基于拉斷的M ohr–Coulomb破壞準則的鋼筋混凝土框架柱倒塌失效模式研究1)

吳楷文 羅嗣海, 周旭光 查支祥

?(江西理工大學土木與測繪工程學院，江西贛州341000)

?(浙江省二建建設集團有限公司，浙江寧波315000)

??(浙大寧波理工學院土木建筑工程學院，浙江寧波315000)

嚴重的地震作用可以導致結構構件強度、剛度的退化并引發(fā)部分或整體的倒塌[1]。鋼筋混凝土(reinforced concrete,RC)框架結構中的柱，尤其是底層柱作為結構中最重要的耗能構件之一，若被破壞會引起結構整體的倒塌失效，因此研究其裂縫發(fā)展及倒塌失效模式對框架結構抗倒塌設計至關重要。

考慮到構件底部進入塑性狀態(tài)后，變形主要集中在塑性鉸區(qū)[2]，在抗震設計中，塑性鉸是一個很重要的概念，它形成和發(fā)展過程中能吸收大量的地震能量，并通過鉸的轉動將能量耗散出去，在一定程度上能增強構件的抗震性能，降低地震損害[3]。運用塑性鉸的力學模型驗算RC框架柱的極限變形能力與位移延性能力是抗震設計的關鍵，因此研究塑性鉸區(qū)的力學機理及進一步推導總結該區(qū)域的最終破壞形式具有重要意義。其中塑性鉸的長度是刻畫塑性鉸的主要力學概念之一。塑性鉸的長度對于老舊建筑的抗震加固和新結構構件的設計均有重要意義[4]。運用不同的研究手段，通過不同的結構參數(shù)[5-11]，使用不同的方法給出了塑性鉸長度的不同計算方法。

地震作用下，框架柱不同的破壞模式與其端部塑性鉸力學模型密切相關。震害資料及諸多試驗[12-13]表明RC框架柱在地震作用下的破壞模式基本分為：彎曲破壞、彎剪破壞與剪切破壞及粘結破壞。RC框架柱破壞模式存在不同的判別方法。例如Mayes等[14]通過抗剪強度，Ghee等[15]與Toshikawa[16]通過柱位移延性系數(shù)，趙國藩[17]通過滯回曲線分別用來區(qū)分柱的不同破壞模式。馬穎等[18]基于概率統(tǒng)計的方法建立了判定上述柱破壞模式的計算公式。文獻[18-20]表明軸壓比、剪跨比、縱筋配筋率、配箍率是框架柱破壞模式的重要影響因素。文獻[21-23]給出了在確定其中一種結構參數(shù)具體數(shù)值的情況下，框架柱發(fā)生不同破壞模式分別對應的其他相關參數(shù)的范圍。

現(xiàn)有的對柱端塑性鉸的研究均基于較傳統(tǒng)的力學指標，例如利用受拉鋼筋從屈服至到達極限強度，受壓區(qū)混凝土邊緣壓應變從峰值壓應變ξ0發(fā)展至極限壓應變ξcu來定義塑性鉸區(qū)的力學性質，進行對塑性鉸區(qū)的力學刻畫，據(jù)此計算出的柱頂水平極限位移對應載荷?變形曲線上載荷降至80%最大載荷時的柱頂位移。若要進一步計算框架柱在完全倒塌失效前的極限水平位移，需要確定柱端部的混凝土失效區(qū)發(fā)展與柱頂水平位移存在的某種持續(xù)的準確力學聯(lián)系，而傳統(tǒng)的塑性鉸模型不足以從細節(jié)上描述柱完全倒塌失效時的柱端具體破壞情況。

前述提及的現(xiàn)有RC框架柱破壞模式是著眼于工程角度的柱整體破壞現(xiàn)象，而若要研究RC框架柱發(fā)生倒塌失效時具體的約束端破壞形式，首先應完成的基礎性理論研究是參考已有的柱破壞模式，結合合適的力學準則推導出可描述約束端具體破壞狀況的倒塌失效模式，并建立相關影響參數(shù)之間的具體力學聯(lián)系，并以此劃分不同倒塌失效模式的不同發(fā)生范圍，從而可以通過構件的結構參數(shù)預判其最終的倒塌失效模式。

