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    orbifold叢的群胚表示

    2016-05-17 03:49:50林奕武廣東金融學院應用數(shù)學系廣東廣州510275
    關鍵詞:理論

    林奕武(廣東金融學院應用數(shù)學系,廣東廣州510275)

    ?

    orbifold叢的群胚表示

    林奕武
    (廣東金融學院應用數(shù)學系,廣東廣州510275)

    摘要:該文定義了orbifold叢的群胚表示,并且用群胚的語言重新定義orbifold的de Rham上同調(diào)和K-理論。

    關鍵詞:orbifold叢;群胚;群胚K-理論;叢映射

    眾所周知,orbifold理論涉及數(shù)學的眾多分支,如拓撲學,代數(shù)幾何與弦理論等。上世紀50年代,Satake[1,2]首次在拓撲與微分幾何領域中引進orbifold的概念。他視orbifold為光滑流形的推廣,并稱之為V-流形。傳統(tǒng)上,orbifold被視為帶有奇點的“流形”,如在代數(shù)幾何常稱orbifold為帶商奇性的簇,即將or?bifold奇性視為拓撲空間的內(nèi)蘊結構。在拓撲中,常常將orbifold奇性視為拓撲流形上的一個orbifold結構,類似于拓撲流形的光滑結構。但是,由于orbi?fold的奇性結構,使得光滑流形上的很多概念無法推廣到orbifold范疇。因此,Haefliger[3]和Moerdijk[4,5]等人為orbifold引入了群胚的語言。Moerdijk指出,每個orbifold都對應著一個李群胚,使得orbifold底空間剛好李群胚的軌道空間。orbifold的局部奇性結構可以從李群胚的態(tài)空間得到。因此用群胚的語言來表述orbifold是具有積極意義的。首先,可以構造李群胚的分類空間,使得基本群,de Rham上同調(diào)等幾何的不變量可以在orbifold上發(fā)展起來。另外,Adem、Lei?da和Ruan[6]在李群胚上構造了纖維叢。而Chen和Ruan[7]在研究orbifold的弦理論的過程中發(fā)現(xiàn)了orbi?fold上同調(diào),引起了廣泛的關注。

    筆者在Adem、Leida和Ruan[6]的基礎上,首先,把orbifold的切叢,余切叢和外形式叢等定義成or?bifold上的一個群胚。把外微分形式,即從orbifold到外形式叢的截面,視為一個群胚同態(tài)。因此用新的群胚語言對de Rham上同調(diào)重新描述,使其定義更加自然。接著,本文把orbifold的纖維叢定義成一個群胚,把叢同態(tài)定義為群胚之間的同態(tài),從而定義了orbifold群胚上的群胚K-理論,并且證明這種定義在Morita等價下是不變的,因此可以作為orbi?fold的K-理論。

    一、orbifold及orbifold群胚

    本節(jié)主要介紹orbifold,orbifold叢及orbifold群胚等概念,這些概念主要來自于[6]。

    orbifold可以用兩種語言來描述,一種是局部卡的語言,另一種是群胚的語言。orbifold的局部卡類似于流形的局部坐標卡,一個orbifold可視為賦予了局部卡冊的Hausdorff拓撲空間。用局部卡的語言,我們能直觀的看到orbifold的局部結構。orbifold也可以視為李群胚的軌道空間。用群胚的語言,我們能把群胚的豐富技巧移植到orbifold理論,從而基本群,上同調(diào)等拓撲不變量可以推廣到orbifold范疇。

    定義1.1設X為一個仿緊的Hausdorff拓撲空間,n≥0。

    (4)X的兩個orbifold卡冊?和?,如果?中的每一張orbifold卡都能嵌入?中的某一張orbifold卡,則稱?為?的一個加細。如果兩個orbifold卡冊有一個共同的加細,則稱它們是等價的。

    一個群胚是指一個小范疇,其所有態(tài)射都是等價。一個李群胚是指一個具有光滑結構的群胚,定義如下:

    (1)源映射s:G1→G0為淹沒映射;

    (2)靶映射t:G1→G0為淹沒映射;

    (3)復合映射m:G1s×tG1→G1滿足結合律,

    其中G1s×tG1={(h,g)∈G1×G1|s(h)=t(g)};

    (4)單位映射u:G0→G1,x?1x;

    (5)逆映射i:G1→G1,g?g-1.

    定義1.3設G=(G0,G1)為李群胚,如果(s,t):G1→G0×G0為固有映射,并且s,t都是局部微分同胚,則稱G=(G0,G1)為一個orbifold群胚。

    設G為orbifold群胚。對于任意x∈G0,存在自然的群同態(tài)

    ρx: Gx→diff(Ux),

    其中,Ux為x的開鄰域,Gx={g∈G1|s(g)=t(g)=x} 為x的局部子群。若對于所有x∈G0,ρx:Gx→diff(Ux)都為單態(tài),則稱G為有效的orbifold群胚。否則,稱為非有效的orbifold群胚。

    例1.4每個有限李群G可以看作一個orbifold群胚。其象空間為一個單點,態(tài)空間為G .我們稱之為點群胚,記為G.

