復變函數(shù)的學習方法研究

張美軍　孟憲吉

【摘要】復變函數(shù)論是數(shù)學分析的后續(xù)課程，是數(shù)學分析中關于實函數(shù)中連續(xù)，微分，積分等理論在復數(shù)域上的延續(xù)，由此學好復變函數(shù)對我們有著重要的意義.本文將從三方面論述學習復變函數(shù)的方法，分別為：一、最大限度利用數(shù)學分析已有知識，初步了解復變函數(shù)；二、找出復變函數(shù)和數(shù)學分析的不同，深刻認識復變函數(shù)；三、理解復變函數(shù)獨有的特點，整體把握復變函數(shù).通過具體的例子與例題具體論述，幫助我們更好的把握復變函數(shù)知識.

【關鍵詞】數(shù)學分析；復變函數(shù)

【基金項目】遼寧省普通高等學校本科教育教學改革研究項目（UPRP20140526）

一、最大限度利用數(shù)學分析已有知識，初步了解復變函數(shù)

1.定 義

復變函數(shù)ω=f（z）的定義在形式上與數(shù)學分析中一元函數(shù)的定義基本一樣，但與之不同的是，復變函數(shù)的自變量和函數(shù)值均取復數(shù)，且在復數(shù)中，自變量與函數(shù)值不只遵循一對一的原則，更衍生出一對多即多值函數(shù)的定義，即一個自變量z有幾個或無窮多個函數(shù)值與之對應.

2.極 限

掌握復變函數(shù)極限的定義，首先要準確把握一元實函數(shù)y=f（x）及二元實函數(shù)y=f（x，y）的定義及兩者不同之處.復變函數(shù)ω=f（z）在形式與一元實函數(shù)y=f（x）的極限定義相似，其性質也可以平移使用.但是不同的是：對于一元實函數(shù)y=f（x）的極限：limx→x0f（x） x→x0指在x軸上x沿x0的左右兩個方向趨近x0，而復變函數(shù)ω=f（z）的極限：limz→z0f（z） z→z0要沿著從四面八方通向z0的任何路徑趨于z0.

3.連續(xù)性

對于一元實函數(shù)的三要素分別為：①f（x）在點x0處有意義 ②f（x）在點x0處有極限 ③limx→x0f（x）=f（x0） ，對于復變函數(shù)ω=f（z）的連續(xù)性也必須滿足這三要素，并且其性質與一元實函數(shù)y=f（x）連續(xù)性相似.但是由于復變函數(shù)f（z）=u（x，y）+iv（x，y）沿E在點z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件為：二元實變函數(shù)u（x，y），v（x，y）沿E于點（x0，y0）連續(xù)，由此可知，復變函數(shù)ω=f（z）連續(xù)性的證明要依靠于二元實函數(shù)連續(xù)性的證明.

4.導數(shù)與微分

由于復變函數(shù)的導數(shù)與定義形式上與數(shù)學分析中一元函數(shù)的導數(shù)定義一致，因此微分學中的幾乎所有求導基本公式及法則都可以推廣到復變函數(shù)中來.和導數(shù)的情形一樣，復變函數(shù)的微分定義形式上也與數(shù)學分析中一元函數(shù)微分定義一致，由函數(shù)ω=f（z）在區(qū)域D內可微衍生出復變函數(shù)中一個重要的定義：解析.解析函數(shù)是復變函數(shù)研究的主要對象.

5.積 分

一元實函數(shù)定義積分的思路為：分割，取值，求和，取極限，這種思路完全可以應用到復函數(shù)的積分定義上來，并且復函數(shù)定積分的計算規(guī)則與基本性質也與一元實函數(shù)基本相同.例如：復變函數(shù)積分中仍有牛頓——萊布尼茨公式，只是公式的條件要求與一元實函數(shù)的要求不同，在一元實函數(shù)中，由原函數(shù)存在定理可知：只要被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，都可以應用牛頓—萊布尼茨公式來求積分；而對復變函數(shù)而言，要應用牛頓—萊布尼茨公式，需要被積函數(shù)f（z）在單連通區(qū)域D內連續(xù)且處處解析時才有∫z2z1f（z）dz=F（z1）-F（z2）

二、理解復變函數(shù)獨有的特點，整體把握復變函數(shù)

學習復變函數(shù)，不僅要求學生類比已有的數(shù)學分析中的知識，做到融會貫通，更需要學生新增知識，重點把握.本部分將從復變函數(shù)f（z）的解析性，柯西積分定理，柯西積分公式三個方面論述.

1.f（z）的解析性

解析函數(shù)是復變函數(shù)研究的主要對象，它具有很多很好的性質如：無窮可微性.

（1）復變函數(shù)ω=f（z）在z0∈D處解析是指f（z）在點z0處可微，并且在該點的鄰域內每一點均可微；而w=f（z）在D上解析是指在D內的每一點都可微，從而就會出現(xiàn)f（z）只在一個孤立點或只在一條直線上可微，但是各點都未形成由可微點構成的圓鄰域，導致f（z）在D上不解析.

（2）解析函數(shù)的無窮可微性

函數(shù)f（z）在z平面上的區(qū)域D內解析，則f（z）在D內具有各階導數(shù)，并且它們也在D內解析.我們要注意：在數(shù)學分析中，區(qū)間上的可微函數(shù)在此區(qū)間上不一定有二階導數(shù)，更不必談高階導數(shù).

2.柯西積分定理

對于柯西積分定理，學生須知該定理肯定了復變函數(shù)積分的值與積分路徑無關的條件（沿區(qū)域內任何閉曲線積分值為0的條件）是與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域單連通性有關.

即函數(shù)f（z）在單連通區(qū)域D內解析，C為D內任一條簡單閉曲線，則∫Cf（z）dz=0.

由于柯西積分定理的全部理論是建立在兩個假設之上的：（1）所考慮的區(qū)域D是單連通區(qū)域，

（2）f（z）在D內為解析函數(shù)，所以如果兩個條件有一個不具備，一般來說定理結論不再成立.所以若在區(qū)域D內有函數(shù)f（z）的奇點，就要將這些點從D內除去，從而把多連通區(qū)域變?yōu)閺瓦B通區(qū)域，此時沿復周線外邊界積分等于沿內邊界積分之和.