后向歸納法的動(dòng)態(tài)認(rèn)知刻畫*

崔建英

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后向歸納法的動(dòng)態(tài)認(rèn)知刻畫*

崔建英

[摘要]后向歸納法BI（Backward Induction）是求解動(dòng)態(tài)博弈的經(jīng)典算法，其認(rèn)知機(jī)制的探討多是基于靜態(tài)的認(rèn)知模型展開的。這樣，為了給BI算法結(jié)果中具有反事實(shí)性的理性行動(dòng)提供合理置信的解釋，一些非平凡的條件被添加到這類認(rèn)知模型中，形成多種較為復(fù)雜的條件知識(shí)（或信念）或?qū)蛹?jí)式（Hierarchical）知識(shí)（或信念）系統(tǒng)。我們構(gòu)建了一類博弈認(rèn)知模型，基于公開宣告邏輯PAL（Public Announcement Logic），實(shí)現(xiàn)博弈認(rèn)知模型的動(dòng)態(tài)更新，論證了在完美信息動(dòng)態(tài)博弈中，選手間的理性公共知識(shí)能夠?qū)е翨I算法結(jié)果，為該算法的認(rèn)知條件提供了一種新的邏輯刻畫。這種刻畫沒有涉及選手策略等博弈概念，通過利用PAL中模型更新的動(dòng)態(tài)性來描述動(dòng)態(tài)博弈中的BI算法認(rèn)知條件，不會(huì)受到通常BI算法認(rèn)知刻畫理論中所涉及的反事實(shí)（無論是主觀還是客觀）推理的影響，從而有效地避免了復(fù)雜的條件信念（或知識(shí)）系統(tǒng)或?qū)蛹?jí)式知識(shí)（或信念）和信念修正的問題。

[關(guān)鍵詞]后向歸納法理性公開宣告邏輯

*本文系國家社科基金資助項(xiàng)目（12CZX056）、教育部人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地重大項(xiàng)目（15JJD720014）、廣東省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)“十二五”規(guī)劃青年項(xiàng)目（GD11YZX03）的階段性成果。

一、引論

在動(dòng)態(tài)博弈中，關(guān)于選手理性選擇的刻畫往往是基于一類靜態(tài)的認(rèn)知模型而展開進(jìn)行的。[1]在這類認(rèn)知模型中，我們不僅需要描述出理性決策路徑上選手們的知識(shí)（或信念），而且還需要說明當(dāng)一個(gè)不是理性決策路徑上的行動(dòng)如果被對(duì)手選擇到時(shí)，每個(gè)選手原有的初始知識(shí)（或信念）、在此情形下選手對(duì)于原有知識(shí)（或信念）所進(jìn)行的修正以及其對(duì)手關(guān)于該選手修正后的知識(shí)（或信念）等。例如，在一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈中，選手2初始時(shí)知道（或相信）理性選手1應(yīng)該選擇馬上結(jié)束博弈的行動(dòng)，然而，他還需要知道（或相信），如果選手1讓博弈繼續(xù)進(jìn)行，給出機(jī)會(huì)讓他進(jìn)行選擇時(shí)，選手1所基于的知識(shí)（或信念）是什么，以引導(dǎo)選手2在此情形下做出理性的選擇。因此，這類模型必然會(huì)涉及復(fù)雜的條件知識(shí)（或信念）系統(tǒng)或?qū)蛹?jí)式（Hierarchical）系統(tǒng)和信念修正的問題。同時(shí)，基于此類模型，選手初始時(shí)理性的公共知識(shí)是不能蘊(yùn)涵后向歸納法BI（Backward Induction）的結(jié)果的。[2] [3] [4]

