巧設參數(shù)解幾何題

張佳

[摘要]參數(shù)在幾何中是比較活躍的元素，特別是在解析幾何中。針對一些常見幾何命題，本文從引入?yún)?shù)的具體途徑入手，分類闡述了設參的策略與技巧。

[關鍵詞]巧設參數(shù)；同一參數(shù)；條件參數(shù)

本文的主要設參思想就是利用參數(shù)刻畫過程的變化狀態(tài)，以參數(shù)為媒介揭示變量之間的內在聯(lián)系，并以此來研究事物的變化規(guī)律。

一、同一參數(shù)

這類參數(shù)一般為斜率k、傾斜角θ、 定比λ。動直線過已知定點，并且不涉及動點與定點的距離時，一般選k為參數(shù)，通過k與已知定點來求出相關直線的方程，在根據(jù)條件求出動直線上動點的軌跡。

例 如圖，設點A和B為拋物線y2=4px（p>0）上原點以外的兩動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求點M的軌跡方程。

解 設直線OA的方程為y=kx，則直線OB

的方程為y=-1kx1。

設點M的坐標為（x，y），解方程組

y2=4px，y=kx。

得A點坐標為4pk2，4pk。

同理可得B點坐標為（4pk2，-4pk）。

因為A，B，M三點共線，所以4pk+4pk4pk2-4pk2=y+4pkx-4pk2。

整理，得1k-ky +4p=x。（1）

又OM⊥AB，所以4pk+4pk4pk2-4pk2·yx=-1。

整理，得k-1k=-yx。（2）

將（2）代入（1）并整理即得點M得軌跡方程為x2+y2-4px=0（x≠0）

若動點恒隨又定長之動線段的運動而運動，這里的動線段過一定點時，則一般選線段的傾斜角θ 作參數(shù)，利用邊角關系，引出線間的關系，然后通過給定的條件來消參，得出動點的軌跡。

二、條件參數(shù)

在立體幾何中，往往會遇到許多求幾何體定性規(guī)律的題目，這就需要增設一些“條件參數(shù)”來幫助解題。把問題的制約條件作為參數(shù)來引入，這是一種很有效的解題策略。因為制約變量的大小是所求問題的關鍵，通過問題的轄制條件自然可以得到解決問題的入口。

例 在正四棱錐P—ABCD中，已知一對角面與側面的面積之比為6∶2，求一側面與底面的夾角 。

分析 設底面對角線AC，BD的交點為O，

連接PO，則PO⊥平面ABCD。作OE⊥CD與E，

連接PE，則PE⊥CD，∠PEO為側面PCD與底面

ABCD的夾角，

因為正四棱錐P—ABCD的形狀大小是制約∠PEO

的條件，而BC=a，PO=h。又是制約正四棱錐P—ABCD的形狀大小的條件，

所以BC=a，PO=h，又是制約∠PEO的條件，a，h就是根據(jù)制約∠PEO的條件而確定的條件參數(shù)

解 因為在△PBD中，BD=2a，高PO=h。

所以S△PBD=2ah2。

又由于在Rt△PCD中CD=a，PO=h。

PE=4h2+a22，即S△PCD=a4h2+a24。

因為 S△PBDS△PCD=2ah2a4h2+a24=62，故2h=3a。

由tg∠PEO=POOE=h12a=2ha=3aa=3。

因此∠PEO=π3。

由此可看出應用參數(shù)思想解立體幾何題，其關鍵就在與根據(jù)求解對象的制約因素恰當?shù)倪x擇最為有力的條件參數(shù)。

綜上所述，在利用參數(shù)解一些幾何題的過程中，雖然題目的類型是多樣的，但是設參的目的卻只有一個。那就是將未知轉化為已知，通過參數(shù)來溝通變量之間的內在聯(lián)系，也就是說，通過分析來引出“巧”。這種思維方法不僅有助于開拓思路，而且可以培養(yǎng)探索精神。這是數(shù)學素質教育中不可缺少的。