從“解決問(wèn)題”到“問(wèn)題解決”究竟有多遠(yuǎn)

王宏　夏永立

一、“問(wèn)題解決”與“解決問(wèn)題”的聯(lián)系與區(qū)別

“問(wèn)題解決”作為數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)，意味著這個(gè)“問(wèn)題”還沒(méi)有解決，是課程教學(xué)所要達(dá)到的目標(biāo)、結(jié)果。而“解決問(wèn)題”，一方面是指數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，這個(gè)“問(wèn)題”將要被解決；另一方面，“解決問(wèn)題”還包含著解決問(wèn)題的方法、過(guò)程。因此，“問(wèn)題解決”與“解決問(wèn)題”，既是課程目標(biāo)與課程內(nèi)容的關(guān)系，又是課程目標(biāo)與解決問(wèn)題方法、過(guò)程的關(guān)系。

“解決問(wèn)題”和“應(yīng)用題”同屬于課程內(nèi)容?！皯?yīng)用題”多數(shù)是以文字形式呈現(xiàn)的，條件和問(wèn)題剛好匹配的題目，學(xué)生解題時(shí)不需要自己去收集信息、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題。部分學(xué)生只根據(jù)個(gè)別關(guān)鍵字詞來(lái)掌握題型，根據(jù)題型套解題公式，學(xué)生善于解決與例題相同的問(wèn)題，不會(huì)解決變式問(wèn)題和生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，更不會(huì)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。

“問(wèn)題解決”不等同于解答應(yīng)用題，比之更為寬泛，價(jià)值取向也發(fā)生了變化。學(xué)生在解題的過(guò)程中，需要從紛繁的生活信息中比較、分析、篩選出有用的信息，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題。解決問(wèn)題的方法不是統(tǒng)一的，有時(shí)答案也不是唯一的。這里提及的問(wèn)題并不是數(shù)學(xué)習(xí)題那類專門為復(fù)習(xí)和訓(xùn)練設(shè)計(jì)的問(wèn)題，也不是僅僅依靠記憶題型和套用公式去解決的問(wèn)題。

二、基于“問(wèn)題解決”課程目標(biāo)下“解決問(wèn)題”的教學(xué)達(dá)成

1.創(chuàng)新形式，呈現(xiàn)問(wèn)題。課程目標(biāo)的變化帶來(lái)了教材內(nèi)容的變化。問(wèn)題融入各知識(shí)領(lǐng)域，獨(dú)立設(shè)置“綜合與應(yīng)用”內(nèi)容領(lǐng)域，北師大版教材把“數(shù)學(xué)與生活”“數(shù)學(xué)與環(huán)境”“數(shù)學(xué)與體育”等引入教材；安排“探索規(guī)律”“解決問(wèn)題策略”專題，蘇教版教材出現(xiàn)了“解決問(wèn)題的策略”“找規(guī)律”，增加思考性選學(xué)材料；人教版教材里有“數(shù)學(xué)廣角”等。教材的變化就意味著教師的教學(xué)也要跟著改變，教師給學(xué)生呈現(xiàn)的問(wèn)題側(cè)重于與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題聯(lián)系密切，非常規(guī)、探究性、開放性的問(wèn)題。要?jiǎng)?chuàng)新問(wèn)題呈現(xiàn)的形式，問(wèn)題要具有開放性、趣味性、挑戰(zhàn)性。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，沒(méi)有現(xiàn)成的類型和解法來(lái)套用，需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，并通過(guò)個(gè)人或小組合作的形式探索和實(shí)踐來(lái)解決，具有挑戰(zhàn)性。（1）問(wèn)題的一般解。（代數(shù)化：如“打電話”中用t表示時(shí)間，n表示人數(shù)，找出n與t的關(guān)系。）（2）探求問(wèn)題的一般解的過(guò)程與小結(jié)。①你是如何尋求一般解的？②解決問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？③問(wèn)題是何種數(shù)學(xué)模型，解決它用到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)，用到了怎樣的思維方法和數(shù)學(xué)方法？（3）問(wèn)題拓展研究。①有沒(méi)有其他解法？如果有，比較不同解法的聯(lián)系與差異。②問(wèn)題推廣：如問(wèn)題中將“每分鐘通知1人”改為“每分鐘通知2人”……相應(yīng)的解。（4）應(yīng)用：類似問(wèn)題，即相同的數(shù)學(xué)模型還有哪些實(shí)際背景？列出相關(guān)問(wèn)題。這里，問(wèn)題能不能解決也許并不那么重要，重要的是學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，完成認(rèn)識(shí)上的兩個(gè)轉(zhuǎn)化。第一個(gè)轉(zhuǎn)化，從紛亂的實(shí)際問(wèn)題中，收集、觀察、比較、篩選有用的信息，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二個(gè)轉(zhuǎn)化是根據(jù)已抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析其中的數(shù)量關(guān)系，列出解決問(wèn)題的算式，求出問(wèn)題的答案。