Mohr–Coulomb準則可較好地描述混凝土及巖石的破壞特性?；诖藴蕜t，李宏等[24]假定裂縫形狀為直線型，將混凝土裂縫分為張開型裂縫與剪切型裂縫。在失效面坐標系中以裂縫表面法向正應力σ=0為臨界，當σ>0時，由最大拉應力準則(Rankine準則)判定張開型裂縫點的產生；當σ<0，由Mohr–Coulomb準則判定剪切型裂縫點的產生。前述兩準則結合即為最大拉應力斷裂的Mohr–Coulomb準則(簡稱拉斷的Mohr–Coulomb準則)。在宏觀尺度上的構件坐標系中，張開型裂縫與剪切型裂縫分別在底部約束以及頂部承受水平載荷與豎向載荷共同作用下的壓剪構件中稱為剪拉裂縫與剪壓裂縫。Zha等[25]基于拉斷的Mohr–Coulomb準則推導出構件坐標系中任意點發(fā)生剪拉裂縫或剪壓裂縫時，其剪應力與正應力之間的函數(shù)關系。基于上述研究成果并結合RC框架柱的應力分布關系，本文推導總結出柱端不同的裂縫開展形式與其相應的倒塌失效模式，進而對柱端混凝土的失效過程進行更細致的描述。本文旨在拓寬、豐富傳統(tǒng)的塑性鉸模型，為計算RC框架柱臨近倒塌的水平極限位移打下理論基礎。

1 壓彎作用下RC框架柱任意點及裂縫點應力函數(shù)表達

1.1 壓彎構件應力分布規(guī)律

設底部約束，頂部有水平力及軸力共同作用的構件正應力均勻分布，水平載荷作用下彎曲正應力沿柱高呈線性的三角形分布。根據(jù)相似三角形原理，一橫截面上的某點正應力大小和它與截面中性軸之間的距離呈正比，所以彎曲正應力沿截面高也呈線性的三角形分布。

以構件截面中性軸為界，將壓彎構件分為左邊的剪拉區(qū)與右邊的剪壓區(qū)。柱體剪壓區(qū)內任意一點正應力大小分析如圖1所示。其中，N為豎向載荷，F(xiàn)為水平載荷，O(0,0)為構件坐標系原點，x為橫截面某點至截面中性軸的距離，y為橫截面離x軸的距離，h為橫截面高度，H為構件總高，A(x,y)為橫截面上某點在構件坐標系中的坐標，W為橫截面抵抗矩。

圖1 壓彎作用下正應力分布規(guī)律

根據(jù)圖1，利用構件同一截面內任意一點正應力與此點離截面中性軸距離成正比的原則，結合相似關系可得出構件剪壓區(qū)任意一點的正應力σy值

其中，σ0為僅豎向力作用下的截面正應力，即σ0=n0fc=N/A，n0為軸壓比，fc為混凝土標準抗壓強度，A為橫截面面積。式(1)兩端同除以fc，得其相對正應力值

考慮到RC框架柱底部約束端由于受到邊界條件等因素而影響其剪應力分布的復雜性，在以下分析中對底部截面采用近似的矩形剪應力分布，即τx=F/A。

1.2 基于拉斷的M ohr–Coulomb破壞準則的混凝土裂縫點應力函數(shù)

頂部水平與豎向載荷共同作用下的構件受力情況如圖2所示。任取一單元體，在其失效面坐標系x′?y′上其應力狀態(tài)為(σ,τ)，在構件坐標系中記應力(σy，τx)。其中F為頂部水平力，N為軸力，h為截面高度，H為構件總高。

圖2 失效面坐標系與構件坐標系中的剪?正應力關系

Zha等[25]基于拉斷的Mohr–Coulomb破壞準則分別推導出圖2構件坐標系x?y中剪壓失效或剪拉失效點(σy,τx)的剪?正應力函數(shù)關系

其中，ft為混凝土標準抗拉強度，在構件坐標系中定義ft為負數(shù)。

在構件坐標系中，混凝土剪拉失效與剪壓失效(對應失效面坐標系中的張開型裂縫點與剪切型裂縫點)的分界線為M M′，臨界狀態(tài)是點。兩種破壞線函數(shù)形狀如圖3。

