用“區(qū)間的存在性”求解一類恒成立問(wèn)題

江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué)　(224221)　徐建華

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用“區(qū)間的存在性”求解一類恒成立問(wèn)題

江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué)(224221)徐建華

不等式恒成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一類問(wèn)題，它通常涉及到函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，因而在高考中有十分重要的地位，是高考數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，并且一些不等式恒成立問(wèn)題還常以壓軸題的身份出現(xiàn).

不等式恒成立問(wèn)題可化為下列一般形式：若關(guān)于x的不等式f(x,a)≥0(或≤0)對(duì)任意x∈[m,n]恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.在此基礎(chǔ)上，有一類特殊的恒成立問(wèn)題，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)不等式的取等條件：當(dāng)x=m時(shí)，等號(hào)成立，即f(m,a)=0.怎樣解決這一類特殊的恒成立問(wèn)題呢？筆者有一個(gè)統(tǒng)一的解題思路，利用區(qū)間的存在性求解，上述的取等條件說(shuō)明，存在實(shí)數(shù)x0>m，使得函數(shù)f(x,a)在(m,x0)單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)，由此可求參數(shù)a的取值范圍.本文試舉幾例，說(shuō)明這種解題方法在處理此類特殊恒成立問(wèn)題的普適性.

例1(2010年新課標(biāo)全國(guó)卷(理)第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)略；(2)當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(1)求a,b的值；

若去分母，則當(dāng)x>1時(shí)，有φ(x)=(k-1)x2+2xlnx-k+1<0；當(dāng)00.注意到x=1時(shí)，φ(x)=0，于是先考慮任意x∈[1,+∞)，不等式φ(x)≤0恒成立.這說(shuō)明存在實(shí)數(shù)x1>0，使得函數(shù)φ(x)在(1,x1)上單調(diào)遞減，所以φ′(x)=2(k-1)x+2(lnx+1)≤0在(1,x1)恒成立.由φ′(1)≤0，得k≤0.

同理，由x∈(0,1]時(shí)，不等式φ(x)≥0恒成立，也能得到k≤0.

例3(數(shù)學(xué)通訊“我為高考設(shè)計(jì)題目”題139的改編題)已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=mx+n.

(1)略；(2)若對(duì)任意x∈(-1,+∞)，恒有

|f(x)|≥|g(x)|成立，求實(shí)數(shù)m的取值集合.

最后，我們?cè)賮?lái)反思這類恒成立問(wèn)題的設(shè)計(jì)思路：不等式通常是由兩個(gè)基本曲線y=f(x)與y=g(x)構(gòu)成，兩曲線相切于橫坐標(biāo)為a的點(diǎn)，其中曲線y=g(x)的方程中設(shè)有參數(shù)m，但它們的公切線性質(zhì)不變；然后再以a為端點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間[a,b)(或(b,a])中，滿足f(x)≥g(x)(或≤)恒成立，從而要考生求參數(shù)m的取值范圍.在例1中，容易驗(yàn)證y=ex與y=ax2+x+1相切于點(diǎn)(0,1)，為使ex≥ax2+x+1在[0,+∞)恒成立，可求參數(shù)a的范圍.

其實(shí)，本文中用區(qū)間的存在性解題的原理很簡(jiǎn)單，如f(x)≥g(x)在[a,b)上恒成立，因f(a)=g(a)且f′(a)=g′(a)，在以a為端點(diǎn)的右側(cè)附近，函數(shù)f(x)的上升速度要快于g(x)，所以存在區(qū)間(a,x0)，使得f′(x)≥g′(x)，即h′(x)=[f(x)-g(x)]′≥0在(a,x0)上恒成立，并且h′(a)=0，還可以再次使用區(qū)間存在性.

參考文獻(xiàn)

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