一道概率競賽題的解法思考

江蘇省海門市海門中學(xué)　(226100)　樊陳衛(wèi)

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一道概率競賽題的解法思考

江蘇省海門市海門中學(xué)(226100)樊陳衛(wèi)

2014年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第8題：

解法1：4個點(diǎn)之間可以連6條線，每條線有連與不連兩種情形，共有26種不同情形，考慮其中可以用折線連接AB的情況有：

(1)有AB邊：共25種情況;

(2)無AB邊，但有CD邊.此時AB可用折線連接即為A與CD之一連接且B與CD之一連接，共有(22-1)·(22-1)=9;

(3)無AB邊且無CD邊.此時AC、CB相連有22種情況，AD、DB相連有22種情況， 但其中AC、CB、AD、DB均相連被重復(fù)計算了一次，故共有22+22-1=7.

分析2：能否用概率性質(zhì)來思考這個問題.“ A、B可用(一條邊或若干條邊組成)空間折線連接”看成是“經(jīng)過AB邊相連”與“經(jīng)過C或D相連”兩個事件的和，兩個事件獨(dú)立但并不互斥，如圖1“經(jīng)過C或D相連”，若CD不相連，則ACD與ABD兩種獨(dú)立但不互斥的情況；若CD相連，則可把CD理解為一點(diǎn)，“經(jīng)過C或D相連”即為A—CD—B，也即“A與CD相連”且“B與CD”相連.

兩種方法比較，法1把問題轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題，直觀形象，比較容易想到但容易遺漏重復(fù).法2從概率的性質(zhì)角度考慮問題，具有一般性，但事件之間關(guān)系不易厘清.法2的優(yōu)勢在于可以解決問題的一般化推廣：“設(shè)ABCD是空間4個不共面的點(diǎn)，以p的概率在每對點(diǎn)之間連一條邊，任意兩點(diǎn)之間是否連邊相互獨(dú)立，求A、B可用(一條邊或若干條邊組成)空間折線連接的概率.”有興趣的讀者不妨一試.

對這個問題一般化，可得到如下問題：設(shè)空間n個不共面的點(diǎn)，以p的概率在每對點(diǎn)之間連一條邊，任意兩點(diǎn)之間是否連邊相互獨(dú)立，則任意兩點(diǎn)可用(一條邊或若干條邊組成)空間折線連接的概率為.