飽和函數(shù)序列電路的設計及其在多渦卷混沌電路中的應用*

張瑞楷 孫克輝

（中南大學物理與電子學院，長沙 410083）

飽和函數(shù)序列電路的設計及其在多渦卷混沌電路中的應用*

張瑞楷 孫克輝?

（中南大學物理與電子學院，長沙 410083）

以普通運算放大器作為有源器件，設計了飽和函數(shù)序列電路，給出了電路頻率臨界值.將飽和函數(shù)序列電路應用于多渦卷混沌電路設計，研究了飽和函數(shù)序列幅度、寬度、斜率等參數(shù)對多渦卷混沌吸引子相圖的影響.設計了基于參數(shù)可調(diào)的飽和函數(shù)序列的混沌電路，研究表明，通過選擇合適的參數(shù)，可以調(diào)控多渦卷吸引子大小和形狀.設計的飽和函數(shù)序列電路穩(wěn)定且靈活，有利于其在多渦卷混沌電路中的應用.

混沌， 飽和函數(shù)序列， 多渦卷吸引子， 混沌電路

引言

近年來，多渦卷混沌系統(tǒng)因具有復雜的動力學行為而引起人們的廣泛關注，人們先后提出了多種方法以構造多渦卷混沌系統(tǒng)［1-9］.產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子的關鍵技術是構造非線性函數(shù)，擴展非線性系統(tǒng)的指標2鞍焦平衡點.當前，常用的非線性函數(shù)主要有飽和函數(shù)、階梯函數(shù)、三角波函數(shù)、鋸齒波函數(shù)等.其中，飽和函數(shù)序列斜率無限大時即為階梯函數(shù)，其與線性函數(shù)的組合可以得到三角波和鋸齒波.所以，研究飽和函數(shù)序列電路設計對于多渦卷混沌系統(tǒng)設計和應用具有重要意義.

目前，基于飽和函數(shù)序列的多渦卷混沌電路設計引起了學者們的廣泛關注［10-19］.Bao B C等［10］提出了在一個三維線性系統(tǒng)的基礎上構造飽和函數(shù)，生成兩方向網(wǎng)格多渦卷吸引子的方法，并給出了7×7和9×9網(wǎng)格多渦卷吸引子的電路實驗結果.陳仕必等［11］提出了一種利用多項式和飽和函數(shù)構造N×M渦卷的構造方法，并給出了網(wǎng)格多渦卷混沌電路仿真結果.吳先明等［12-13］運用電流反饋放大器構造了飽和函數(shù)與網(wǎng)格多渦卷混沌電路，并給出了電路仿真結果.王春華等［15-16］提出了采用電流傳輸器構建飽和函數(shù)并實現(xiàn)網(wǎng)格多渦卷混沌電路，產(chǎn)生了網(wǎng)格多渦卷吸引子，并測得網(wǎng)格多渦卷混沌電路的中心頻率比單方向多渦卷混沌電路的中心頻率高.左婷等［17］在網(wǎng)格多渦卷混沌系統(tǒng)中對電流反饋放大器和電壓反饋放大器進行了對比，表明基于電流反饋放大器的多渦卷混沌模擬電路頻率性能更優(yōu).Sánchez-López C等［18-19］提出了一種新的飽和函數(shù)模型，將有源器件的性能參數(shù)考慮其中，電路實驗結果更接近于器件的真實行為.電流反饋放大器和電流傳輸器的應用確實提高了混沌電路的中心頻率，使電路在更高頻信號工作成為可能.但是電流傳輸器內(nèi)部結構較為復雜，器件本身對電路的影響較大.在飽和函數(shù)序列的電路設計中，有些重要的參數(shù)，如函數(shù)斜率，電路的實測值與理論計算值之間的誤差較大，不利于進行電路分析與應用.另外，上述文獻中，人們側重于多渦卷混沌吸引子的實現(xiàn)，對于飽和函數(shù)的電路研究較少.非線性函數(shù)的各個參數(shù)在多渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生過程中有何作用？參數(shù)的改變會對吸引子造成什么樣的影響？這些問題卻很少有人討論.

因此，本文采用運算放大器設計了飽和函數(shù)序列電路，并對函數(shù)的重要參數(shù)對多渦卷混沌吸引子的影響做了深入研究.在此基礎上，構造參數(shù)可調(diào)的飽和函數(shù)序列用于生成大小形狀可調(diào)的多渦卷吸引子，電路具有更大的靈活性，為混沌電路的應用奠定了基礎.