在本文中，我們基于一個(gè)動(dòng)態(tài)邏輯系統(tǒng)——公開宣告邏輯PAL（Public Announcement Logic），將理性選手定義為或者該選手對(duì)于當(dāng)前世界所相應(yīng)的結(jié)果沒有絕對(duì)決策權(quán)，或者他知道參與博弈的選手在他們能夠?qū)Σ┺慕Y(jié)果具有絕對(duì)決策權(quán)時(shí)總是追求其自身利益最大化，論證了在完美信息動(dòng)態(tài)博弈中，基于這種理性的公共知識(shí)能夠?qū)е翨I算法結(jié)果，從而為該算法的認(rèn)知條件提供了一種新的邏輯刻畫。由于這種刻畫理論是通過利用PAL中模型更新的動(dòng)態(tài)性來描述動(dòng)態(tài)博弈中的BI算法的動(dòng)態(tài)剔除博弈結(jié)果的過程，沒有涉及選手策略的問題，不會(huì)受到通常BI算法認(rèn)知刻畫理論中所涉及的反事實(shí)（無論是主觀還是客觀）推理問題的影響，從而有效地避免了復(fù)雜的條件信念（或知識(shí)）系統(tǒng)或?qū)蛹?jí)式信念（或知識(shí)）和信念修正的問題。[5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]同時(shí)，由于我們的刻畫分析是基于動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯PAL之上，這也為未來我們研究動(dòng)態(tài)模型檢測(cè)動(dòng)態(tài)博弈認(rèn)知系統(tǒng)性質(zhì)，提供了可行的理論基礎(chǔ)。

二、預(yù)備知識(shí)

本文的討論主要涉及了公開宣告邏輯和具有完美信息動(dòng)態(tài)博弈的內(nèi)容，因此，在本節(jié)中，我們將主要介紹與這兩個(gè)內(nèi)容相關(guān)的一些概念和定理，并定義一個(gè)行動(dòng)函數(shù)，用于后文中博弈認(rèn)知模型的構(gòu)建。

（一）公開宣告邏輯PAL

借助于動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯研究虛擬在博弈選手頭腦間的交流情形與博弈進(jìn)程中模型變化之間的關(guān)系近十多年得到迅速發(fā)展。本文研究所基于的PAL是一種較為簡(jiǎn)單的動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯，主要是通過公告某個(gè)命題φ，剔除原認(rèn)知模型中與命題φ不相容的狀態(tài)（或可能世界），而保留原模型中主體認(rèn)知擇選關(guān)系不變，從而顯性地描述主體間信息的互動(dòng)，以及由此引發(fā)的主體認(rèn)知情形變化的一種邏輯。這種邏輯的語言是通過添加一個(gè)行動(dòng)模態(tài)算子[! P]，即，公開宣告算子，到標(biāo)準(zhǔn)的多主體認(rèn)知邏輯構(gòu)成，[14]公式[! P]φ表示了真實(shí)宣告命題P后，公式φ成立，語義解釋為：

因此，公開宣告一個(gè)命題為真的直接結(jié)果就是各個(gè)主體摒棄那些原先自己認(rèn)為的可能為假的那些可能世界。經(jīng)過這種變化后，主體的認(rèn)知狀態(tài)相應(yīng)地發(fā)生了改變（這里，行動(dòng)模態(tài)算子[! P]實(shí)質(zhì)上是起到從一個(gè)模型到它的相對(duì)化子模型的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換功能）。值得注意的是，由于公告命題P這類認(rèn)知行為的觸發(fā)是基于P為真的條件，因此，公告算子是一種部分函數(shù)。

這樣，借助于PAL語言，我們可以表達(dá)諸如，[!φ]Kiψ：在公開宣告事實(shí)φ后，主體i知道了命題ψ；[!φ] CGψ：公開宣告φ后，ψ成為群體G間的公共知識(shí)等認(rèn)知情形。同時(shí)，van Benthem在文中，[15]定義了公開宣告某命題φ的極限模型是重復(fù)公告φ不再對(duì)其相應(yīng)的初始模型M產(chǎn)生任何的影響（即模型不再被改變）的第一個(gè)子模型，用#（φ, M）表示。并且，van Benthem論證了當(dāng)此極限模型#（φ, M）是非空的，那么，我們就獲得了一個(gè)使得φ成為主體間的公共知識(shí)的模型。