    例1.5每個光滑流形M也可以看作一個orbi?fold群胚。其象空間和態(tài)空間都是M,所有的結構映射都是恒同id: M→M.由于每個態(tài)射都是單位態(tài),我們稱之為單位群胚。

    接著討論orbifold群胚之間的同態(tài)與等價,我們可以利用orbifold群胚之間等價給所有orbifold群胚分類。

    二、orbifold切叢及orbifold de Rham上同調(diào)

    考慮G1上的切叢TG1,首先證明TG1與G1×G0TG0是同構的。

    對于拉回圖表(見圖1):

    因為存在切映射s?:TG1→TG0和p1:TG1→G1,使得p0s?=sp1.因此存在

    Ψ:TG1→G1×G0TG0

    定理2.1 (TG0, TG1)是一個orbifold群胚,并且

    (1TG0,Ψ): (TG0,TG1)→(TG0,G1×G0TG1)是orbifold群胚同構。

    定義2.2我們稱(TG0,TG1)為=(G0,G1)的切叢。

    同理,我們定義(T?G0,T?G1)為=(G0,G1)的余切叢。定義為G=(G0,G1)的r次外形式叢,記為.

    Adem、Leida和Ruan[6]把G的de Rham復形

    接著我們證明這兩種de Rham復形的定義是一致的。

    又因為?dω=(dω,s?dω)=(dω,ds?ω)=d?ω。所以?是鏈復形同構。

    三、群胚叢及群胚K-理論

    本節(jié),我們用群胚的語言來定義orbifold叢和orbifold K-理論。

    使得p0:E0→G0和p1:E1→G1都是叢投射,則稱上的一個群胚叢。上群胚叢(F0,F1)和(E0,E1)之間的群胚叢映射定義為滿足叢映射條件的群胚同態(tài),即是

    其中(ρ0,ρ1)為群胚同態(tài),并且ρ0:F0→E0和ρ1:F1→E1都是叢映射。

    如果(ρ0,ρ1)是同構映射對,則稱(F0,F1)和(E0,E1)是同構的群胚叢。

    設(f0,f1):(G0,G1)→(H0,H1)是群胚同態(tài),(E0,E1) 是(H0,H1)上的群胚叢,則f0和f1的拉回和是(G0,G1)上的一對纖維叢。

    證明:考慮下面圖表:

    圖2 交換圖

    推論3.4 (f0,f1)誘導了一個群胚K-理論的同態(tài)

    特別地,

    定理3.5 (f0,f1)是一個Morita等價,則

    因為Morita等價的orbifold群胚表示相同的or?bifold,所以群胚K-理論可以視為orbifold上的K-理論。

    參考文獻

    [1]I Satake. On a generalization of the notion of manifold [J]. Proceedings of the National Academy of Science of the United States of America,1956,42(6):359-363.

    [2]I Satake. The Gauss-Bonnet theorem of V-manifold[J]. Mathematical Society of Japan,1957,9(4):464-492.

    [3]Haefliger Groupoids and folations in analysis[J]. Geome?try and physics,2001,28(2):83-100.

    [4]I. Moerdijk,I. Moerdijk. Orbifolds as groupoids:an In?trodution[J]. Orbifolds in mathematics and physics,2002,3(10):205-222.

    [5]I. Moerdijk,A. Dorette. Orbifolds,sheaves and Grou?poids[J]. K-Theory,1997(12):3-21.

    [6]A. Adem,J. Leida and Y. Ruan. Orbifolds and stringy to?pology[M]. Cambridge Tracts in Mathematics,2007.

    [7]W. Chen,Y. Ruan. A new cohomology theory of orbifold [J]. Comm. Math. Phy,2004,24(8):1-31.

    [經(jīng)濟與管理]

    [經(jīng)濟與管理]

    Groupoid Representation of Orbifold Bundles

    LIN Yi-wu
    (Department of Applied Mathematics,Guangdong University of Finance,Guangzhou 510521,China)

    Abstrast:We define the groupoid representation of orbifold bundles,and describe the de Rham cohomology of orbifold using groupoid language,then define the groupoid K-theory on orbifolds.

    Key words:orbifold bundle;groupoid;groupoid K-theory;bundle map

    中圖分類號:O189.2

    文獻標志碼:A

    文章編號:1009-931X(2016)01—0063-03

    收稿日期:2015-12-10

    基金項目:國家自然科學基金項目(11201087)

    作者簡介:林奕武(1980-),男,廣東汕頭人,博士,講師,研究方向:orbifold及陳-阮上同調(diào)。

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