分段函數(shù)在分段點求導的討論

薛秋

[摘要]分段函數(shù)在分段點的求導問題，現(xiàn)行的電大教材中很少提及，為了幫助電大學生了解這部分內(nèi)容，本文就此談談相關(guān)內(nèi)容。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學；分段點；導數(shù)

在高等數(shù)學中，分段函數(shù)是經(jīng)常遇到的函數(shù)，面對分段函數(shù)在分段點的導數(shù)，現(xiàn)行電大教材中很少提及。為了拓寬電大學生的視野，從而進一步提高電大學生分析問題與解決問題的能力，本文就分段函數(shù)在分段點的求導問題作一些粗淺的討論。

一、利用導數(shù)的定義求導

方法：若f（x）在點x0處連續(xù)，且利用導數(shù)定義可以求出f′+（x0）及f′-（x0）（或直接求出f′（x0）），此時如果f′+（x0）=f′-（x0），則f（x）在點x0處可導，且f′（x0）=limx→x0f（x）-f（x0）x-x0。

例1 設(shè)f（x）=1-x，x≤0，e-x，x>0，求f′（0）。

解 因f（x）在點x=0處連續(xù)，且由導數(shù)定義可以求出：

f′+（0）=limx→0+f（x）-f（0）x-0=limx→0+e-x-1x=-limx→0+e-x=-1，

f′-（0）=limx→0-f（x）-f（0）x-0=limx→0-（1-x）-1x=-1，

因f′+（0）=f′-（0）=-1，所以f′（0）=-1。

二、利用導數(shù)極限法求導

方法一：利用以下定理：

定理 若f（x）在[x0，x0+δ]上連續(xù)，在（x0，x0+δ）內(nèi)可導，且limx→x+0f′（x）存在，則f′+（x0）=limx→x+0f（x）。

方法二：利用以下推論：

推論 設(shè)f（x）在點x0處連續(xù)，在點x0處的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導，且limx→x0f′（x）存在，則f′（x0）=limx→x0f′（x）。

在導數(shù)極限法中，當limx→x+0f′（x）=∞，limx→x-0f′（x）=∞，limx→x0f′（x）=∞時，定理及推論的結(jié)論依然成立。

導數(shù)極限法表明，對于分段函數(shù)在分段點的某一δ領(lǐng)域內(nèi)連接，去心δ領(lǐng)域內(nèi)可導，則如果分段函數(shù)在分段點一側(cè)的導數(shù)極限存在時，可用定理求出單側(cè)導數(shù)，而不需要用導數(shù)的定義求出單側(cè)導數(shù)；如果分段函數(shù)在分段點兩側(cè)的導數(shù)極限存在時，可用定理求出雙側(cè)導數(shù)，而不需要用導數(shù)的定義求出雙側(cè)導數(shù)；如果分段函數(shù)在分段點兩側(cè)的導數(shù)極限存在且相等時，則由推論可得f′（x0）=limx→x0f′（x）。

在通常情況下，分段函數(shù)在分段點兩側(cè)的導數(shù)是比較容易求出的，因此用導數(shù)極限法求分段點的導數(shù)比直接用導數(shù)的定義求分段點的導數(shù)方便的多。

例2 設(shè)f（x）=x2，x≤1，2x-1，x>1，求f′（1）。

解 因f（x）在點x=1處連續(xù)，且f′（1）=2x，x<1，2，x>1。

而limx→1+f′（x）=limx→1+2=2，limx→1-f′（x）=limx→1-2x=2。

由導數(shù)極限法可得，

f′+（1）=limx→1+f′（x）=2，

f′-（1）=limx→1-f′（x）=2，

故f′（1）=2。

例3 設(shè)f（x）=e-1x2，x≠0，0，x=0，求f′（0）。

解 因f（x）在點x=0處連續(xù)，且

limx→0f′（x）=limx→0e-1x2·（2x-3）=0，

由導數(shù)極限法可得： f′（0）=limx→0f′（x）=0。

[參考文獻]

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