B3型量子群的Gelfand-Kirillov維數(shù)?

古麗沙旦木·玉奴斯，阿不都卡的·吾甫，孟吉翔

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

Krull維數(shù)曾經(jīng)一度是研究非交換環(huán)的一個非常重要的不變量,但是此概念是通過主理想序列定義的.因此,對于非交換代數(shù)而言,經(jīng)典Krull維數(shù)并不是一個很有用的工具.不過幸運的是對于有限生成k-代數(shù)來說,Gelfand-Kirillov維數(shù)是一個更好的不變量,并且在交換代數(shù)上的Gelfand-Kirillov維數(shù)恰好與Krull維數(shù)相同.Gelfand-Kirillov維數(shù)測量代數(shù)增長的漸近速度,為我們提供了非常重要的結(jié)構(gòu)信息.因此,這個不變量已經(jīng)成為研究有限生成的無限維代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)工具之一.但是一般情況下,計算Gelfand-Kirillov維數(shù)是一項極其困難的事情.

在文獻 [1]中作者不僅對于有限生成k?代數(shù)及其上模的 Gelfand-Kirillov維數(shù)進行了非常詳細的討論,而且介紹了計算包絡(luò)代數(shù)和量子群中一些經(jīng)典、非經(jīng)典例子的一種方法.本文先給出B3型量子群的 Gr¨obner-Shirshov基,再利用 [1]中給出的計算方法計算量子群Uq(B3)的 Gelfand-Kirillov維數(shù)GKdim(Uq(B3)).

1 預(yù)備知識

設(shè)Q(v)是變量v的有理函數(shù)域.令A(yù)=(aij)是整數(shù)集上的一個可對稱化n×nCartan矩陣,即aii=2,aij≤0(1≤i6=j≤n),且存在對角矩陣D,其對角線上的元素di是正整數(shù),使得DA是對稱矩陣.設(shè)q是k中的一個非零元,且對每個1≤i≤n,滿足q4di6=1.量子群Uq(A)是由生成元生成的,并且滿足以下關(guān)系的k-代數(shù)

其中

設(shè)和是Uq(A)的分別由和Fi生成的子代數(shù).這時我們有以下三角分解(見 [2])

文獻[3]中有以下結(jié)論.

定理1如果集合S+c(或者S?c)是的Gr¨obner-Shirshov基,則集合S+c∪K∪T∪S?c是Uq(A)的一個 Gr¨obner-Shirshov 基.

設(shè)k是一個域,R是一個有限生成k-代數(shù).設(shè)W是一個包含在R中的,并且含有1R的有限維k?線性空間.作為一個k?代數(shù),如果R由W生成,那么稱W是R的一個生成子空間.對于任意一個正整數(shù)n,記Wn為R中形式為的所有元素組成的集合,其中w1,...,wn∈W.特別地,W0=k，W1=W.

設(shè)W的增長函數(shù)或者Hilbert函數(shù)HFW定義為HFW(n)=dimk(Wn),其中n是任意正整數(shù).代數(shù)R的Gelfand-Kirillov維數(shù)GKdim(R)是HFW(n)的增長次數(shù).HFW(n)的增長次數(shù)不依賴于生成子空間W的選取.

定義1設(shè)R是一個有限生成k-代數(shù),M是一個有限生成的左R-模,W和U分別是R和M的生成子空間.這時M的Gelfand-Kirillov維數(shù)定義為

設(shè)A是由x1,...,xn生成的結(jié)合代數(shù),是Nn上的可容序.在A中形為的元素稱為標(biāo)準(zhǔn)項,記為Xα,其中α=(a1,...,an)∈Nn稱為Xα的指數(shù)向量.如果f∈A,則存在唯一的表達形式

定義

定義2設(shè)α=(a1,···,an)∈Nn,則向量α的支撐定義為

顯然supp(α)=?當(dāng)且僅當(dāng)α=0.

對于Nn上任意一個單理想E（見[1]中的定義）,定義

定義3一個單理想E的維數(shù)定義如下

其中card(σ)表示σ中元素個數(shù).

定義4域k上的一個PBW代數(shù)是由有限x1,...,xn生成的結(jié)合代數(shù),x1,...,xn滿足以下關(guān)系

其中每一個pji是標(biāo)準(zhǔn)項的一個有限k線性組合,每一個qji是k上非零的標(biāo)量,這個代數(shù)要滿足下面兩個條件:

（1）對每個1≤i

（2）標(biāo)準(zhǔn)項Xα(α∈Nn)形成R作為k線性空間的一個基.