1 飽和函數(shù)序列電路設計與仿真

1.1 飽和函數(shù)序列

飽和函數(shù)序列由飽和函數(shù)組合疊加而成，具有兩種不同數(shù)學表達式.其中第一類飽和函數(shù)序列表達式為

式中N1和N2為正整數(shù)，其特點是斜邊中點位于坐標軸原點.第二類飽和函數(shù)序列表達式為

式中N1和N2為正整數(shù)，其特點為水平邊中點位于坐標軸原點.

上述表達式中，A為飽和值，k＝A/q為斜率.當q無限接近0時，飽和函數(shù)序列趨近于階梯函數(shù).實際情況中，一般選取A＝E，N1＝N2＝2時的這兩類飽和函數(shù)序列的波形圖如圖1所示.

圖1 飽和函數(shù)序列波形（a）第一類飽和函數(shù)序列；（b）第二類飽和函數(shù)序列Fig.1 Waveform of saturated nonlinear function series（a）the first kind of function；（b）the second kind of function

1.2 飽和函數(shù)序列電路設計

采用普通運算放大器TL082作為有源器件.結合有源器件的特性，設計飽和函數(shù)序列產(chǎn)生電路如圖2所示.其中，TL082電源電壓為±15V，輸出飽和值為Vsat＝13.5V.

圖2 飽和函數(shù)序列的產(chǎn)生電路圖（a）第一類飽和函數(shù)；（b）第二類飽和函數(shù)Fig.2 Circuit diagram of saturated nonlinear function series（a）the first kind of function；（b）the second kind of function

以實現(xiàn)N1＝N2＝2時，式（1）的飽和函數(shù)序列為例.輸出值為

為驗證電路設計的正確性，令Wx＝Wy＝2，k＝5，采用Multisim軟件進行電路仿真，設置輸入信號頻率為1kHz，得到的仿真結果如圖3所示.其中，函數(shù)與電路元器件對應的取值如表1所示.對比圖1和圖3可知，電路仿真結果與數(shù)值仿真結果一致.

圖3 飽和函數(shù)序列的產(chǎn)生電路仿真結果（a）第一類飽和函數(shù)；（b）第二類飽和函數(shù)Fig.3 Simulation results of the saturated nonlinear function series circuit（a）the first kind of function；（b）the second kind of function

表1 飽和函數(shù)及其相應電路元器件取值Table 1 Details of saturated function and the circuit component

1.3 不同頻率信號輸入時飽和函數(shù)電路的特性分析

隨著電路輸入信號頻率的不斷增加，電路仿真結果與數(shù)值仿真結果相比，逐漸產(chǎn)生偏離.經(jīng)過測量，當輸入信號頻率分別為100Hz、1kHz、10kHz時，函數(shù)電路所產(chǎn)生的函數(shù)波形與理論值之間的偏差分別為1.8%、4.8%、25.2%.當輸入信號頻率為100kHz時，函數(shù)電路的結果出現(xiàn)失真，輸出為一條直線，無法得到正確的飽和函數(shù)波形.

壓擺率，Slew Rate（SR），是衡量運算放大器性能的重要參數(shù)之一，是運算放大器輸出電壓的轉換速率.當輸入信號變化斜率的絕對值小于SR時，輸出電壓才按線性規(guī)律變化.受到運算放大器壓擺率的影響，電路在高頻信號輸入下無法正常工作，這也是基于普通運放的混沌電路頻率不高的主要原因.

經(jīng)反復實驗，該電路能夠產(chǎn)生飽和函數(shù)序列的信號頻率臨界值為48kHz，能夠滿足進一步的工作要求.另一方面，與其他有源器件相比，在中低頻信號下，運算放大器的輸入與輸出可以保持高精度的運算關系，生成的飽和函數(shù)序列的誤差更小，仿真結果與數(shù)值計算的結果更為接近，電路性能更加穩(wěn)定，更有利于進行電路的性能分析.

2 飽和函數(shù)電路在混沌系統(tǒng)中的應用

2.1 用飽和函數(shù)實現(xiàn)單方向多渦卷Jerk電路

多渦卷Jerk電路的無量綱狀態(tài)方程為

其中，β＝0.6，f（x）為式（1）所示的飽和函數(shù)序列.

圖4為基于飽和函數(shù)序列的單方向多渦卷混沌電路，采用改進型模塊化設計，涉及到反相積分器、反相器等基本電路單元.