后文中，證明宣告極限模型#（Ra, MG）中的元素與BI算法求解的結(jié)果之間的一致性，正是本文中一個(gè)重要的刻畫定理，是我們證明理性公共知識(shí)蘊(yùn)涵BI算法求解結(jié)果的基石。

（二）具有完美信息的動(dòng)態(tài)博弈和行動(dòng)函數(shù)

我們采用基于博弈歷史來描述動(dòng)態(tài)博弈模型——擴(kuò)展式博弈模型（或稱博弈樹模型）。

設(shè)A是一個(gè)行動(dòng)集合，A*表示A中一個(gè)有窮行動(dòng)序列集合。如果h=〈a1，a2，…ak〉∈A*且1≤j≤k，則稱序列〈a1，a2，…aj〉是h的前綴。一個(gè)具有完美信息的有窮擴(kuò)展式博弈G是五元組〈H, N, A, f, {ui}i∈N〉，[16]其中，H是滿足條件H?A*的有窮歷史集，且相對(duì)于取前綴運(yùn)算是封閉的（即若h∈H且h’∈A*是h的前綴，則h’∈H）；N是有窮的選手集；A是有窮行動(dòng)集合（Ai?A是可供選手i選擇的行動(dòng)集）；函數(shù)f是給每個(gè)決策歷史指派一個(gè)選手，f（h）表示在歷史h上的決策者；效用函數(shù)ui指派給每個(gè)具有博弈終點(diǎn)的歷史，對(duì)應(yīng)不同選手的一個(gè)效用值。這里，我們用?表示空歷史〈〉，它是每個(gè)歷史的前綴；字母Z用以表示具有博弈終點(diǎn)（或稱葉子）的歷史，而D=H是指非終點(diǎn)式的歷史集，A（h）表示在歷史h中所包含的行動(dòng)集。

考慮到在一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈中，不同選手所選擇的相同行動(dòng)或者同一個(gè)選手在不同時(shí)刻選擇的同一個(gè)行動(dòng)，由于選擇人和選擇時(shí)段的不同，實(shí)質(zhì)上都是不同的行動(dòng)，因此，我們規(guī)定對(duì)?a,b∈A，有a≠b。同時(shí)，出于下文定義行動(dòng)函數(shù)的需要，我們用符號(hào)0和⊥0表示任意一個(gè)空行動(dòng)和假行動(dòng)，①這里空行動(dòng)是指博弈開始前選手們的行動(dòng)，類似于空歷史的概念；而假行動(dòng)則是指當(dāng)某歷史的長度小于博弈進(jìn)程時(shí)刻值時(shí)選手們的一種虛擬的行動(dòng)。并將它們添加到每個(gè)選手的行動(dòng)集中，即，0∧⊥0∈∧i∈NAi。

如果對(duì)一個(gè)有窮擴(kuò)展式博弈G中的任何一個(gè)h∈H，都至多有一個(gè)選手具有一個(gè)非單元素的行動(dòng)集，那么，稱這樣的博弈是具有完美信息的有窮博弈。進(jìn)一步來說，如果對(duì)每一個(gè)選手i，若z和z’對(duì)應(yīng)是不同的結(jié)果，則必有ui（z）≠ui（z’），則稱此博弈是泛型的（generic）。[17]由于BI算法主要被用于求解完美信息的動(dòng)態(tài)博弈，因此，本文重點(diǎn)考察具有完美信息的有窮泛型博弈。

為方便敘述，我們將含有葉子的歷史z記為是一串不包含括號(hào)和逗號(hào)的行動(dòng)序列，如，z=〈?, a1, a2, …,a5〉被記為z=0a1a2a3a4a5，并用符號(hào)l（z）表示該歷史的長度，這里l（z）=5（空段不計(jì)入長度），lmax（G）=max{ l（z），?z∈H}則表示博弈樹G的最大長度。

在一個(gè)歷史z中，博弈不同時(shí)段對(duì)應(yīng)的行動(dòng)是不同的，為此，我們定義一個(gè)行動(dòng)函數(shù)，用于尋找博弈t時(shí)段（t∈N|t≤l（G）-1）時(shí)，歷史z中的行動(dòng)。而借助此函數(shù)，我們可以刻畫出BI算法解集。