圖3 混凝土的拉斷Mohr–Coulomb破壞準則(構件坐標系下的表達)

2 基于拉斷的M ohr–Coulomb破壞準則的鋼筋混凝土RC框架柱倒塌失效模式及其判別

2.1 可能的RC框架柱倒塌失效模式

查支祥[26]將壓剪構件的剪力傳遞途徑分為三種：(1)一定角度的混凝土斜壓桿和豎向及水平鋼筋組成的桁架模型A區(qū)。(2)A與C區(qū)間起到剪力傳遞作用的一定角度的受壓混凝土斜壓桿B區(qū)。(3)C區(qū)形成主要將剪力傳遞給B區(qū)混凝土斜壓桿的桁架模型。并據(jù)此提出了剪力墻板的剪力分區(qū)傳遞模型，如圖4所示。由于RC框架柱的受力形式與剪力墻相似，且構造上縱筋作為豎向鋼筋承受軸向載荷，箍筋作為水平鋼筋承受水平載荷，雖然RC框架柱中的A，B及C區(qū)可能因軸壓比、高寬比等結構參數(shù)的影響造成三區(qū)域的大小及傳力狀態(tài)與剪力墻板有所不同，但仍可以先合理地假設此剪力傳遞模型同樣適用于框架柱，如圖5所示，并基于此模型提出RC框架柱四種可能發(fā)生的倒塌失效模式，而后通過推導與文獻試驗數(shù)據(jù)結合的方式，驗證此倒塌失效模式理論的可行性與準確性。

圖4 剪力墻板剪力分區(qū)傳遞模型

圖5 RC框架柱剪力分區(qū)傳遞模型

失效模式a：B區(qū)與C區(qū)的混凝土或鋼筋斜柱體未發(fā)生失效，而A區(qū)豎向鋼筋發(fā)生斷裂或粘結滑移失效，如圖6(a)所示。

失效模式b：C區(qū)的混凝土和鋼筋均未失效，A區(qū)豎向鋼筋也未失效，混凝土則未出現(xiàn)或出現(xiàn)少量的剪拉裂縫。B區(qū)斜柱體中混凝土出現(xiàn)剪壓裂縫致失效。因此，一方面C區(qū)桁架結構的壓桿方向發(fā)生改變，另一方面B區(qū)拱結構中混凝土斜柱體向柱體豎向中軸偏轉，其水平承載力也隨著斜桿與柱體豎向中軸的傾角變小而變小。在往復水平載荷作用下，最后因柱體底部的有效混凝土承載區(qū)域無法繼續(xù)承受豎向載荷而發(fā)生豎向壓潰。此種倒塌失效模式也屬于彎曲破壞引起的倒塌，如圖6(b)所示。

失效模式c：在B區(qū)的混凝土斜柱體向框架柱體豎向中軸偏轉過程中，若在框架柱底部的有效混凝土承載區(qū)域面積臨界值到達發(fā)生失效模式b之前，不斷發(fā)展的混凝土剪壓裂縫首先與A或B區(qū)存在的剪拉裂縫相貫通，則柱體底部被剪壞。此種倒塌失效模式屬于剪切破壞引起的倒塌，如圖6(c)所示。

失效模式d:若B區(qū)混凝土斜柱體底部未出現(xiàn)剪壓裂縫，而出現(xiàn)剪拉裂縫，則框架柱體底部區(qū)域因被剪拉裂縫貫通而失去承載力，框架柱體發(fā)生剪拉失效，如圖6(d)所示。

圖6 可能的RC框架柱倒塌失效模式

失效模式e：現(xiàn)有研究及資料均表明，若RC柱剪跨比較小，軸壓比較大，可能發(fā)生剪壓裂縫沿對角線發(fā)展將RC柱體斜向劈裂的斜壓破壞。

2.2 RC框架柱倒塌失效模式判別

對于模式a，其產生的原因可能為縱筋配置或錨固措施不佳，導致受拉縱筋斷裂或與混凝土間發(fā)生粘結滑移失效。由于此種失效模式產生的原因多為施工或設計誤差，因此其倒塌失效條件不做更多的理論分析。