圖4 基于飽和函數(shù)序列的單方向多渦卷混沌電路圖Fig.4 Chaotic circuit based on the saturated function series

圖4中，模塊F為飽和函數(shù)序列的產(chǎn)生電路，如圖2所示，輸入信號分別為x，輸出信號為f（x）.模塊S為反相器.由此產(chǎn)生的非線性電路的數(shù)學方程為

對比方程（5）與（6）可得到：C1＝C2＝C3，R1＝R2＝R3＝R4＝βR5＝R6.

令C1＝C2＝C3＝5nF，R1＝R2＝R3＝R4＝βR5＝R6＝30kΩ，非線性函數(shù)單元采用圖3（a）的結果，得到的電路結果如圖5所示.實現(xiàn)了基于飽和函數(shù)電路的多渦卷混沌吸引子.

圖5 基于飽和函數(shù)序列的單方向多渦卷混沌吸引子圖Fig.5 Muti-scroll chaotic attractor based on the chaotic circuit

2.2 飽和函數(shù)斜率對多渦卷混沌電路的影響

飽和函數(shù)的斜率k由電路中的Rf1-Rf4的阻值決定，通過調(diào)節(jié)電阻阻值的大小，可以產(chǎn)生不同斜率的飽和函數(shù).以圖4的多渦卷混沌電路為例，對飽和函數(shù)斜率，對多渦卷混沌吸引子的影響進行研究.不同斜率的飽和函數(shù)電路產(chǎn)生的多渦卷混沌吸引子圖如圖6所示.可見，隨著飽和函數(shù)斜率的減小，混沌吸引子相圖逐漸變得不均勻，渦卷的相軌分布變得不同，直至無法產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子.

圖6 不同斜率的飽和函數(shù)電路產(chǎn)生的多渦卷吸引子相圖（a）k＝500；（b）k＝20；（c）k＝5；（d）k＝2.5Fig.6 Multi-scroll chaotic attractor for the saturated function with different k（a）k＝500；（b）k＝20；（c）k＝5；（d）k＝2.5

多渦卷混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生與系統(tǒng)的指標2的鞍焦點密不可分，一個指標2的鞍焦點對應可以產(chǎn)生一個渦卷.飽和函數(shù)序列與混沌吸引子的對應關系如圖7所示.

圖7 不同斜率時渦卷吸引子與鞍焦點對應示意圖（a）k＝500；（b）k＝5Fig.7 Relationships between themuti-scroll and the saddle focus for different k.（a）k＝500；（b）k＝5

飽和函數(shù)斜率變化，使得函數(shù)的轉折點發(fā)生變化.在取橫坐標范圍一定時，隨著斜率變小，平衡點相鄰的兩個轉折點之間的距離變大，在圖6（a）、（b）、（c）中轉折點距離的變化沒有影響到鞍焦點的個數(shù)，因此系統(tǒng)依然可以產(chǎn)生六個渦卷，但是函數(shù)轉折點的變化，使得產(chǎn)生吸引子的分界面發(fā)生變化，進而影響到了渦卷的形狀和相軌空間，使得吸引子相圖隨著函數(shù)斜率的減小變得不均勻.當飽和函數(shù)的斜率進一步減小，平衡點相鄰的兩個轉折點距離進一步增大，在圖6所取的橫坐標范圍下，鞍焦點的個數(shù)減少，甚至沒有了，沒有了指標2的鞍焦點也就產(chǎn)生不了渦卷，如圖6（d）所示.

2.3 飽和函數(shù)幅度、寬度對多渦卷混沌電路的影響

如圖7所示，函數(shù)的幅度Wy決定了鍵帶與渦卷大小，寬度Wx決定了平衡點的位置.也就是說，通過改變函數(shù)的幅度與寬度可以調(diào)節(jié)多渦卷混沌吸引子的大小與位置，從而產(chǎn)生形狀不一的多渦卷混沌吸引子.

為保證系統(tǒng)能夠產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子，不影響系統(tǒng)指標2的鞍焦平衡點的生成，函數(shù)幅度和寬度的變化范圍不宜過大.經(jīng)反復的電路實驗，函數(shù)的幅度與寬度需要保持同樣的變化規(guī)律，相鄰的函數(shù)幅度應滿足：

3 構造參數(shù)可調(diào)飽和函數(shù)序列產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子

根據(jù)前面的分析，將式（1）的數(shù)學形式進一步改進，可構造參數(shù)可調(diào)的飽和函數(shù)序列.

