“雞兔同籠”教學(xué)建議與反思

吳菊蓮

“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)趣題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。人教版實驗教材安排在小學(xué)六年級上冊第七單元“數(shù)學(xué)廣角”；改版后安排在四年級下冊第九單元“數(shù)學(xué)廣角”中，增加了教師教學(xué)的挑戰(zhàn)性。我原來也聽過幾次這一內(nèi)容（六年級）的教學(xué)，但總覺得缺點什么。于是，我決定挑戰(zhàn)一下，在本學(xué)期學(xué)校舉行的優(yōu)質(zhì)課賽中就上《雞兔同籠》。我查閱資料，網(wǎng)絡(luò)上查看教學(xué)設(shè)計和教學(xué)視頻，想取長補(bǔ)短，尋找符合小學(xué)四年級學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和教學(xué)方法?！爱?dāng)轉(zhuǎn)化、猜想、列舉、畫圖、假設(shè)、建模、代數(shù)、抬腳”等多種數(shù)學(xué)思想方法同時作用于“雞兔同籠”問題中時，它們之間必然存在相互關(guān)聯(lián)之處。轉(zhuǎn)化是解決“雞兔同籠”問題中的基礎(chǔ)性的思想方法，不可缺少；猜測、列舉、畫圖、抬腳是解決“雞兔同籠”問題中的頗有局限性的思想方法，雖然能夠為假設(shè)做好了鋪墊或延伸，但會受到數(shù)目大小或奇偶性的限制，不能廣泛運用；真正能夠適應(yīng)于此類問題的無疑還是假設(shè)和代數(shù)的思想方法。在此，我把我的教學(xué)收獲與大家分享。

一、大膽前置問題情境，提高問題的“知名度”

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程設(shè)置中強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，在學(xué)習(xí)過程中盡可能多地為學(xué)生提供探索和交流的空間，鼓勵學(xué)生自主探索與合作交流。我課前設(shè)計一份比較開放的預(yù)習(xí)單，讓學(xué)生通過查閱資料、借助網(wǎng)絡(luò)信息了解“雞兔同籠”問題的解決方法，讓學(xué)生初步感知“雞兔同籠”問題情境，投人到尋求解決問題方法的實踐活動中去，大膽利用猜測、畫圖、列表等方法來揭示問題情境。

課堂上，我抓住學(xué)生的好勝心理讓他們把預(yù)習(xí)時知道的解題思路、方法在小組內(nèi)進(jìn)行交流展示，小組內(nèi)方法互補(bǔ)、相互借鑒，選出代表向全班進(jìn)行匯報展示。生動有趣的數(shù)學(xué)問題情境，在學(xué)生愉快的探索、交流、展示中帶來了樂趣，使學(xué)生處于一種良好的愉悅的氛圍中，調(diào)動了學(xué)生探究問題的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、放手經(jīng)歷問題情境，提高問題的“形成性”

從課前預(yù)習(xí)到課堂上的小組討論交流展示，學(xué)生已經(jīng)把自己置身于解決問題的過程中。有的小組展示畫圖法，有的小組交流總結(jié)猜測的過程，有的小組展示列表法，有的小組介紹假設(shè)法，展示十分精彩。學(xué)生之所以能大膽地展示自己，一方面是我給學(xué)生提供了一個自學(xué)、合作的空間，學(xué)生在探究、交流、展示的過程中都有收獲。中等生可以結(jié)合自己的理解和對書本的理解學(xué)會屬于自己的解題方法；優(yōu)生不滿足一種方法，追尋方法的多樣性，就這樣，一批“領(lǐng)袖兒童”顯現(xiàn)出來，引領(lǐng)整個班級快速前進(jìn)；而少部分理解稍有困難的學(xué)生也能夠在交流討論、傾聽的過程中感悟解決“雞兔同籠”問題的奇妙。另一方面給每個學(xué)生都提供一個展示的舞臺，在交流中相互取長補(bǔ)短，吸取別人先進(jìn)的、簡便易懂的解題方法，將不夠明白的問題弄明白。所以每個學(xué)生都能充滿自信，認(rèn)真地講解自己的做法以及思路，我想這一類題目對于孩子們來說是永久的記憶。

三、問題情境游戲化，提高問題的“模型化”

學(xué)生在交流、補(bǔ)充、相互評價的過程中，通過猜測、列舉、畫圖解決“雞兔同籠”問題時，也會受到數(shù)目大小的影響。我先引導(dǎo)學(xué)生觀察對比，優(yōu)化方法，把用假設(shè)法解決“雞兔同籠”的優(yōu)越性彰顯出來，再指導(dǎo)學(xué)生用假設(shè)法解決問題，建立模型。

