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    說說表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

    2016-05-14 13:56田載今
    關(guān)鍵詞:式子實(shí)數(shù)數(shù)軸

    田載今

    前面我們學(xué)到過等式(包括方程),知道它可以表示實(shí)際問題中的相等關(guān)系,現(xiàn)在我們又學(xué)到不等式,知道它可以表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系,那么我們究竟該怎樣認(rèn)識(shí)不等關(guān)系和不等式呢?

    1.不等關(guān)系,

    從一堆蘋果中隨意取出兩個(gè)分別稱重,有三可能情形:第一個(gè)蘋果比第二個(gè)蘋果重,兩個(gè)蘋果一樣重,第一個(gè)蘋果比第二個(gè)蘋果輕,三種可能情形中必有且僅有一種發(fā)生,推而廣之,任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,必有且僅有下列三種可能情形中的一種發(fā)生:(1)a大于b,記作a>b(或ba),這里的“大于”“等于”“小于”是三種不同的關(guān)于數(shù)量的大小關(guān)系,其中“大于”和“小于”屬于小等關(guān)系。

    不等關(guān)系在客觀事物的數(shù)量比較中普遍存存,例如,度量任一個(gè)三角形的邊長,其中任意兩邊之和一定大于第三邊,任意兩邊之差一定小于第三邊。

    符號(hào)“>”和“<”分別表示“大于”關(guān)系和“小于”關(guān)系,它們的開口一側(cè)對(duì)著較大的數(shù),尖頭一側(cè)對(duì)著較小的數(shù),由開口到尖頭表示由大到小,這是人們創(chuàng)造此類符號(hào)的初衷,符號(hào)“≠”僅表示“不相等”關(guān)系,而不指明誰大誰小,a≠b表示a>b或ab或單獨(dú)的ab或a”“<”“≠”“≥”“≤”統(tǒng)稱不等號(hào)。

    2.不等式,

    等式(包括方程)是用等號(hào)表示相等關(guān)系的式子,如l+2=3,3x+2=5,不等式是用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子,如2<3,5x+l>16,作為表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,不等式是解決許多問題的重要工具。

    對(duì)于含未知數(shù)的不等式,能使不等式中的不等關(guān)系成立的未知數(shù)的值,叫作不等式的解,一個(gè)不等式的解通常有許多個(gè),例如,任意一個(gè)比l大的數(shù)都是不等式x+l>2的解,任意一個(gè)比1小的數(shù)都是不等式X+l<2的解,一個(gè)不等式的全部解組成這個(gè)不等式的解集,例如,不等式x+l>2的解集為x>1,不等式x+l<2的解集為x<1,可以看出,不等式的解集即不等式中未知數(shù)的取值范圍。

    解不等式是求不等式的解集,含有一個(gè)未知數(shù)的不等式的解集,可以在數(shù)軸上直觀地表示出來,例如,圖1和圖2分別表示不等式x+l>2和x+l<2的解集,

    3.不等式的性質(zhì),

    要解不等式,需要先掌握不等式的性質(zhì),因?yàn)椴坏仁降男再|(zhì)是解不等式的依據(jù),不等式的性質(zhì)可歸納為以下三條:

    (1)不等式兩邊加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變,也可表述為:若a>b,則a±c>b±c。

    (2)不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,也可表述為:若a>b,

    運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要特別注意:在不等式兩邊進(jìn)行乘除法運(yùn)算,要注意乘數(shù)或除數(shù)的正負(fù)。并由此確定不等號(hào)的方向,可以結(jié)合特例來加深印象:2>1顯然成立,則2×2>1×2(即4>2)和2×(-2)<1×(一2)(即-4<-2)都成立,

    4.一元一次不等式,

    只含一個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式形式的不等式,叫作一元一次不等式,它不同于一元一次方程的地方在于式子中有不等號(hào)而無等號(hào),解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟大體一樣,但有兩點(diǎn)需要注意:第一,不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù)時(shí),要根據(jù)這個(gè)數(shù)的正負(fù)考慮不等號(hào)的方向;第二,解不等式的結(jié)果是得到未知數(shù)的取值范圍,而不是一個(gè)確定的值。

    聯(lián)系起來,同學(xué)們會(huì)對(duì)兩個(gè)求解過程的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)有很清楚的認(rèn)識(shí),

    利用一元一次不等式解決實(shí)際問題的過程與利用一元一次方程解決實(shí)際問題的過程也十分相似,不同之處在于列方程要依據(jù)豐H等關(guān)系,而列不等式要依據(jù)不等關(guān)系,因此在利用一元一次不等式解決實(shí)際問題時(shí),一定要分析出相關(guān)的兩個(gè)量誰大誰小。并正確地用不等號(hào)把表示這兩個(gè)量的式子連接起來,這樣就能把實(shí)際問題中的不等關(guān)系用不等式表示出來,從而得到解決問題的數(shù)學(xué)模型,

    5.一元一次不等式組,

    如果問題中的某個(gè)量同時(shí)滿足幾個(gè)不等關(guān)系,那么這個(gè)量就應(yīng)同時(shí)滿足幾個(gè)不等式,這幾個(gè)不等式組成一個(gè)不等式組,其中各個(gè)不等式的解集的公共部分就是這個(gè)量的取值范圍,例如,現(xiàn)有兩根長度分別為4cm和6cm的小棍,要再找一根小棍,將它們首尾順次相接擺成一個(gè)三角形。則這根小棍的長度既要大于另兩根小棍的長度之差,又要小于另兩根小棍的長度之和,如果設(shè)這根小棍的長度為xcm,則可用數(shù)學(xué)形式表示為不

    解由幾個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的方法,是“先各個(gè)擊破,再取其交集”,即先分別解每個(gè)不等式,再找出各個(gè)解集的公共部分,以此作為不等式組的解集,例如,解得到它們的解集分別是x>2和x<10,再取這兩個(gè)解集的公共部分,得到2

    因?yàn)槊總€(gè)二元一次不等式的解集都可以在數(shù)軸上直觀地表示出來,所以利用數(shù)軸可以直觀地發(fā)現(xiàn)各個(gè)解集的公共部分,如圖4。將x>2和x<10表示在同一條數(shù)軸上,它們的公共部分2

    解由三個(gè)或更多個(gè)一元一次不等式組成的不等式組,所用的方法仍是“先各個(gè)擊破,再取其交集”,只是要解的不等式更多些,找各個(gè)不等式的解集的公共部分時(shí)更復(fù)雜些而已。

    不等式組是表示多個(gè)同時(shí)存在的不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,并非每個(gè)不等式組都有解集,如果一個(gè)不等式組中各個(gè)不等式的解集不存在公共部分。則這個(gè)不等式組無解,例

    等式(包括方程)是研究相等關(guān)系的重要工具,而不等式則是研究不等關(guān)系的重要工具,同學(xué)們掌握了不等式的有關(guān)知識(shí)后,就可以更好地分析和解決含不等關(guān)系的問題,方程(組)與不等式(組)之間既有差別,又有聯(lián)系,對(duì)它們加以比較。既有助于溫故知新。又能更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

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