淺議二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用

鄧發(fā)廣

隨著人類(lèi)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，人們的生活水平也在不斷提高，人類(lèi)對(duì)資源的需求量也在不斷增加，如何讓我們身邊的資源得到最充分的運(yùn)用，如何讓同樣的付出得到更多的收獲，是我們當(dāng)今的教育者也是當(dāng)今社會(huì)中每一個(gè)人所關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題，本文以二次函數(shù)為例探討如何把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)踐中去。

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫作x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。

二次函數(shù)也是某些單變量最優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，如生活中涉及的求最大利潤(rùn)，最大面積等實(shí)際問(wèn)題都與二次函數(shù)的極值有關(guān)。

二次函數(shù)的圖象——拋物線(xiàn)，也是人們最為熟悉的曲線(xiàn)之一。噴泉的水流，鉛球的投擲，籃球的投擲，跳水等都形成拋物路徑。同時(shí)，拋物線(xiàn)形狀在建筑上也有著廣泛的應(yīng)用，如拋物線(xiàn)形拱橋，拋物線(xiàn)形隧道等。既然二次函數(shù)在我們生活中應(yīng)用的如此廣泛，下面我就略舉幾例以供探討。

一、二次函數(shù)的極值在生活中的運(yùn)用

1.在農(nóng)業(yè)方面的應(yīng)用

例1：據(jù)調(diào)查，某果園有100棵橙子樹(shù)，每一棵樹(shù)平均結(jié)600個(gè)橙子，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹(shù)以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹(shù)，那么樹(shù)之間的距離和每一棵樹(shù)所接受的陽(yáng)光就會(huì)減少，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，每多種一棵樹(shù)，平均每棵樹(shù)就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子，那么果園應(yīng)增種多少棵橙子樹(shù)才合適？

解：設(shè)果園應(yīng)增種x棵橙子樹(shù)，則增種橙子樹(shù)后每棵樹(shù)所結(jié)橙子為（600-5x）個(gè)，若用y表示果園中橙子的總數(shù)量，由題意可得：

∴當(dāng)果園增種10棵橙子時(shí)，最合適，因?yàn)榇藭r(shí)橙子總量最多為60500個(gè)。

2.在商業(yè)方面的應(yīng)用

例2：某商場(chǎng)以每件42元的價(jià)錢(qián)購(gòu)進(jìn)一種服裝，根據(jù)試銷(xiāo)得知，若每件售價(jià)為50元，每天可以賣(mài)54件，當(dāng)售價(jià)每上漲1元時(shí)，銷(xiāo)售量就會(huì)減少3件。

（1）寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種服裝每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式（每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是指所賣(mài)出服裝的銷(xiāo)售價(jià)與購(gòu)進(jìn)價(jià)的差）；

（2）通過(guò)對(duì)所得函數(shù)關(guān)系進(jìn)行配方，指出：商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件的銷(xiāo)售價(jià)定為多少最為合適，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？

∴當(dāng)每件的銷(xiāo)售價(jià)為55元時(shí)，可取得最大利潤(rùn)，每天最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為507元。

3.在日常生活中的應(yīng)用

例3：某建筑物的窗戶(hù)如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長(zhǎng)（圖中所有黑線(xiàn)的長(zhǎng)度和）為15m，當(dāng)x取多少時(shí)，窗戶(hù)通過(guò)的光線(xiàn)最多？（π取3）

由此可得，當(dāng)x=15/8時(shí)，窗戶(hù)面積最大為225/32m2，所以當(dāng)x=15/8m時(shí)，窗戶(hù)通過(guò)的光線(xiàn)將最多。

由上述例子可以看出：在豐富的現(xiàn)實(shí)背景中，蘊(yùn)涵著大量的與二次函數(shù)極值相關(guān)的問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)歷探索，分析，抓住本質(zhì)的條件，建立兩個(gè)變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

二、二次函數(shù)的圖象在生活中的應(yīng)用

二次函數(shù)的圖象——拋物線(xiàn)是一種常見(jiàn)的圖形，利用圖象可以幫助人們分析、解決生活中的很多問(wèn)題，下面我就圖象的應(yīng)用略舉幾例。

1.在體育運(yùn)動(dòng)方面的應(yīng)用

2.在建筑業(yè)方面的應(yīng)用

（1）柱子OA的高度為多少米？

（2）噴出的水流距水平面的最大高度是多少米？

（3）若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少要多少米，才能?chē)姵龅乃鞑恢劣诼湓诔赝猓?/p>

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=5/4，所以水柱子OA的高度為5/4。

答：水池的半徑至少要2.5米，才能使噴出的水流不至于落在池外。

3.在交通業(yè)方面的應(yīng)用

例6：如圖，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，橫斷面的地平線(xiàn)為x軸，橫斷面的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，橋拱的DGD′部分為一段拋物線(xiàn)，頂點(diǎn)G的高度為8米，AD和A′D′是兩側(cè)高為5.5米的支柱，OA和OA′為兩個(gè)方向的汽車(chē)通行區(qū)，寬都為15米，線(xiàn)段CD和C′D′為兩段對(duì)稱(chēng)的上橋斜坡，其坡度為1∶4。

（1）求橋拱DGD′所在拋物線(xiàn)的解析式及CC′的長(zhǎng)；

（2）BE和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應(yīng)的AB和A′B′為兩個(gè)方向的行人及非機(jī)動(dòng)車(chē)通行區(qū)，求AB和A′B′的寬。

（3）按規(guī)定，汽車(chē)通過(guò)該橋下時(shí)，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米，今有一大型貨汽車(chē)，裝載某大型設(shè)備后，其寬為4米，車(chē)載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7米，它能否從OA（或OA′）區(qū)域安通過(guò)？請(qǐng)說(shuō)明理由。

其實(shí)二次函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用是多方面的，在此，我只不過(guò)提到了其中的很小一部分，既然二次函數(shù)與我們的生活關(guān)系這么緊密，那我們還有什么理由不去學(xué)它，不去研究它，不去關(guān)注它呢？愿每一個(gè)喜歡數(shù)學(xué)的人都能在生活中靈活利用二次函數(shù)的極值、圖像等的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。同時(shí)，也希望我們能夠發(fā)現(xiàn)生活中與二次函數(shù)有關(guān)的模型，盡可能把我們所學(xué)的理論知識(shí)運(yùn)用于實(shí)踐，對(duì)其進(jìn)行加工改造，使其能更有效地發(fā)揮作用，為人類(lèi)謀福利。

（作者單位：湖北省丹江口市紅旗中學(xué)）