導數(shù)和積分綜合應用的一個例析

楊明珠

例 求函數(shù)y=x3-x2-x+1與x軸所圍或圖形的面積。

解析 （1）作函數(shù)f（x）=x3―x2―x+1的圖形，

f′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），

f″（x）=6x-2=2（3x-1）。

令f′（x）=0，得x=-1[]3和x=1。

令f″（x）=0，得x=1[]3。

x-1，-1[]3

-1[]3

-1[]3，1[]3

1[]3

1[]3，1[]1[]

（1，+∞）

f′（x）

+

0

-

-

-

0

+

f″（x）

-

-

-

0

+

+

+

極大

拐點

極小

當x→+∞時 y→+∞ 當x→-∞ y→-∞

得f-1[]3=32[]27，f1[]3=16[]27，f（1）=0。

從而得函數(shù)y=x3―x2―x+1圖形上的三個點

-1[]3，32[]27，1[]3，16[]27，（1，0）。

畫出函數(shù)y=x3―x2―x+1的圖形如下：

（2）求函數(shù)y=x3―x2―x+1與x軸所圍圖形的面積

S=∫1-1（x3-x2-x+1）dx

=∫1-1x3dx-∫1-1x2dx-∫1-1xdx+∫1-1dx

=-2∫10x2dx+∫1-1dx=-2[]3+2=4[]3。

[參考文獻]

[1]同濟大學數(shù)學系。高等數(shù)學[M]。北京：高等教育出版社，2014。7。

[2]吳贛昌。微積分[M]。北京：中國人民大學出版社，2011。4。