定義1.給定一個(gè)具有完美信息的泛型擴(kuò)展式博弈G，行動(dòng)函數(shù)Λz（t）：Z×T→A，用于尋找在博弈t階段時(shí)，歷史z上所對(duì)應(yīng)的行動(dòng)。其中，Λz（0）=0，Λz（t）=⊥0（當(dāng)l（z）＜t時(shí)）。

依此定義，如果Λz（t）=Λz’（t）（其中z≠z’），那么，兩個(gè)不同的歷史z和z’在博弈t時(shí)段時(shí)具有相同的行動(dòng)。并且，z和z’具有長度不大于t的相同前綴。

定義2.給定一個(gè)具有完美信息的泛型擴(kuò)展式博弈G=〈H, N, A, f, {ui}i∈N〉且l（G）=m。令BI*是該博弈BI算法均衡解的集合，則BI*=∩n≥1BIn=∩n≥1（BIn-1-DBn-1）（n∈N,1≤n≤m），這里DBn表示逆推第n階段時(shí)，被BI算法剔除的結(jié)果集，而BIn表示逆推第n階段時(shí)未被BI算法所剔除的結(jié)果集。其中，BI0=Z，DB0= {z∈Z|Λz（m）∈Ai/{⊥0}且ui（z）＜max {ui（z’）}，其中Λz（m-1）=Λz’（m-1）}。對(duì)?z∈DBn（n≥1），滿足：

（i）z∈BIn-1；

（ii）Λz（m-n）∈Ai/{⊥0}且ui（z）＜max{ui（z’）}，其中Λz（m-n-1）=Λz'（m-n-1）。

隨著博弈進(jìn)程的展開，選手關(guān)于博弈結(jié)果的知識(shí)在增加：博弈開始前，每個(gè)選手都認(rèn)為所有的博弈結(jié)果都是可能的，而當(dāng)某個(gè)選手做出一個(gè)行動(dòng)選擇后，某些博弈結(jié)果一定會(huì)從選手當(dāng)前的認(rèn)知可能世界集中消失，從而縮減了選手的認(rèn)知可能世界集，選手關(guān)于博弈結(jié)果的知識(shí)得到增加。以下，我們通過將選手關(guān)于博弈結(jié)果的知識(shí)隨著博弈的進(jìn)程展開而發(fā)生的這種變化，與我們所定義的行動(dòng)函數(shù)一起，刻畫選手關(guān)于某博弈結(jié)果的絕對(duì)決策權(quán)。進(jìn)而在此基礎(chǔ)上，將理性選手定義為能夠知道具有絕對(duì)決策權(quán)的選手總是最大化他們收益的選手，并證明重復(fù)公告這種理性后所達(dá)到的、公告極限模型的可能世界集，與BI算法解集具有完全的一致性，從而提供出一個(gè)關(guān)于BI算法認(rèn)知基礎(chǔ)的完全刻畫定理。

三、博弈認(rèn)知模型

考慮到易讀性，我們將一類符號(hào)集專門用以表達(dá)與博弈相關(guān)的命題。如符號(hào)ADi表示選手i對(duì)于歷史z所相應(yīng)的結(jié)果具有絕對(duì)決策權(quán)，Rai表示i是理性的，zv’≥izv表示選手i偏好的是博弈結(jié)果v’而不是v。這樣，對(duì)于給定的一個(gè)動(dòng)態(tài)博弈G，基于公開宣告邏輯PAL，我們構(gòu)建博弈G的認(rèn)知模型如下：

定義3.給定一個(gè)完美信息有窮泛型博弈G，關(guān)于G的一個(gè)博弈認(rèn)知模型MG’是一個(gè)四元組〈W, T, {Ri}i∈N，V〉，其中：

