運用導(dǎo)數(shù)信息繪制函數(shù)圖像

丁虹

【摘要】在研究函數(shù)特性時，往往需要知道函數(shù)的直觀圖像，利用函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)可以繪制出函數(shù)較為精細(xì)的圖像.本文以三次函數(shù)為例，運用導(dǎo)數(shù)的知識來研究一般的三次函數(shù)的單調(diào)性和極值，曲線的凹凸性和拐點等問題，并綜合利用這些知識繪制了三次函數(shù)的圖像，為進(jìn)一步描繪高次函數(shù)的圖像找到了有效的解決方法.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；三次函數(shù)；函數(shù)圖像

導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是微積分的初步知識，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶.在研究函數(shù)特性時，往往需要知道函數(shù)的直觀圖像，利用函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)可以繪制出函數(shù)較為精細(xì)的圖像.三次函數(shù)是導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中最簡單的高次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù).因此，三次函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個重要載體.

一、基本概念及涵義

1.導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點的變化率，描述函數(shù)變化的快慢.導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是通過極限的概念對函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近.函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），就是函數(shù)值的增量Δy與自變量的增量Δx之比ΔyΔx，當(dāng)Δx→0 時的極限.

2.三次函數(shù)的概念：最高次數(shù)項為3的函數(shù)，形如y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d為常數(shù)）的函數(shù)叫做三次函數(shù).三次函數(shù)的圖像是一條曲線——回歸式拋物線，它不同于普通拋物線，具有特殊性.

二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

利用一階導(dǎo)數(shù)可以討論函數(shù)的單調(diào)性和極值.對于函數(shù)y=f（x），導(dǎo)數(shù)y′符號的變化與函數(shù)y的增減情況以及極值的關(guān)系是：變量x由小變大時，導(dǎo)數(shù)y′由正變?yōu)樨?fù)，此時函數(shù)y由增變?yōu)闇p，且y=0時，函數(shù)y有極大值；變量x由小變大時，導(dǎo)數(shù)y′由負(fù)變?yōu)檎?，此時函數(shù)y由減變?yōu)樵?，且y′=0時，函數(shù)y有極小值.

（二）二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

利用二階導(dǎo)數(shù)可以判定函數(shù)的極值、凸向和拐點，并可描繪函數(shù)的圖像.設(shè)f″（x0）=0，若f″（x0）>0（或f″（x0）<0），則f（x0）為極小值（或極大值）；在區(qū)間（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)函數(shù)f（x），若對所有點x∈（a，b）有若f″（x）>0（或f″（x）<0），則曲線y=f（x）在區(qū)間內(nèi)下凸（或上凸）；如果f″（x0）=0，且在x=x0的兩側(cè)f″（x）變號，則點P（x0，f（x0））為曲線y=f（x）的拐點.

三、描繪三次函數(shù)的圖像

（一）圖像描繪的步驟

1.確定函數(shù)y=f（x）的定義域及不連續(xù)點.

2.判定函數(shù)y=f（x）的奇偶性.如果函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)，只需研究當(dāng)x≥0時函數(shù)的性質(zhì)，作出其圖像.而另一半曲線的圖像可由對稱性得出.

3.判定函數(shù)y=f（x）的周期性.如果函數(shù)y=f（x）為周期函數(shù)，只需研究其在一個周期內(nèi)的函數(shù)的性質(zhì)，作出其圖像，其余部分利用周期性可得.

4.求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)y′.求函數(shù)y=f（x）的駐點，一階導(dǎo)數(shù)不存在的點，以確定函數(shù)的增減性、極值.

5.求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)y″.求y″=0的點，y″不存在的點，以確定曲線的凹凸性和拐點.

6.確定曲線的漸近線，列出表格，描繪圖像.將上述所求得的結(jié)果按自變量由小到大的順序列入一個表中，并將函數(shù)的性態(tài)列入表中，然后描繪成圖像.

（二）三次函數(shù)四種圖像類型

三次函數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個重要載體.三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，因此，可用二次函數(shù)知識對三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行研究.

三次函數(shù)是實際問題中經(jīng)常遇到的一類函數(shù)，由于三次函數(shù)自身的特點，它的單調(diào)性、駐點、極值點和它對應(yīng)曲線的拐點有其內(nèi)在的關(guān)系與特性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為我們解決這些問題提供了有力的工具.

通常，我們可以用描點法作出的函數(shù)圖像，這種圖像一般是粗糙的，在一些關(guān)鍵點的附近函數(shù)的變化狀態(tài)，不一定能確切地反映出來.利用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)及其某些性質(zhì)，可以較為準(zhǔn)確地描述函數(shù)動態(tài).綜合應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，二階導(dǎo)數(shù)判定凹凸性，對于復(fù)雜的初等函數(shù)圖像，我們根據(jù)其代數(shù)性質(zhì)，就可以研究函數(shù)圖像性質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】

[1]閻占立.微積分（下）.北京：高等教育出版社.2006.4.

[2]高級中學(xué)課本.微積分初步.北京：人民教育出版社.