定理2設(shè)是一PBW型k代數(shù),N?Rm是Rm的一個左R子模,且M=Rm/N,則有

2 B3型量子群的Gelfand-kirillov維數(shù)

在這一部分,我們計算量子包絡(luò)代數(shù)Uq(B3)的Gelfand-Kirillov維數(shù).B3相應(yīng)的Cartan矩陣A和它的極小對稱矩陣D分別為

設(shè)

則X也是Uq(B3)的生成集,其中E3,E23,E223,E123,E1223,E11223,E2,E12,E1是B3型不可分解同構(gòu)類在Ringel-Hall代數(shù)H(B3)與量子群的正部分之間典范同構(gòu)映射下的修正像,F3,F23,F223,F123,F1223,F11223,F2,F12,F1是E3,E23,E223,E123,E1223,E11223,E2,E12,E1在量子包絡(luò)代數(shù)Uq(B3)卷積同構(gòu)映射下的像.

我們對集X中的元素定義一個序

根據(jù)[4]中給定的算法有以下擬交換關(guān)系S

其中i,j=1,2,3.通過定理1和[3],[5],我們知道S是量子包絡(luò)代數(shù)Uq(B3)的Gr¨obner-Shirshov基.

如果能夠證明Uq(B3)是一個PBW代數(shù)的商,那么我們就可以計算它的Gelfand-Kirillov維數(shù).我們需要知道生成元{E3,E23,E223,E123,E1223,E11223,E2,E12,E1}與{F3,F23,F223,F123,F1223,F11223,F2,F12,F1}，{E3,E23,E223,E123,E1223,E11223,E2,E12,E1}與,及其{F3,F23,F223,F123,F1223,F11223,F2,F12,F1}與的擬交換關(guān)系.我們可以通過重復(fù)利用T,K與S中的關(guān)系計算出它們之間所有的擬交換關(guān)系.例如

通過同樣的計算方法,我們計算出以下關(guān)系

要證明Uq(B3)是一個PBW代數(shù)的商,我們僅僅需要知道每一個擬交換關(guān)系的前兩項.由Gr¨obner-Shirshov基的等價條件,我們知道下面的單項式是Uq(B3)的一組k基

其中ni,mi∈N,ai∈Z.

為了計算一個代數(shù)的Gelfand-Kirillov維數(shù),首先我們必須證明這個代數(shù)是一個PBW代數(shù).為此,我們需要找出一個向量,要求它的每一個分量都是嚴(yán)格正的,并且它還是一些標(biāo)準(zhǔn)單項式的指數(shù)向量.這種情況下,不允許我們用負指數(shù)(詳見[1]).因此,我們需要引入一個新的代數(shù),它通過用li,i∈{1,2,3}替換,去除關(guān)系Kili?1,liKi?1,i∈{1,2,3}得到.我們記這個代數(shù)為Vq(B3).我們利用以上所有元素的擬交換關(guān)系進行直接計算,知道如下單項式是Vq(B3)的一個k-基

其中ni,ai,bi,mi∈N.

接下來,我們要證明代數(shù)Vq(B3)是一個PBW代數(shù).由PBW代數(shù)的定義知,只需要找出一個有嚴(yán)格正分量的權(quán)向量ω使得它滿足定義4中條件(1)和(2).條件(2)是顯然的.參考[6,7],我們可以取權(quán)向量ω如下

通過簡單地計算,我們知道條件(1)等價于滿足下列不等式

作為例子,我們證明以下不等式.

因為

我們得到

和

因為向量ω滿足

得到

通過求解這些不等式組,我們得到

對于這個ω關(guān)于序，Vq(B3)是一個PBW代數(shù).

我們定義一個映射通過取

其中i=1,2,3.顯然?是一個滿同態(tài),且ker(?)={Kili?1,i=1,2,3}.因為K1l1,K2l2,K3l3是中心元,即對于?r∈Vq(B3),我們有rKili=Kilir.因此,I=hKili?1i是Vq(B3)的一個雙邊理想.從而有

這個同構(gòu)映射允許我們計算Uq(B3)的Gelfand-Kirillov維數(shù).因為I是雙邊理想,所以G={K1l1?1,K2l2?1,K3l3?1}是I的約化Gr¨obner-Shirshov基.于是

取

則

最后,我們得到

通過定義3,我們知道dim(Exp(I))=21.再通過定理2,我們有了本文最主要的結(jié)果

參考文獻：

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