等可能性在概率中的運(yùn)用

何玉林

概率論是用數(shù)字刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)學(xué)分支，它探討隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，為人們認(rèn)識(shí)世界提供了重要的模式和方法?！?6選7”是確定體育彩票中間號(hào)碼時(shí)所采用的一種常規(guī)方法，是古典概型的一個(gè)典型例子；飛鏢的命中率是幾何概型的一個(gè)典型例子。這兩種概型都有一個(gè)共同的特點(diǎn)：基本事件的發(fā)生都是等可能性的。比如，投資者在買進(jìn)某種股票時(shí)，投資有增值和減值兩種可能，這里不具備任何等可能性的特征。在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生由于忽視事件發(fā)生的等可能性，導(dǎo)致概率的學(xué)習(xí)存在不少的問題。

一、古典概型中的等可能性

古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，古典概型在概率論中只有相當(dāng)重要的地位，是學(xué)習(xí)概率必不可少的內(nèi)容。它有兩個(gè)特征：（1）試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。一個(gè)模型只有滿足這兩個(gè)特征時(shí)，才能用隨機(jī)事件的概率公式。

例1 同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，計(jì)算向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是多少？

錯(cuò)解1 投擲出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和一共有11種可能，分別為2，3，4，…，12，因此點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為111。

剖析 如果我們以投擲出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)作為考察對(duì)象，則基本事件一共有11種可能，但是這里的每一種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)不是均等的，如2出現(xiàn)1次，5出現(xiàn)4次，而7出現(xiàn)6次，因而以點(diǎn)數(shù)之和作為考察對(duì)象，它不是等可能行事件。

錯(cuò)解2 所有可能的結(jié)果有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，6）共21種，和是7的結(jié)果有3個(gè)，它們是（1，6），（2，5），（3，4），所求概率為321=17。

剖析 錯(cuò)解中給出的21種基本事件不是等可能性發(fā)生的，需要對(duì)其進(jìn)行編號(hào)，如果不標(biāo)上記號(hào)，類似于（1，2）和（2，1）是沒有區(qū)別的。

正解 以兩次投擲分別出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)作為考察對(duì)象，則基本事件由有序數(shù)對(duì)（m，n）組成，共有36種可能，它們的出現(xiàn)是等可能的。事件向上的點(diǎn)數(shù)之和是7 一共包含了（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）這6種基本事件，因此向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率為636=16。

點(diǎn)評(píng) 古典概型求基本事件時(shí)，一定要從等可能性入手，對(duì)照基本事件的含義和特征進(jìn)行思考，并將所有可能的基本事件一一列舉出來。同時(shí)，一次實(shí)驗(yàn)中的“可能結(jié)果”實(shí)際是針對(duì)特定的觀察角度而言的。例如，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)站成一排，求甲站在兩端的概率。若從四名同學(xué)的站位來看，共有4×3×2×1=24種結(jié)果，而甲站在兩端一共有12種結(jié)果，因此概率為12；若僅從甲的站位看，則結(jié)果只有四種，甲站在“1號(hào)位”，“2號(hào)位”，“3號(hào)位”，“4號(hào)位”四種結(jié)果，甲在兩端有2種結(jié)果，因此概率為12。

二、幾何概型中的等可能性

幾何概型也是一種概率模型，在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，不同的試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè)，即基本事件有無限個(gè)；在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件是等可能的。它的特點(diǎn)是試驗(yàn)結(jié)果在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機(jī)事件概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀，位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān)。如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度，面積，體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件。

例2 在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

錯(cuò)解 記“AM

剖析 顯然，點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，但并不是等可能的，射線CM在∠ACB內(nèi)才是等可能分布的，因此需要從角度分析。若將題目條件改為在斜邊上AB任取一點(diǎn)M，點(diǎn)M地落在線段AB才是等可能的，上述解法才是正確的。

正解 射線 CM在∠ACB內(nèi)才是等可能分布的，在線段AB上截取AE=AC，連接CE，則∠ACE=675°，記“AM

變式 在等腰直角三角形△ABC中，C為直角頂點(diǎn)，在三角形內(nèi)取點(diǎn)N，連CN交AB于點(diǎn)M，求AM

剖析 點(diǎn)N隨機(jī)落在直角三角形△ABC中，并且點(diǎn)N等可能的落在直角三角形ABC中，記“AM

點(diǎn)評(píng) 上述問題都是求AM

反思 求與長(zhǎng)度（角度）有關(guān)的幾何概型的概率，首先，確認(rèn)是否符合幾何概型的特點(diǎn)。其次，把題中所表示的幾何概型轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度（角度），然后求解，要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同。求與面積有關(guān)的幾何概型的概率，首先確定所求事件構(gòu)成的區(qū)域圖形，判斷是否為幾何概型，其次分別求出Ω和所求事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，用幾何概型的概率公式求解。