一级| 中文字幕久久专区| 91久久精品国产一区二区三区| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 99热国产这里只有精品6| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 国产精品99久久久久久久久| 日韩大片免费观看网站| 亚洲国产精品国产精品| 在线观看三级黄色| 乱码一卡2卡4卡精品| 日韩三级伦理在线观看| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 2018国产大陆天天弄谢| 国产一区有黄有色的免费视频| 色哟哟·www| 丝袜喷水一区| 97在线视频观看| 国产日韩欧美亚洲二区| 国产精品三级大全| 中文字幕制服av| 一区二区三区精品91| 久热久热在线精品观看| av播播在线观看一区| 欧美日韩亚洲高清精品| 欧美精品一区二区免费开放| 亚洲美女搞黄在线观看| 免费播放大片免费观看视频在线观看| 高清在线视频一区二区三区| 黄片无遮挡物在线观看| 好男人视频免费观看在线| 中文字幕人妻丝袜制服| 热re99久久国产66热| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 国精品久久久久久国模美| 插逼视频在线观看| 在线观看免费高清a一片| 黄色一级大片看看| 午夜免费鲁丝| 熟女电影av网| av国产精品久久久久影院| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 久久97久久精品| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 亚洲色图综合在线观看| 亚洲第一区二区三区不卡| 国产精品一区二区在线不卡| 成人午夜精彩视频在线观看| 久久综合国产亚洲精品| 熟女av电影| 一二三四中文在线观看免费高清| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 夫妻午夜视频| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 大陆偷拍与自拍| 91久久精品国产一区二区成人| 国产亚洲精品第一综合不卡 | 老司机影院毛片| 久久国内精品自在自线图片| 国产有黄有色有爽视频| 97精品久久久久久久久久精品| 黄片无遮挡物在线观看| 少妇熟女欧美另类| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 久热久热在线精品观看| 七月丁香在线播放| 九九爱精品视频在线观看| 亚洲av福利一区| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 日韩人妻高清精品专区| 99久久精品国产国产毛片| 国产极品天堂在线| 九色亚洲精品在线播放| 五月伊人婷婷丁香| 天天影视国产精品| 精品午夜福利在线看| kizo精华| 激情五月婷婷亚洲| 亚洲经典国产精华液单| 黄片播放在线免费| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 黄色视频在线播放观看不卡| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 欧美成人午夜免费资源| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 我的女老师完整版在线观看| 人妻 亚洲 视频| 亚州av有码| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 亚洲精品国产色婷婷电影| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 久久人人爽人人爽人人片va| 日韩电影二区| 免费观看性生交大片5| 国产探花极品一区二区| 热99国产精品久久久久久7| 99视频精品全部免费 在线| 亚洲精品成人av观看孕妇| 男的添女的下面高潮视频| 纯流量卡能插随身wifi吗| 国产一区二区在线观看日韩| 夜夜爽夜夜爽视频| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 麻豆成人av视频| 桃花免费在线播放| 国产成人午夜福利电影在线观看| 日韩三级伦理在线观看| 国产成人午夜福利电影在线观看| 久久午夜福利片| 黑丝袜美女国产一区| 亚洲精品成人av观看孕妇| 母亲3免费完整高清在线观看 | 一区二区日韩欧美中文字幕 | 精品少妇黑人巨大在线播放| 一区二区三区乱码不卡18| 国产一区二区三区综合在线观看 | 我要看黄色一级片免费的| 国产精品国产三级专区第一集| 一本大道久久a久久精品| 中文欧美无线码| 国产精品一二三区在线看| 国产成人91sexporn| 亚洲精品国产av蜜桃| √禁漫天堂资源中文www| 91精品三级在线观看| 天堂8中文在线网| 日本免费在线观看一区| 一区二区三区乱码不卡18| 街头女战士在线观看网站| 免费看av在线观看网站| 七月丁香在线播放| 欧美激情国产日韩精品一区| 色视频在线一区二区三区| 大话2 男鬼变身卡| 黄色视频在线播放观看不卡| 精品久久久久久电影网| 国产深夜福利视频在线观看| 国产高清国产精品国产三级| av在线app专区| 国产综合精华液| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 久久久久精品性色| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 乱码一卡2卡4卡精品| 国产成人av激情在线播放 | 日韩不卡一区二区三区视频在线| 高清毛片免费看| 在线观看国产h片| 91精品一卡2卡3卡4卡| 日韩欧美精品免费久久| 成年美女黄网站色视频大全免费 | 欧美精品一区二区免费开放| 国产精品久久久久久精品古装| 一级片'在线观看视频| 日韩精品免费视频一区二区三区 | 国产精品人妻久久久影院| 久久久久久久久久久丰满| 美女xxoo啪啪120秒动态图| av视频免费观看在线观看| 国产片内射在线| 99视频精品全部免费 在线| av电影中文网址| 黄片无遮挡物在线观看| 国产欧美日韩一区二区三区在线 | 中文字幕制服av| √禁漫天堂资源中文www| 日本欧美视频一区| 国产成人a∨麻豆精品| 久久久久国产网址| 在线观看免费高清a一片| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 国产 精品1| 精品一区二区免费观看| 亚洲精品一区蜜桃| 色视频在线一区二区三区| 日本黄大片高清| 国产黄色视频一区二区在线观看| 国产成人免费观看mmmm| 亚洲欧美一区二区三区国产| 色吧在线观看| 亚洲不卡免费看| 亚洲精品色激情综合| 极品少妇高潮喷水抽搐| 免费观看性生交大片5| 视频在线观看一区二区三区| 国产精品一区www在线观看| 七月丁香在线播放| 亚洲国产av新网站| 午夜福利视频在线观看免费| 国产有黄有色有爽视频| 女人久久www免费人成看片| 亚洲国产精品国产精品|