對于模式b與模式c，如圖7(a)所示，B1與B′1點間的距離為當柱體發(fā)生豎向壓潰時的底部截面臨界高度hl，若B2點發(fā)生剪壓裂縫時剪拉裂縫未發(fā)展至B1點，則剪拉裂縫由于構件到達極限承載力而停止發(fā)展，則柱體在水平往復力作用下剪壓裂縫發(fā)展至B1(B′1)點并導致失效模式b；若B2點發(fā)生剪壓裂縫時剪拉裂縫發(fā)展至或向外超過B1點，則剪拉與剪壓裂縫在B1(B′1)點外側貫通導致柱體發(fā)生失效模式c，如圖7(b)所示。所以兩種失效模式的臨界狀態(tài)為B1(B′1)點的剪拉裂縫與B2點的剪壓裂縫同時發(fā)生。

圖7 發(fā)生失效模式b與c的失效條件

如圖8所示，當B1點的剪拉裂縫與B2點的剪壓裂縫同時發(fā)生時，B1點與B2點應力狀態(tài)分別同時到達剪拉破壞線與剪壓破壞線。由于認為底部截面各點應力相等，即B1點與B2點剪應力相等，則在圖8中B1點和B2點相對正應力狀態(tài)位于同一水平線上。

結合圖8，并根據(jù)構件坐標系中B1點坐標(hl/2,H)與B2點坐標(h/2,H)，結合式(2)，得

圖8 模式b與模式c的臨界失效情況

即

根據(jù)式(3)與式(4)，可得

其中K=?fc/(2ft)。

結合式(5)～式(7)，可得

令x為剪拉裂縫出現(xiàn)后底部截面受壓區(qū)高度，b為柱體橫截面寬度，則底部截面剪應力τx=F/(bx)。所以

式中，H0為倒塌失效模式b、c間的柱體臨界高度。將式(8)代入式(9)，得

根據(jù)式(6)與式(8)，得

對于大偏心受壓，根據(jù)截面受力平衡

解得

即

其中，α1為橫截面修正系數(shù)。

對于小偏心受壓，根據(jù)截面受力平衡

解得

其中

其中，Es為縱筋的彈性模量。

當剪壓裂縫不斷發(fā)展至柱底截面有效承載高度h1，柱體達到豎向壓潰的臨界狀態(tài)，結合軸壓比的定義，可得柱體發(fā)生豎向壓潰時所受的軸力N0和柱體的初始軸壓比n0

解得

將式(17)代入式(10)與式(11)并簡化，得

其中

式(18)即為失效模式b與c之間的臨界軸壓比(n0)與高寬比(H0/h)的函數(shù)關系。

對于模式c與模式d，若B2點的應力狀態(tài)從σ0發(fā)展至首先與剪壓破壞線相交，即其橫坐標位于點M′點右側，則發(fā)生失效模式c：若B2點的相對應力狀態(tài)從σ0/fc發(fā)展至首先與剪拉破壞線相交，即其橫坐標位于點M′點左側，則發(fā)生失效模式d,所以兩種模式的臨界狀態(tài)為B2點與M′點重合，如圖9所示。

圖9 模式c與模式d的臨界失效情況

當框架柱體處于失效模式c與d臨界狀態(tài)時，B2點相對應力發(fā)展為σ0/fc，至點M′。定義圖9臨界狀態(tài)應力實線與橫軸傾角為α1，結合M′點坐標可得

化簡得到

所以當

發(fā)生失效模式c；當

發(fā)生失效模式d。

根據(jù)上述的推導分析，可以在以高寬比為橫軸，軸壓比為縱軸的同一坐標系中繪出判定RC框架柱發(fā)生失效模式b，c與d的臨界函數(shù)曲線，如圖10所示。

圖10 失效模式b，c與d的發(fā)生范圍分布

對于失效模式e，由于RC框架柱設計應嚴格避免產生此類斜壓破壞，所以不對此倒塌失效模式做進一步的理論性分析。

2.3 RC框架柱壓彎試驗結果

倒塌失效模式a與e的實際對應失效模式如圖11和圖12所示。圖11中，縱筋位置混凝土大片剝落，最終發(fā)生粘結破壞；圖12中，主斜裂縫貫通整個窗間柱，發(fā)生斜壓破壞。

圖11 倒塌失效模式a(粘結滑移失效)

