洛朗級數(shù)求積分問題在工程數(shù)學中的應用

王斌　李璇　馮明勇

【摘要】本文結(jié)合工程數(shù)學課程中利用洛朗級數(shù)求積分問題的實例，對學生在工程數(shù)學課程學習中容易混淆的求積分方法進行了分析、比較與歸納總結(jié)，并且對于本課程中洛朗級數(shù)與其他章節(jié)之間的聯(lián)系作了詳細闡述，以供參考和借鑒.

【關(guān)鍵詞】洛朗級數(shù)；高階導數(shù)公式；留數(shù)

1.工程數(shù)學中的洛朗級數(shù)

學習工程數(shù)學這門課程的最終目的是使學生能夠結(jié)合所學的理論，以實際情況為背景，對客觀現(xiàn)象進行深入分析，找出其存在的問題，并策劃出解決問題的方案.因此，教師在教學過程中應適當?shù)貙⒔滩闹械膬?nèi)容進行擴展，介紹一些工程數(shù)學理論在其他領(lǐng)域的應用實例，可以使學生在體會到該課程知識理論應用的同時，也提高了自身的實際應用能力.工程數(shù)學課程是各個高校工科專業(yè)的學生在具有了高等數(shù)學的基礎(chǔ)上，為了能夠用更加方便的理論工具來處理工程中常見的問題而開設(shè)的一門課程.

2.工程數(shù)學中的洛朗級數(shù)教學

不同高校所開設(shè)的工程數(shù)學課程的內(nèi)容與課時根據(jù)其實際情況都有所不同，關(guān)于工程數(shù)學課程的教學內(nèi)容或者方法的改革與探討較多，既有對于教學方法、教學策略的探討，也有關(guān)于具體數(shù)學工具及應用類的分析.筆者在長期的教學過程中發(fā)現(xiàn)很多同學由于受本課程的課時限制以及學習方法不當，對于本課程中計算復變函數(shù)沿著閉曲線積分問題的理解不夠深刻，各個章節(jié)之間的聯(lián)系認識不足，所以促使筆者產(chǎn)生了拋磚引玉的想法，對于如何利用洛朗級數(shù)求積分問題，本文進行了仔細梳理和分析.在工程數(shù)學課程的復變函數(shù)部分仔細介紹了利用洛朗級數(shù)展開式來計算沿閉曲線復變函數(shù)積分，隨后又介紹了利用留數(shù)方法（即洛朗級數(shù)展開式中負一次項系數(shù)C-1）來計算沿閉曲線復變函數(shù)記分，很多同學由于這兩部分內(nèi)容前后相鄰并且都是需要計算C-1而混淆其不同之處.本文借助課后習題中的一個典型習題的多種解法，揭示上述兩種解法的不同點以及常見的四種解法的優(yōu)劣之處，以供參考和借鑒.

雖然工程數(shù)學的內(nèi)容抽象，概念定理多，計算較繁瑣，但這些都是實際生活中一些問題的抽象，它來源于生活又應用于生活.如果在教學過程中能夠準確把握住課程內(nèi)容與學生生活實際及所學專業(yè)的結(jié)合點，從知識的背景及生活、專業(yè)的實際問題出發(fā)設(shè)計出一些應用實例進行講解，可以使工程數(shù)學知識不再是抽象的理論，而是解決專業(yè)問題的有利數(shù)學工具，打破傳統(tǒng)的“算數(shù)學”模式，代之以用數(shù)學工具解決各種問題的“用數(shù)學”模式，增強學生對工程數(shù)學是一門工具學科的感性認識.主動向?qū)W生闡明學習該知識的目的及應用，使其能夠利用所學知識去思考問題、解決問題，從而產(chǎn)生學習的內(nèi)在動力.數(shù)學學習的最終目的是運用，加強應用能力的培養(yǎng)不僅是數(shù)學本身發(fā)展的需要，也是提高學生數(shù)學素質(zhì)的重要途徑.在工程數(shù)學教學中恰當?shù)剡\用應用實例正是加強學生應用能力培養(yǎng)的手段，具有可行性.

3.工程數(shù)學中的典型例題求解

解法1 利用洛朗級數(shù)展開式，首先構(gòu)造解析同心圓環(huán)形區(qū)域：1<|z|<+∞（C 包含于上述圓環(huán)形區(qū)域內(nèi)部，且有相同圓心），雖然滿足洛朗級數(shù)展開條件的圓環(huán)形區(qū)域是不唯一的，包括圓心及半徑都可以不同，但是為了計算方便，我們經(jīng)常選取同心圓環(huán).被積函數(shù)在上述圓環(huán)內(nèi)的洛朗級數(shù)展開式可依據(jù)下式計算得出：

綜合比較上述四種解法，各有其優(yōu)缺點.由于洛朗級數(shù)展開的方法變化較多，某些函數(shù)甚至無法用常用方法展開，所以解法1有一定局限性.表面上看起來解法2最簡潔，但實際上能夠利用柯西公式和高階導數(shù)解決的積分只占很少的一部分，因為滿足柯西公式和高階導數(shù)的被積函數(shù)類型是有非常強的限制條件的.

4.結(jié) 論

因此，同學們在求解沿閉曲線復變函數(shù)的積分時應該仔細分析被積函數(shù)和積分曲線的特征，根據(jù)具體題目靈活選擇合適的求解方法.就筆者看來，在工程數(shù)學課程中計算沿著閉曲線的復變函數(shù)積分時大家也應該很好的掌握與留數(shù)有關(guān)的解法，因為留數(shù)的計算不僅在復變函數(shù)部分很重要，而且在工程數(shù)學課程的最后與工程技術(shù)應用緊密相關(guān)的Laplace變換部分，很多Laplace逆變換的計算也是通過留數(shù)計算得出的.總而言之，洛朗級數(shù)展開方法并不僅僅是工程數(shù)學課程中一個相對獨立的部分，對于洛朗級數(shù)展開的詳細分析不但有助于我們分析理解復變函數(shù)奇點的分類，還有助于我們計算不同類型奇點的留數(shù)，進而可用來求Laplace逆變換等.相信通過本文對于上述兩種解法優(yōu)缺點的詳細分析與比較，一定能夠幫助讀者們進一步理解工程數(shù)學中洛朗級數(shù)展開方法在求解沿閉曲線積分計算中所起到的重要作用.