這里的參數(shù)可調(diào)，是指飽和函數(shù)的幅度、寬度、斜率以及轉折點等參數(shù).可以隨著A、q的變化而變化，從而形成幅度、寬度、斜率各異的飽和函數(shù)序列.計算幅度Wyi、寬度Wxi、斜率k、平移值Ei、轉折點Bpi各參數(shù)的公式為

現(xiàn)以10渦卷為例，給出產(chǎn)生大小均勻、大小間隔、中間大兩邊小、中間小兩邊大等4種不同類型10渦卷的參數(shù)取值，如下所示.一般地，為了使渦卷形狀更加美觀，應采用斜率更大的飽和函數(shù)序列，也就是要q值盡可能小.這里令q＝0.002，有

按照上文所設計的混沌電路，根據(jù)式（10）～（12），設計參數(shù)可調(diào)的多渦卷混沌電路，并按照上述要求調(diào)節(jié)電路中各個參數(shù)值，得到的結果如圖8所示.通過選擇不同的參數(shù)，依次得到了大小相同、大小相間、中間大兩邊小、中間小兩邊大四種形狀的多渦卷混沌吸引子.

圖8 參數(shù)可調(diào)時飽和函數(shù)生成不同形狀的多渦卷吸引子相圖（a）大小均勻；（b）大小相間；（c）中間大兩邊??；（d）中間小兩邊大Fig.8 Muti-scroll chaotic attractor of different shapes based on the function with the adjustable parameters（a）uniform size（b）size interval（c）large in themiddle and small at the edges（d）small in themiddle and large at the edges

實驗表明，通過選擇合適的參數(shù)，使得飽和函數(shù)的幅度、寬度、斜率、平衡點等參數(shù)可調(diào)，從而生成大小形狀可控的多渦卷混沌吸引子.在電路設計時，可以通過調(diào)節(jié)函數(shù)電路的參數(shù)，讓輸出信號保持在電路的動態(tài)范圍內(nèi)，從而使電路設計過程更加簡易.

4 結論

以普通運算放大器作為有源器件，設計了飽和函數(shù)序列電路，可用于多渦卷混沌電路，運用理論分析和電路仿真的方法，對電路的性能和函數(shù)參數(shù)對于混沌吸引子的影響進行了研究，得到了以下結論.

1）本文設計的飽和函數(shù)序列電路，性能穩(wěn)定，有利于混沌電路的應用.Jerk系統(tǒng)為典型混沌系統(tǒng)，該電路可用于其他多渦卷混沌系統(tǒng).

2）飽和函數(shù)幅度、寬度、斜率等參數(shù)對多渦卷混沌吸引子相軌產(chǎn)生影響，進而影響多渦卷吸引子大小、形狀和相空間分布.

3）通過選擇合適的參數(shù)，設計了參數(shù)可調(diào)的飽和函數(shù)序列，可以調(diào)控多渦卷吸引子的大小和形狀，使得多渦卷混沌電路更加靈活，對電路的實際應用具有重要意義.

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DESIGN OF SATURATED NONLINEAR FUNCTION SERIESCIRCUIT AND ITS APPLICATION IN MUTI-SCROLL CHAOTIC CIRCUIT*

Zhang Ruikai Sun Kehui?
（School of Physics and Electronics，Central South University，Changsha 410083，China）

Taking the operational amplifier as the active devices，the saturated nonlinear function series circuit is designed，and the critical circuit frequency is determined.The saturated nonlinear function series circuit is applied into themulti-scroll chaotic circuit，and the influence of the amplitude，width，slope of the saturated nonlinear function series on multi-scroll chaotic attractor is also investigated.Moreover，a parameter adjustable chaotic circuit is designed based on the saturated nonlinear function series.The results show that the size and shape of themulti-scroll attractors can be adjusted by changing parameters.The designed saturated nonlinear function series circuit is stable and flexible，and it is propitious to the application ofmulti-scroll chaotic circuit.

chaos， saturated nonlinear function series， multi-scroll chaotic attractor， chaotic circuit

10.6052/1672-6553-2016-025

2015-12-28收到第1稿，2016-03-13收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（61161006）

?通訊作者E-mail：kehui＠csu.edu.cn

Received 28 December 2015，revised 13 March 2016.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（61161006）

?Corresponding author E-mail：kehui＠csu.edu.cn