T是博弈G進(jìn)程時(shí)刻點(diǎn)集，即T={t|t∈N且t≤l（G）}；

W是由博弈歷史z和博弈時(shí)段值t構(gòu)成的有序?qū)?，W={w|（zw，tw）∈Z×T}；

Ri?W* W是狀態(tài)集N上的二元關(guān)系，Ri（w）= {v∈W|tv=tw且Λzv（t-1）=Λzw（t-1）≠⊥0}；

V: W→2W是賦值函數(shù)，指派原子命題到每個(gè)可能世界；

那么，與博弈相關(guān)的命題公式語義解釋為：①因其他公式語義是標(biāo)準(zhǔn)的Kripke語義，這里不再贅述。

MG’，（zw，tw）ADi當(dāng)且僅當(dāng)Λzw（tw）∈Ai/{⊥0}且?v∈{（zv，tv）∈W| zv=zw，tv≠tw，Card（Ri（v）≥2}，滿足Card（Ri（v））＞Card（Ri（w））≥2；

MG’，（zw，tw）zv’≥izv當(dāng)且僅當(dāng)ui（zv’）≥ui（zv）；

MG’，（zw，tw）Rai當(dāng)且僅當(dāng)或者?v∈{（zv，tv）∈W|zv=zw}，MG’，（zv，tv）ADi或者?v∈{（zv，tv）∈W|zv=zw}且?j∈N，滿足MG’，（zv，tv）Ki（ADj∧（zv≥jzv’）），其中?v’∈Rj（v）。

釋義1：在上述關(guān)于選手認(rèn)知擇換關(guān)系的定義中，條件tv=tw確保了選手的認(rèn)知擇換關(guān)系具有自反、對(duì)稱和傳遞性；而條件Λzv（t-1）=Λzw（t-1）則要求只要博弈下一階段的決策者（或活動(dòng)選手）沒有做出選擇，那么，任何一個(gè)屬于當(dāng)前階段中的博弈結(jié)果都不會(huì)被選手排除。這是一個(gè)合理的規(guī)則，原因在于每個(gè)人在對(duì)手未做出選擇前，是不可能知道哪些結(jié)果確定地不會(huì)被選擇，即便下個(gè)決策者是自己，也是具有犯錯(cuò)誤的可能性而選錯(cuò)了行動(dòng)，從而，任何一個(gè)結(jié)果都不應(yīng)該在下個(gè)選手未做出選擇前，而被選手從他們的可能世界集中剔除。同時(shí)，由于我們所關(guān)注的是選手關(guān)于博弈結(jié)果知識(shí)的描述，因此，對(duì)于一個(gè)具有完美信息的博弈而言，每個(gè)選手在博弈的每個(gè)階段，對(duì)于當(dāng)前博弈結(jié)果可能性的認(rèn)知都是一樣的，即對(duì)?w∈W，Ri（w）=Rj（w）。

