懸臂梁振型的彎曲變形和剪切變形分解①

陳光遠(yuǎn)

(同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 20092)

0 引言

經(jīng)典的梁理論分為 Euler－Bernoulli梁和Timoshenko梁.Euler－Bernoulli梁只適用于細(xì)長梁，且只有在梁的低頻振動(dòng)時(shí)才和理論結(jié)果相近.由于忽略了梁的剪切變形，致使梁的剛度被高估，自振頻率高于理論值.Timoshenko在1921年提出了Timoshenko梁理論，這個(gè)理論同時(shí)考慮了梁的彎曲變形引起的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和梁的剪切變形，大大改善了以往梁的動(dòng)力學(xué)理論.Timoshenko梁理論指出，梁的長細(xì)比越小，振型階數(shù)越高，剪切變形的影響越大.在Timoshenko之后，又有很多學(xué)者對(duì)梁的橫向振動(dòng)問題進(jìn)行了更深入的研究[1～5].對(duì)高層建筑結(jié)構(gòu)的研究可以簡化為一根懸臂梁進(jìn)行定性研究，本文將從懸臂梁各階振型的剪切變形分量、彎曲變形分量以及剪切應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能的角度進(jìn)行研究.

圖1 梁及微元體受力圖

1 Timoshenko梁自由振動(dòng)方程[1]

如圖1(a)所示為xy平面內(nèi)的等截面梁，圖1(b)和圖1(c)分別為梁一段微元體的受力平衡圖以及變形圖.設(shè)梁的橫向位移y(x，t)可以表示為

式中yb和ys分別為彎曲變形和剪切變形.截面的轉(zhuǎn)角為

其中φ和γ分別為彎曲變形和剪切變形引起的轉(zhuǎn)角.根據(jù)微元體的平衡可得方程

其中F為單位長度的慣性力偶.又由材料力學(xué)知識(shí)得

由式(2)，(3)和(4)可得梁的自由振動(dòng)平衡方程為

設(shè) y(x，t)= φ(x)sinωt，代入上式整理得

定義下列變量將上式無量綱化

L為任意具有長度量綱的常量.將(7)式代入方程(6)則

方程中，a是一個(gè)與梁振動(dòng)頻率平方成正比的量;α與梁的剪切剛度成反比;β與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成正比.若，α=0表明梁的剪切剛度無窮大，剪切變形可以忽略;β=0則表明轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以忽略.

2 懸臂梁振型求解及變形分離

令 η =Aeλζ代入(8)式得

從式(11)可得到p2為非負(fù)值.方程(11)的其中兩個(gè)根為 λ1，2= ± ip;又p2q2=a2(1 － a2αβ)，因?yàn)閜2為非負(fù)值，則q2與1－a2αβ同號(hào).為了簡單起見，不考慮1 －a2αβ ＜ 0的情況.所以λ3，4= ±q，最終得到通解

則由于式(13)、(15)、(16)和(17)可得

求解上面的超越方程，可得到與頻率相關(guān)的梁a，進(jìn)而可以得到無量綱化的振型函數(shù)

式中K為任意常數(shù).將(16)式兩邊同時(shí)乘以EI/χGAL2，并利用(4)式可得

將上式兩邊對(duì)ζ在[0，ζ]間積分可得振型中剪切變形表達(dá)式為

用總的變形η減去剪切變形可得振型中的彎曲變形表達(dá)式

3 懸臂梁振型求解及振型分離

懸臂梁按某一振型振動(dòng)時(shí)，梁中儲(chǔ)存的彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能分別為

4 算例分析

假設(shè)有4m長的矩形懸臂鋼梁，截面寬度0.2m，高0.4m，彈性模量 E=210GPa，G=80GPa.可得，β =0.00083，α =0.0026.通過數(shù)值計(jì)算得到懸臂梁前九階的頻率、對(duì)應(yīng)振型以及剪切應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能見表1，并將這些數(shù)據(jù)與對(duì)應(yīng)歐拉梁進(jìn)行了對(duì)比.從表中的數(shù)據(jù)可以看出，頻率較低時(shí)，歐拉梁和鐵木辛科梁的頻率相接近，且剪切變形能的比重也較低.高階振型時(shí)，鐵木辛科梁和歐拉梁的頻率相差較大，剪切變形影響很大，剪切變形能占總變形能不可忽略.梁的前四階振型如圖2所示，圖中還給出了彎曲變形分量和剪切變形分量.從圖中可以看出，隨著振型階數(shù)的提高，剪切變形分量越來越明顯.當(dāng)改變梁的長度時(shí)，觀察梁的一階振型中剪切分量和彎曲分量的變化如圖3所示.當(dāng)梁長度由4m變?yōu)?.5m的過程中，梁的剪切變形分量越來越明顯，相應(yīng)的剪切變形能占總應(yīng)變能比重也會(huì)越來越高..

圖2 梁各階振型(T－總變形，B－彎曲變形，S－剪切變形)

圖3 不同長度梁一階振型(T－總變形，B－彎曲變形，S－剪切變形)

表1 鐵木辛科梁主要計(jì)算參數(shù)及與歐拉梁對(duì)比

6 298.56 11142 218.67 4211.43 3531.76 7743.19 45.617 416.99 21735 282.23 6347.29 7218.99 13566.28 53.218 555.17 38526 347.57 8676.89 12846.93 21523.82 59.699 713.08 63563 413.79 11060.13 20685.39 31745.52 65.16

5 結(jié)論

本文通過對(duì)考慮剪切變形的懸臂梁的振型和能量分析發(fā)現(xiàn)，隨著梁長細(xì)比的減小以及振型階數(shù)的提高，振型中剪切變形分量越來越明顯，剪切應(yīng)變能占總應(yīng)變能力的比例越來越高.

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