高效課堂中數(shù)學(xué)的顏值擔(dān)當(dāng)——類比教學(xué)

李一華

在新課程改革中，2-2設(shè)計(jì)了推理內(nèi)容，通過教學(xué)實(shí)踐，體會(huì)類比作為一種非常多見的數(shù)學(xué)合情推理方法，具有推測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用。在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比，不僅能突出問題的本質(zhì)，提高教學(xué)效率，而且還有助于培養(yǎng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)等思維品質(zhì)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思想方法的應(yīng)用，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力。

一、用好概念性質(zhì)類比，提高教學(xué)效率

啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生通過類比、推廣、特殊化、猜想、歸納等常用的數(shù)學(xué)方法，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)形式或數(shù)學(xué)數(shù)值特征上的相似或相同而構(gòu)造問題。類比的特性是：兩個(gè)對(duì)象的某些屬性上相同的，形式上看無共同之處，在應(yīng)用類比概念、性質(zhì)時(shí)，絕不是簡單地復(fù)制和重復(fù)，而是包含思維活動(dòng)的有創(chuàng)造性的猜想。

在函數(shù)性質(zhì)的討論中，通過指對(duì)函數(shù)的類比，定義域、值域的對(duì)調(diào)，指對(duì)函數(shù)互為反函數(shù)的特點(diǎn)，進(jìn)行類比。在單調(diào)性性質(zhì)的討論中，讓學(xué)生深刻體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的息息相通，環(huán)環(huán)相扣。通過類比性質(zhì)，提高教學(xué)效率。從學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際出發(fā)，不斷挖掘和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。數(shù)學(xué)中以類比的思考方式，讓學(xué)生主動(dòng)積極地參與教學(xué)活動(dòng)，不是生硬地講授和填壓。如，引導(dǎo)學(xué)生理解指對(duì)函數(shù)圖像變化規(guī)律，對(duì)題型進(jìn)行對(duì)比，從而促使學(xué)生充分地展開思維，為學(xué)生的認(rèn)知搭建腳手架，使學(xué)生學(xué)習(xí)過程中保持高水平的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是變魔術(shù)，變戲法，而是水到渠成的思考順序，從而在教學(xué)中少走彎路，提高教學(xué)效益。

二、通過易混性質(zhì)的類比，減少學(xué)習(xí)負(fù)遷移

實(shí)數(shù)和向量的性質(zhì)對(duì)于初學(xué)者學(xué)生易混易錯(cuò)。實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和向量的模長作正反對(duì)比。實(shí)數(shù)的結(jié)合律和向量的結(jié)合律，實(shí)數(shù)的非零消項(xiàng)和向量中非零向量的消項(xiàng)作正反對(duì)比。哲學(xué)家康德指出：“每當(dāng)理智缺乏可靠認(rèn)證的思路時(shí)，類比這種方法指引我們前進(jìn)，防止學(xué)生新舊知識(shí)的類比中出現(xiàn)負(fù)遷移。

在教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生把不同事物聯(lián)系起來，發(fā)現(xiàn)兩者之間的相似性，不能簡單粗糙地用實(shí)數(shù)的性質(zhì)來推測(cè)另一事物向量的性質(zhì)，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的類比推理，不只局限于接受、記憶、模仿和練習(xí)。在類比推理中，學(xué)生分小組活動(dòng)，教學(xué)實(shí)踐中不斷指導(dǎo)小組自主探索，生生互動(dòng)，生生修正，去偽存真。學(xué)生經(jīng)歷探索類比的過程，體驗(yàn)成功的類比學(xué)習(xí)過程，小組之間把易混問題互相修正，凸顯了學(xué)習(xí)過程中的正遷移。

三、通過結(jié)構(gòu)類比，修正學(xué)習(xí)愚蠢

解析幾何在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的地位，近幾年高考數(shù)學(xué)試卷都有恰如其分的體現(xiàn)。解析幾何題大多思維多于計(jì)算，解題時(shí)應(yīng)立足新穎，不落俗套。用好類比方法處理解析幾何問題，能有效地區(qū)分不同性質(zhì)的問題，如，討論圓錐曲線內(nèi)在聯(lián)系和外在特征的差異，為達(dá)到考綱要求掌握類比、化歸等數(shù)學(xué)思想打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，提高思維層次，進(jìn)而提高解析幾何的分值。可以預(yù)測(cè)，從今后的高考趨勢(shì)看，類比思想還會(huì)以不同程度得到考查。高考越來越重視學(xué)生分析問題、解析問題的能力。

（1）已知橢圓=1（a>b>0）

（?。㏄為橢圓上一點(diǎn)，M，N為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求證：kPM·kPN=定值；

（ⅱ）P為橢圓上一點(diǎn)，M，N為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求證：kPM·kPN=定值；

（ⅲ）AB為橢圓的弦，AB中點(diǎn)為P，求證：kAB·kOP=定值。

（2）已知雙曲線=1（a>0，b>0）

（?。㏄為雙曲線上一點(diǎn)，M，N為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩

點(diǎn)，求證：kPM·kPN=定值；

（ⅱ）P為雙曲線上一點(diǎn)，M，N為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求證：kPM·kPN=定值；

（ⅲ）AB為雙曲線的弦，AB中點(diǎn)為P，求證：kAB·kOP=定值。

（3）已知圓x2+y2=r2

（?。㏄為圓上一點(diǎn)，M，N為圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求證：kPM·kPN=定值；

（ⅱ）P為圓上一點(diǎn)，M，N為x軸的兩個(gè)端點(diǎn)，求證：kPM·kPN=定值。

通過圓錐曲線方程形式上的共同點(diǎn)的聯(lián)想對(duì)比，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力，（2）題（?。┦堑囊环N特殊情況。長軸兩個(gè)端點(diǎn)仍是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)。而（2）與（1）類比，通過分析比較圓錐曲線（含圓）三題，從而使學(xué)生知識(shí)前后聯(lián)系形成系統(tǒng)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.（1）題中（ⅱ）的結(jié)論kPM·kPN=-=e2-1。圓是橢圓的特例，在圓中e=0。所以（3）中（ⅱ）kPM·kPN=-1，恰說明PM⊥PN。

學(xué)習(xí)中運(yùn)用類比思想，就是把一個(gè)對(duì)象的知識(shí)屬性遷移到另一個(gè)對(duì)象上.從而獲得后一個(gè)對(duì)象的屬性，類比思想是一種重要的思維方法。在解題過程中，若能根據(jù)題設(shè)條件充分利用，全方面多角度去思考問題，一定能幫我們確定解題策略，啟示解題途徑，有效地減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

類比思想在處理圓錐曲線問題時(shí)，求同存異，往往只看到“同”，而忽視“異”，照搬照抄，修正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的愚蠢。

類比是一種建立在相似思維基礎(chǔ)上的一種思維方法，所以，相似思維是類比思維的前提條件。重視培養(yǎng)學(xué)生的類比推理和歸納推理，不僅能幫助他們建構(gòu)穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且能修正學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愚蠢，提高教學(xué)效率。所以說，類比推理是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的顏值擔(dān)當(dāng)，一點(diǎn)都不為過。