釋義2：一個(gè)選手i在某可能世界w上具有絕對(duì)決策權(quán)ADi是指，選手i不需要考慮到后續(xù)博弈階段中參與選手行動(dòng)選擇的影響，而可直接決定w所相應(yīng)的博弈結(jié)果是否能夠成為整個(gè)博弈的最終結(jié)果。②按照定義3，如果選手只是可以直接決定某結(jié)果，并不一定具有對(duì)于該結(jié)果的絕對(duì)決策權(quán)，因?yàn)檫@并不意味著他不需要考慮后續(xù)階段參與選手的影響。例如，在前述例1中，盡管在博弈第2個(gè)時(shí)段（即t=2時(shí)），選手2可以直接選擇行動(dòng)b3而使得博弈最終結(jié)果為z3。但是，由于在此階段選手2需要考慮到其對(duì)手后續(xù)行動(dòng)對(duì)于自己當(dāng)前選擇所導(dǎo)致的收益的影響，使得他并不能確定地知道是否此結(jié)果是這個(gè)博弈中能夠最優(yōu)自己收益的結(jié)果，因此，選手2在此時(shí)段，并沒有此結(jié)果的絕對(duì)決策權(quán)。如前述，選手關(guān)于博弈結(jié)果的知識(shí)是隨著博弈進(jìn)程的展開而增加：在博弈初始階段選手i的認(rèn)知可能世界往往是較大集合。而隨著博弈進(jìn)程展開，某些結(jié)果會(huì)被選手摒棄，使得i關(guān)于最終博弈結(jié)果的知識(shí)在增加，相應(yīng)地，他的認(rèn)知可能世界集在減小。如果選手i在某世界w上擁有絕對(duì)決策權(quán)，那么，i是博弈此階段的決策者（即，Λzw（tw）∈Ai/{⊥0}）的同時(shí)，他還能夠確定地知道下一階段行動(dòng)所導(dǎo)致結(jié)果的孰劣孰優(yōu)。因此，i一定他在此階段（tw）的認(rèn)知可能世界集Ri（w），應(yīng)該是所有相應(yīng)于狀態(tài)w上博弈結(jié)果（zw）他的那些非單元素的、認(rèn)知可能世界集中最小的集合，即?v∈{（zv，tv）∈W|zv=zw，tv≠tw，Card（Ri（v）≥2}，滿足Card（Ri（v））＞Card（Ri（w））≥2。這里，由于只有當(dāng)Λzw（tw）=⊥0或者選手在tw時(shí)已經(jīng)做出了選擇，其在w處的可能世界集才會(huì)是單元素集，即Ri（w）={w}。而在這兩種情形下，該選手都不可能具有絕對(duì)決策權(quán)。因此，通過選手在當(dāng)前世界上的認(rèn)知可能世界集的基數(shù)大小，來定義其在該世界上是否具有關(guān)于該世界的博弈結(jié)果的絕對(duì)決策權(quán)，并限定Ri（v）和Ri（w）的基數(shù)值不小于2是有意義的。并且，根據(jù)定義3中關(guān)于選手認(rèn)知關(guān)系Ri的說明，不難得出：命題CNADi（?i∈N）在我們的博弈認(rèn)知模型中是恒有效的，從而保證了“博弈結(jié)構(gòu)是選手間的公共知識(shí)”這一經(jīng)典的博弈分析原則的成立。

釋義3：我們認(rèn)為如果選手i在某可能世界w上是理性的，那么，或者i對(duì)于當(dāng)前世界所相應(yīng)的結(jié)果沒有絕對(duì)決策權(quán)；或者i知道博弈選手都是偏好最大化自我效益結(jié)果并且w對(duì)應(yīng)的結(jié)果zw是可以最大化未來對(duì)此結(jié)果具有絕對(duì)決策權(quán)的選手的收益。這是一種直觀性較強(qiáng)的理性要求。同時(shí)，理性Ra也是一種“面向未來”的理性，這是因?yàn)榫哂羞@樣理性特征的選手，要知道其他對(duì)手在有絕對(duì)選擇權(quán)時(shí)都會(huì)選擇自我利益最大化的行動(dòng)，否則，如果當(dāng)前世界相應(yīng)的結(jié)果zw在未來不能最大化具有絕對(duì)決策權(quán)選手（如選手j）的收益，則該結(jié)果一定會(huì)被j所剔除，也因而不會(huì)使得當(dāng)前世界上的決策者i欲通過選擇該世界在此時(shí)段對(duì)應(yīng)zw的行動(dòng)而獲得較好收益的愿望得到實(shí)現(xiàn)。因此，不同于已有文獻(xiàn)中關(guān)于BI算法理性要求，理性的判定需要涉及關(guān)于對(duì)手的信念、偏好等眾多信息，在我們的認(rèn)知模型中，選手的知識(shí)信息僅包括博弈結(jié)果認(rèn)知的判定，從而使得理性判定更為簡(jiǎn)單直觀。