2.揚(yáng)長(zhǎng)避短，借鑒經(jīng)驗(yàn)。應(yīng)用題教學(xué)的歷史悠久，廣大一線教師和許多專家學(xué)者在實(shí)踐和研究中，對(duì)應(yīng)用題教學(xué)做了大量有益的探索與改革，總結(jié)積累了許多寶貴的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)此，教師應(yīng)有清醒的認(rèn)識(shí)，揚(yáng)長(zhǎng)避短，合理地堅(jiān)持和繼承。傳統(tǒng)應(yīng)用題的審題、分析數(shù)量關(guān)系、制定解題步驟等都是需要借鑒的。教材及問(wèn)題解決呈現(xiàn)形式的變化帶來(lái)了學(xué)生讀審題目的變化。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程都不同程度地體現(xiàn)“問(wèn)題解決”的過(guò)程，應(yīng)用題學(xué)習(xí)是實(shí)現(xiàn)“問(wèn)題解決”目標(biāo)的重要載體。傳統(tǒng)應(yīng)用題中一直被社會(huì)抨擊的—個(gè)練習(xí)：

有一個(gè)水池，打開進(jìn)水管注滿水池要4小時(shí)，打開出水管放完整池水要3小時(shí)，現(xiàn)在同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管，要多少時(shí)間才能把一池水放完？

大家指出此題的種種不是：虛擬情境、資源浪費(fèi)等，從而對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了質(zhì)疑。但是我覺(jué)得練習(xí)和情境只是一個(gè)載體，教學(xué)是要去理解練習(xí)背后的數(shù)學(xué)思維方式。類似上述的情境如：家庭的收入與支出；公共場(chǎng)所人員的進(jìn)場(chǎng)與出場(chǎng)；草場(chǎng)里草的生長(zhǎng)與割去；人體的新陳代謝、社會(huì)人口的增減等，這是一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡的問(wèn)題，難道不值得我們?nèi)パ芯浚拷處熆梢愿鶕?jù)社會(huì)和人類的發(fā)展適當(dāng)?shù)卣{(diào)整練習(xí)的情境，改變“一個(gè)例題一種類型”的“散點(diǎn)式”學(xué)習(xí)，注重從多種情境中抽象概括數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)，形成數(shù)學(xué)模型。教師在進(jìn)行解決問(wèn)題教學(xué)時(shí)，或許答案并不重要，重要的是學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中想到了什么。如“雞兔同籠”問(wèn)題，它只是一個(gè)載體，教師要研究在它們身上附著的東西，那就是數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的思考方法。

3.過(guò)程為體，策略為用。小學(xué)階段重視解題策略的感悟和思想的滲透，是問(wèn)題解決教學(xué)的重要特征，也是超越傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的標(biāo)志。小學(xué)數(shù)學(xué)中常見的策略有：畫圖、列表、列舉、轉(zhuǎn)化（化歸）、假設(shè)等。

