世間最神秘的三個(gè)數(shù)字（十三）

劉瑋

說(shuō)話間，皓天用手中的紙剪出了兩個(gè)黃金三角形：“下一代的黃金三角形在哪兒？”

“在長(zhǎng)邊上找到黃金分割點(diǎn)，并與它的對(duì)角相連看看，它將原來(lái)的黃金三角形分成了兩個(gè)小的黃金三角形，一個(gè)是銳角黃金三角形，另一個(gè)是鈍角黃金三角形。”

“等等——這里有玄機(jī)！”皓天靈光閃現(xiàn)，“子代與父代都是黃金三角形，是相似的，設(shè)銳角為α，分割后由相似可看出其底角一定為2α，那么這個(gè)α就能求出來(lái)了，5α=180°，α=36°，底角就是72°。同時(shí)可以看出：鈍角黃金三角形的頂角是180°-2α=108°?！?/p>

“這個(gè)繁殖過(guò)程也可以用折疊法了！”鵬飛提示道。

“對(duì)，將底角對(duì)折一次，出現(xiàn)兩個(gè)二代黃金三角形，折一次后不打開，沿小三角形的底線再折一次，第三代的小黃金三角形也出來(lái)了。如此下去，就可以繁殖出一系列的黃金三角形?！?/p>

鵬飛覺(jué)得討論可以再深入下去了：“最美矩形應(yīng)該是什么樣子的呢？”

皓天：“當(dāng)然是兩邊比為φ的矩形了。”

“能用折疊法繁衍出下一代的黃金矩形嗎？”

“可以啊，對(duì)折一角，折出一個(gè)正方形，余下的還是一個(gè)黃金矩形。依次折出正方形，就可無(wú)限繁衍出越來(lái)越小的黃金矩形，最終趨向于一個(gè)點(diǎn)。”

鵬飛：“是的，這個(gè)點(diǎn)被稱為‘上帝之眼，仿佛正是從這里繁衍出了這些無(wú)數(shù)的正方形。更奇妙的是，如果過(guò)這些正方形對(duì)角畫曲線，就形成了對(duì)數(shù)螺線的輪廓。”

“對(duì)數(shù)螺線的方程是什么？”

“用極坐標(biāo)方程表示：r = aeθ ?！?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2017/03/06/zxkj201604zxkj20160415-2-l.jpg" style="">

“原來(lái)黃金數(shù)φ與e還有這種淵源呢！”皓天不禁喃喃自語(yǔ)道，“黃金三角形、黃金四角形，前面分割的線段也可以說(shuō)是二角形，應(yīng)當(dāng)還有黃金五角形、六角形……這是平面的，立體的就應(yīng)該有黃金四面體、黃金長(zhǎng)方體……四維空間的是不是還有許多黃金超體?。俊?/p>

鵬飛驚詫了：“我的知識(shí)也有限，只知道金字塔是黃金四面體，五角星是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的標(biāo)志，里面有好多黃金比，黃金長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高之比為1∶0.618∶0.382。另外，曲線家族里也有黃金比，比如黃金橢圓、對(duì)數(shù)螺線等，至于其他的，我也不了解了。”

“它們的共同特點(diǎn)是具有黃金比，一定也都可以通過(guò)折疊法繁衍出無(wú)數(shù)個(gè)小的自相似圖形來(lái)?！别┨煊窒萑肓顺了贾?。