非奇異H-矩陣的一組判定條件?

崔靜靜,陸 全,徐 仲,安曉虹

(西北工業(yè)大學應用數(shù)學系，西安 710072)

1 引言

在實際應用中如何有效地判定一個矩陣是否為非奇異H-矩陣，一直是人們關注的問題.近年來國內外眾多學者對非奇異H-矩陣進行了深入的研究[1-11].本文利用矩陣指標集的k-級劃分給出了非奇異H-矩陣一組判定條件，該判定條件推廣和改進了已有的相關結果，豐富和完善了非奇異H-矩陣的判定方法.

用Cn×n表示n×n階復矩陣的集合.設矩陣的指標集的k-級劃分為

記

在本文總假設

定義1設如果則稱A為嚴格對角占優(yōu)矩陣，為A∈D；若存在正對角矩陣X，使得AX∈D，則稱A為廣義嚴格對角占優(yōu)矩陣(即A為非奇異H-矩陣)，記

定義2設若存在使得

則稱A為α-對角占優(yōu)矩陣，記為若式中的不等式均嚴格成立，則稱A為嚴格α-對角占優(yōu)矩陣，記為若存在正對角矩陣X，使得則稱A為廣義嚴格α-對角占優(yōu)矩陣，記為若式中至少有一個嚴格不等式成立且A不可約，則稱A為不可約α-對角占優(yōu)矩陣，記為；若對式中每個等式成立的下標i，都存在非零元素鏈滿足則稱A為具非零元素鏈α-對角占優(yōu)矩陣，記為

引理1[1]設若滿足下列條件之一，則

1)2)3)

引理2[2]設若存在正對角矩陣X，使得則

2 非奇異H-矩陣的一組判定條件

利用α-對角占優(yōu)矩陣的性質，并利用劃分矩陣指標集的方法，給出了如下的判定非奇異H-矩陣的新充分條件.

記

定理1設存在使得對任意的，有

令Wα為所有滿足以上嚴格不等式的Nt之并集，若下列條件之一成立，則

1)Wα=N；2)A為不可約矩陣，且

3)對任意的存在非零元素鏈，使得

證明 由Ri/=0知，N.對，由Wα定義知

從而存在正數(shù)ε，使得

取正對角矩陣令其中

不失一般性，設

1)對任意的由(1)、(2)及

得

2)對任意的有

綜上所知：且：

1)若Wα=N，則

2)因B不改變A的不可約性，且故由定義2知

3)因B不改變A的非零元素鏈，故由定義2知

于是，由引理1知再由引理2知

注1文獻[4]中定理2.1(III)是本文定理1當k=1時特例；文獻[7]中定理2為本文定理1當k=2,α=1時特例；文獻[9]中定理1為本文定理1當α=1時特例.

記

定理2設存在使得對任意的有

且

若A還滿足下列條件之一，則

1)

2)A為不可約矩陣，且

3)對任意的存在非零元素鏈使得

圖1中陰影部分為空白部分為

圖1:J1(α),J2,(α),J3(α)之間關系圖

證明 由Ri/=0知且由式(3)，有

令

其中

下證

(a)對任意的

首先，考慮情形.

當時，有

從而

其次，考慮與至少有一個不為零的情形.

故對任意的

(b)對任意的當時，有

當時，有

綜上所述：且：

1)由(b)可知，當J1(α)=?時，有

由(a)可知，當時，有

故當時，

2)當時，有

由于

故由(a)及(b)可知，當時

又因B不改變A的不可約性，故若則

3)由于對任意的存在非零元素鏈使得故B具非零元素鏈，則

于是由引理1知再由引理2知

注2文獻[4]中定理2.2(II)是本文定理2當k=2時特例；文獻[9]中定理2為本文定理2當α=1時特例；文獻[10]中定理1為本文定理2當都是單點集，并且都是A的對角占優(yōu)行，而Nk是A的非對角占優(yōu)行集時特例.

3 數(shù)值算例

例1 設矩陣

則用文獻[3]中定理1(3°)，文獻[4]中定理2.1(III)，文獻[10]中定理1及文獻[11]中定理1均不能判定A是否為非奇異H-矩陣，而用本文定理1可判定A為非奇異H-矩陣.事實上，對文獻[3]中定理1，有

文獻[4]中定理2.1，有

對文獻[10]中定理1，有且

對文獻[11]中定理1，有且

而對本文定理1，取α=0.1,k=3，即

則

滿足本文定理1條件(1)，故用本文定理1可判定A為非奇異H-矩陣.事實上，取正對角矩陣D=diag(1,1,5,0.5,1,1,1,0.5,1)時，有

即A確為非奇異H-矩陣.

例2設矩陣

則用文獻[3]中定理2(2°)，文獻[4]中定理2.2(II)，文獻[10]中定理1及文獻[11]中定理1均不能判定A是否為非奇異H-矩陣，而用本文定理2可判定A為非奇異H-矩陣.事實上，在文獻[3]中，有且

在文獻[4]中，對任意的均有且令則對任意的有

在文獻[10]中，有且

在文獻[11]中，有且

而對本文定理2，取α=0.1,k=3，即

則

且

滿足本文定理2條件(1)，故用本文定理2可判定A為非奇異H-矩陣.事實上，取正對角矩陣D=diag(1,1,2,0.5,0.5,1,1,0.5,1)時，有

即A確為非奇異H-矩陣.

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