方法一：假設(shè)全部都是雞。每只雞2只腳8×2=16（只腳）（共有16只腳數(shù)，也就是雞兔總腳數(shù)），但實際有26只腳。26-16=10（只腳），現(xiàn)在腳數(shù)比實際的少10只腳，少了的10只腳應(yīng)該是誰的？（兔子的）為什么？插入游戲：8名學(xué)生上場，3人扮演雞，2只腳著地；5人扮演兔子，4只手腳著地。提問：現(xiàn)在有幾個頭？幾只腳？（8個頭，26只腳）聽口令：全體兔子抬起兩條前腿，立正站好（全班哄堂大笑），但學(xué)生在笑的同時，已經(jīng)觀察到兔子統(tǒng)統(tǒng)抬起2只腳，減少的是兔腳（一只兔減少2只腳，共減少10只腳）。一只雞比一只兔少2只腳：4-2=2（只腳）；那么10只腳是多少只兔子減少的？10÷2=5（只兔）。兔子求出來了是5只，雞的只數(shù)很容易就算出了：8-5=3（只雞）。師生邊觀察邊總結(jié)記錄計算過程：

假設(shè)全部都是雞

（1）共有多少只腳？8×2=16（只腳）

（2）比實際少多少只腳？

26-16=10（只腳）（減少的是兔腳）

（3）一只雞比一只兔少多少只腳？4-2=2（只腳）

（4）有多少只兔？10÷2=5（只兔）

（5）有多少只雞？8-5=3（只雞）

方法二：假設(shè)全部都是兔。每只兔4只腳8×4=32（只腳）（共有32只腳，也就是雞兔總腳數(shù)），但是實際只有26只腳。32-26=6（只腳），現(xiàn)在腳數(shù)比實際的多6只，這6只腳應(yīng)該是誰多出的？（雞的）為什么？插入游戲：8.g學(xué)生上場，3人扮演雞，2只腳著地；5人扮演兔子，4只手腳著地。提問：現(xiàn)在有幾個頭？幾只腳？（8個頭，26只腳）聽口令：全體雞放下兩只翅膀（學(xué)生雙手也著地），變成兔子（全班學(xué)生再次笑了），學(xué)生在笑的同時，已經(jīng)觀察到雞變成兔子后，多出來的是雞腳（一只雞多出2只腳，共多出6只腳）。一只兔比一只雞多2只腳：4-2=2（只腳）；那么6只腳是多少只雞多出的？6÷2=3（只雞）。雞求出來是3只，兔的只數(shù)也很容易就算出了：8-3=5（只兔）。師生邊觀察理解邊總結(jié)記錄計算過程：

假設(shè)全部都是兔

（1）共有多少只腳？8×4=32（只腳）

（2）比實際多多少只腳？

32-26=6（只腳）（多出的是雞腳）

（3）一只兔比一只雞多多少只腳？4-2=2（只腳）

（4）有多少只雞？6÷2=3（只雞）

（5）有多少只兔？8-3=5（只兔）

兩種不同的假設(shè)方法出來后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比、發(fā)現(xiàn)它們的異同，重在理解多出（或減少）的腳是誰多出（或減少）的？先求出來的是雞還是兔？我在課中設(shè)計這個游戲，主要目的就是把學(xué)生的注意力吸引過來，積極主動地參與學(xué)習(xí)，在參與游戲的過程中學(xué)習(xí)并理解了用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題的方法及思路，有效地降低了新課教學(xué)的難度。

四、問題情境生活化。提高問題的“應(yīng)用度”

在學(xué)生掌握了兩種不同假設(shè)方法解題的思路后，我告訴他們，在生活中，雞兔同籠的現(xiàn)象很少碰到，沒見過有人把雞和兔放在一個籠子里，即使放在一個籠子里又有誰會去數(shù)它們的腳呢？直接數(shù)頭不就行了？那是不是說“雞兔同籠”問題是一個沒有價值的數(shù)學(xué)問題呢？顯然不是，“雞兔同籠”問題，是讓我們通過雞兔腿數(shù)的變化，在這種變化中尋找不變的規(guī)律，并采用有效的手段來理解數(shù)學(xué)問題的過程。該類問題在我們的生活中經(jīng)常遇到：如龜鶴問題（龜相當(dāng)于兔，鶴相當(dāng)于雞）、民謠中的人狗問題（狗相當(dāng)于“兔”，人相當(dāng)于“雞”）、生活中的租船問題（大船相當(dāng)于“兔”，小船相當(dāng)于“雞”）、知識競賽搶答計分（答對加分相當(dāng)于“兔”，答錯扣分相當(dāng)于“雞”，此類題的關(guān)鍵是弄清答對和答錯的相差分?jǐn)?shù)）等。明確了“雞兔同籠”在生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生尋找生活中的“雞兔同籠”問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活味和應(yīng)用價值。最終讓學(xué)生感受“雞兔同籠”問題的學(xué)習(xí)，貴在學(xué)習(xí)一種假設(shè)推理的思想方法，貴在用來解決生活中類似于“雞兔同籠”的變式問題，拓寬了對“雞兔同籠”問題的認(rèn)識，構(gòu)建了該類問題的數(shù)學(xué)模型，形成了知識的遷移。