具體地說，下圖1是給定某博弈G（左圖）的認(rèn)知模型MG’，其中，W={w1,…, w15}，分別是：

這里，歷史z1=a1b1和z5= a2b4a4在t=0和t=2階段時(shí)的行動(dòng)函數(shù)分別是Λz1（0）=0和Λz5（0）=b4，R1（w1）={w1，w4，w7，w10，w13}（即博弈開始前，在世界w1上，選手1認(rèn)為這些都是有可能成為最終的博弈結(jié)果），R1（w15）={w12, w15}（當(dāng)選手2選擇行動(dòng)b4后，在世界w15上，選手1認(rèn)為歷史z4和z5所對(duì)應(yīng)的結(jié)果是有可能成為最終的博弈結(jié)果）。這樣，依定義7，因?yàn)樵趙15上選手1具有絕對(duì)決策權(quán)，即，MG’，w15AD1，并且MG’，w15z5≥1z4，所以，MG’，w15Ra1，進(jìn)而有MG’，w13Ra1和MG’，w14Ra1（因?yàn)閦w13=zw14=zw15=z5）；相應(yīng)地，因?yàn)閣12對(duì)應(yīng)的結(jié)果z4不能夠最大化選手1的收益，所以在w10，w11和w12這三個(gè)世界上，選手1不再是理性的。另一方面，考慮到zw1= zw2= zw3= z1并且MG’，w1﹁AD1（因?yàn)镃ard（w1）＞Card（w2）≥2），MG’，w2﹁AD1（因?yàn)棣珃w2（2）=b1∈A2/{⊥0}），MG’，w3﹁AD1（因?yàn)镃ard（w3）=1），所以MG’，wkRa1（k=1, 2, 3）。依此分析可得，在這個(gè)初始的博弈認(rèn)知模型中，選手1只在w10，w11和w12這三個(gè)世界上是不理性的，而選手2在w4，w5和w6這三個(gè)世界上是不理性的。

考慮到公開宣告某個(gè)命題φ會(huì)導(dǎo)致原來模型M中φ不成立的可能世界被刪除，縮減了原來的認(rèn)知模型。隨著模型的變小，主體的知識(shí)在不斷增加。這一過程與博弈論中的重復(fù)剔除劣策略算法有很大的相似性。接下來我們將基于公開宣告邏輯PAL，通過證實(shí)理性可以作為宣告的命題，表明宣告理性Ra（記Ra=∧i∈NRai）的極限模型#（! Ra，MG’）中的可能世界集是與BI算法求解的均衡結(jié)果集是一致的。

四、BI算法的認(rèn)知刻畫定理

為方便起見，我們用Ra表示博弈中所有選手都是理性的，即Ra=∧i∈NRai。并將一個(gè)初始完整的博弈認(rèn)知模型MG’的任一個(gè)子模型MG’|Ra稱為MG’的廣義博弈認(rèn)知模型，并用M’G’表示。

由于在完美信息博弈中，博弈結(jié)構(gòu)和選手的偏好都是公共知識(shí)，因此，在任一個(gè)廣義博弈認(rèn)知模型中，命題：ADi→KjADi和zw≥izv→Kj（zw≥izv）恒為真（這里，符號(hào)i, j代表任意的兩個(gè)選手）。另外，由于公告算子是一種部分函數(shù)，即公告行為并不總是可以得到執(zhí)行，只有真命題才能作為公告的事實(shí)，因此，下面的定理1確保了理性Ra是適合作為公開宣告的斷定。

定理1: Ra在任一個(gè)廣義博弈認(rèn)知模型中都是可滿足的。

考慮到重復(fù)宣告可以看做是博弈前存在于選手間思維中的一種虛擬信息流互動(dòng)的情形，[18]下文刻畫定理I表明：博弈開始前，具有理性選手推理彼此也為這樣的理性特征時(shí)，選手間的這種虛擬高階信息互動(dòng)交流（即你知道我知道你是理性的選手等互動(dòng)認(rèn)知交流情形）的結(jié)果，迫使選手將與理性命題真值不一致的可能狀態(tài)排除在外，從而化簡(jiǎn)原博弈認(rèn)知模型到宣告極限模型，而最終留在此宣告極限模型中的可能世界所對(duì)應(yīng)的博弈結(jié)果，則是與通過BI算法求得的博弈結(jié)果是完全一致的。