例如：在一邊靠水渠處，用籬笆圍成一個(gè)直角梯形菜地（如下圖），已知三面籬笆總長(zhǎng)14米，且每面的籬笆長(zhǎng)都是整米數(shù)。

（1）請(qǐng)?jiān)囍O(shè)計(jì)幾種圍籬笆的方案，并分別求出這塊菜地的面積。（至少寫出三種方案）

（2）籬笆怎樣圍時(shí)這塊菜地的面積最大，最大的面積是多少？

由于問(wèn)題的探索具有開放性和挑戰(zhàn)性，學(xué)生需要猜想與嘗試，逐步找出答案，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用列表的策略進(jìn)行有序思考，可以使得問(wèn)題迎刃而解。

通過(guò)列表嘗試逐步發(fā)現(xiàn)高為7米，上底和下底的和為7米時(shí)，這塊菜地的面積最大，最大面積為24.5平方米。如（7+7）×2=24.5（m）。學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，就會(huì)思考如何有序、不遺漏地計(jì)算出一共多少種不同的方法？學(xué)生在嘗試解決類似問(wèn)題的過(guò)程中，升華了對(duì)策略的感悟。

4.學(xué)會(huì)思考，鼓勵(lì)質(zhì)疑。

新課標(biāo)指出：學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心。培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)不是一朝一夕可以完成的事情，教師要通過(guò)示范、指導(dǎo)、評(píng)價(jià)等多種途徑促進(jìn)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)。

（1）縱向思維，由淺入深。

如，教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，教師可以提出：三角形內(nèi)角和是180°，那么四邊形、n邊形的內(nèi)角和是多少度呢？三角形、四邊形、n邊形的外角和是多少度呢？三角形的內(nèi)角和一定是180°嗎？或許學(xué)生探究不出結(jié)論，但是在學(xué)生心中種下了問(wèn)題的種子?？v向思維體現(xiàn)特殊到一般，由一元到多元、由低維到高維的過(guò)程。

（2）橫向思維，由此及彼。橫向思維體現(xiàn)在由一種數(shù)聯(lián)想到另一種數(shù)、由一種運(yùn)算聯(lián)想另一種運(yùn)算、由一種圖形聯(lián)想到另一種圖形的思維過(guò)程。

例如：數(shù)線段的條數(shù)，學(xué)生掌握了基本的方法?？梢試L試解決下面的問(wèn)題：

然后再讓學(xué)生嘗試解決下面的問(wèn)題：下圖中一共有多少個(gè)角？

（3）逆向思維，因果倒置。逆向思維就是對(duì)結(jié)論進(jìn)行逆向的質(zhì)疑。

如：計(jì)算3個(gè)五角硬幣和5個(gè)一元硬幣的總幣值是多少？可以提出問(wèn)題：6元5角還可以由哪些硬幣組成？

5.積極評(píng)價(jià)，提倡反思。評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，也要重視學(xué)習(xí)的過(guò)程；既要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，也要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中所表現(xiàn)出來(lái)的情感與態(tài)度，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)自我、建立信心。

如：用長(zhǎng)24厘米的細(xì)繩圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為整厘米數(shù)的長(zhǎng)方形，怎樣才能使面積最大？

在評(píng)價(jià)時(shí)可以關(guān)注幾個(gè)不同的層次：（1）能理解題目的意思。（2）能否提出解決問(wèn)題的策略。（3）能否列舉出若干滿足條件的長(zhǎng)方形，并能有序排列。（4）在觀察比較的基礎(chǔ)上能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并能提出猜想。（5）能對(duì)猜測(cè)的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。（6）進(jìn)一步思考：邊長(zhǎng)如果不是整厘米數(shù)情況怎樣？

“問(wèn)題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方面2-，如何更好地進(jìn)行教學(xué)，達(dá)成目標(biāo)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思想方法分析和解決問(wèn)題，是廣大數(shù)學(xué)教師需要共同努力去研究探索的課題。

責(zé)任編輯：徐新亮