圖12 倒塌失效模式e(窗間柱的斜壓破壞)

錢小龍[27]對一軸壓比為0.1，剪跨比為1.58的短柱進行了往復水平力作用下的壓剪試驗，其最終的倒塌失效模式如圖13所示，可以清楚地觀測到柱端剪拉裂縫在往復水平力作用下發(fā)展至對側柱角，而柱角的混凝土幾乎未被壓潰，說明剪壓裂縫幾乎沒有發(fā)展，符合圖6(d)所示的失效模式。文中對此破壞形態(tài)描述為“水平力達到最大正向載荷”，“認為試件已經破壞”。將上述試驗參數(shù)以坐標形式繪入圖14，由圖可知其屬于失效模式d的發(fā)生范圍，符合推導出的判定條件。此種失效模式可能發(fā)生于框架結構中柱軸壓比很小的上層，尤其是頂層RC框架柱中。

圖13 錢小龍[27]所做框架柱試驗破壞圖

從圖10可知，失效模式c所占范圍較小，可看作為失效模式b與d間的過渡性失效模式。劉杜[28]對一混凝土強度為C80的高強RC框架柱進行了壓彎試驗，其剪跨比為3，試驗軸壓比為0.12，文中所述的試件最終破壞形態(tài)如圖15所示，可觀察到剪拉裂縫已與受壓區(qū)壓潰的混凝土貫通，柱體底部被剪壞，無法繼續(xù)承載。將此試驗參數(shù)坐標繪入以C80為混凝土強度參數(shù)的失效模式劃分曲線圖中，如圖16所示，可知其屬于失效模式c的發(fā)生范圍，符合推導出的判定條件，同時也說明判定條件函數(shù)中混凝土強度參數(shù)對失效模式范圍的分布影響的推導是正確的。

圖15 劉杜[28]所做框架柱試驗破壞圖

圖16 失效模式c試驗驗證

而根據(jù)《混凝土結構設計規(guī)范》[29]，在實際RC框架結構中柱的剪跨比(此文即高寬比)應大于2。在可能發(fā)生較大等級地震的區(qū)域中，框架結構抗震等級一級的柱軸壓比限制小于0.65，二級的柱軸壓比限制小于0.75。對結構是否發(fā)生倒塌起到決定性影響的RC下層框架柱，尤其底層框架柱來說，其設計軸壓比(限值內)都較大，若框架柱設計、施工良好，結合圖10可知其最常見、典型的倒塌失效模式應為失效模式b。

陸新征等[30]對兩個不同實驗參數(shù)的框架柱進行了壓彎試驗：(1)軸壓比為0.154，高寬比為3.75。(2)柱軸壓比為0.28，高寬比為4。兩種柱失效破壞圖分別如圖17(a)與圖17(b)所示。錢稼茹等[31]所做柱壓剪試驗(軸壓比為0.36，高寬比為4)失效破壞如圖18所示?？傻弥怂苄糟q區(qū)混凝土的破壞形式均符合圖17(a)所示的失效模式。將上述試驗參數(shù)以坐標形式于圖10中標出，如圖19所示?？芍鶎儆谀Ｊ絙的發(fā)生范圍，符合推導出的判定條件。

圖17 陸新征等[30]所做框架柱試驗破壞圖

圖18 錢稼如等[31]所做框架柱試驗破壞圖

圖19 失效模式b試驗驗證

3 結論

本文基于拉斷的Mohr–Coulomb破壞準則，提出五種RC框架柱倒塌失效模式，并判定了其中三種典型失效模式的發(fā)生條件，并加以文獻試驗結果驗證。結論如下：

(1)通過力學手段建立了壓彎構件軸壓比與高寬比間的連續(xù)函數(shù)關系，以此劃分出在上述兩參數(shù)的所有可能范圍內RC框架柱不同倒塌失效模式的分布情況。

(2)RC框架柱最常見、典型的失效模式為模式b，即在水平往復載荷作用下柱底部兩端的混凝土因剪壓失效退出工作導致中間區(qū)域有效承載面無法繼續(xù)承受豎向載荷而發(fā)生壓潰。

關于運用數(shù)值模擬方法對本文研究成果的進一步分析及驗證，將另文探討。