定理2（刻畫定理I）：給定一個(gè)完美信息有窮泛型博弈G，MG’=〈W, T, {Ri}i∈N，V〉是關(guān)于G的博弈認(rèn)知模型，設(shè)w∈W，如果經(jīng)過重復(fù)公開宣告命題后Ra，w仍被保留在最終穩(wěn)定的某個(gè)廣義博弈認(rèn)知模型M’G’，即，M’G’是一個(gè)宣告極限模型#（Ra, MG’），那么，w所對(duì)應(yīng)的結(jié)果也一定屬于BI算法的均衡結(jié)果集，反之亦成立。形式化為：w∈#（Ra, MG’）?zw∈BI*

圖2展示了重復(fù)公開宣告主體理性所導(dǎo)致的博弈結(jié)果。在公開宣告理性三次后，博弈認(rèn)知模型達(dá)到宣告極限，不再發(fā)生改變，而對(duì)此博弈，這個(gè)宣告極限中的可能世界所對(duì)應(yīng)的結(jié)果恰是該博弈的子博弈精煉均衡。

基于上面的刻畫定理，進(jìn)一步我們易得：

定理3（刻畫定理II）：給定一個(gè)完美信息有窮泛型博弈G，如果歷史z∈BI*，那么存在一個(gè)博弈認(rèn)知模型，使得對(duì)wz∈W, MG’，wzCNRa，反之亦成立。

五、結(jié)論

圖2

利用動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯研究動(dòng)態(tài)博弈的思想是由van Benthem提出來[19]并進(jìn)行了多次討論[20]。本文的研究主要受益于這些成果。不過在這些研究論述中，van Benthem著眼于將邏輯作為工具，促進(jìn)和深化博弈研究的思想引領(lǐng)，并沒有給出關(guān)于BI算法認(rèn)知條件的刻畫理論。盡管van Benthem也提及通過重復(fù)公告理性可以得到BI算法結(jié)果，然而在這些研究中，他所描述的理性沒有涉及選手的知識(shí)或信念，是一種“行為理性”。但由于公告算子是部分函數(shù)，即公告行為可以發(fā)生的前提是所要公告的事實(shí)必須為真。這樣，公告這種理性的動(dòng)作只能是在博弈完全結(jié)束后才能發(fā)生。因此van Benthem在這些文獻(xiàn)中所提出的重復(fù)公告理性理論只是一種通過動(dòng)態(tài)邏輯求解完美信息動(dòng)態(tài)博弈的方法，并不是關(guān)于BI算法的認(rèn)知刻畫。本文中，我們著眼于算法本身，通過構(gòu)建一類博弈認(rèn)知模型，利用公告邏輯PAL動(dòng)態(tài)更新認(rèn)知模型，探討了BI算法背后的認(rèn)知機(jī)制并提供了一種關(guān)于此算法的動(dòng)態(tài)認(rèn)知刻畫理論。由于刻畫分析是基于一種動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯—公開宣告邏輯PAL，這為未來我們研究動(dòng)態(tài)模型檢測(cè)動(dòng)態(tài)博弈認(rèn)知系統(tǒng)性質(zhì)，提供了能行的理論基礎(chǔ)。未來我們將拓展DEMO，①DEMO是由Eijck在2007年提出的一種動(dòng)態(tài)模型檢測(cè)工具，已被開發(fā)用于許多認(rèn)知問題的解決方案正確性的檢測(cè)（J. Eijck, DEMO-a Demo of Epistemic Modelling Interactive Logic，Amsterdam: Amsterdam University Press, 2007，Technology Report）。實(shí)現(xiàn)利用該工具驗(yàn)測(cè)我們理論的正確性。

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責(zé)任編輯：羅蘋

作者簡(jiǎn)介崔建英，中山大學(xué)哲學(xué)系、邏輯與認(rèn)知研究所講師（廣東廣州，510275）。

〔中圖分類號(hào)〕B81-05

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕A

〔文章編號(hào)〕1000-7326（2016）04-0035-07