復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的教學(xué)剖析與例題設(shè)計

【摘要】本文對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的教學(xué)進(jìn)行了剖析，依據(jù)基本初等函數(shù)，精心設(shè)計了5組例題，并對例題的教學(xué)使用做了闡述，提高了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法；教學(xué)；剖析；例題設(shè)計

一、對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的剖析

函數(shù)求導(dǎo)法則中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，除本身就是一種重要的求導(dǎo)方法外，也是推出其他求導(dǎo)法的基礎(chǔ)（如隱函數(shù)求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法等）.從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的使用來看，由于中間變量的數(shù)量可以涉及多個，而且選擇靈活性大、技巧性強，具體的解題過程還常常隱去中間變量的書寫，所以，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法是整個函數(shù)求導(dǎo)法的重點和難點.

1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的核心關(guān)鍵詞——“中間變量”

①中間變量的選擇.準(zhǔn)確選擇中間變量，把復(fù)合函數(shù)“分解”為基本初等函數(shù)，是使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的前提，也是關(guān)鍵所在.否則，就無法使用復(fù)合求導(dǎo)法求導(dǎo)；②中間變量數(shù)量.復(fù)合函數(shù)的中間變量多數(shù)情況下可能多于一個，即復(fù)合關(guān)系有多層；③中間變量的書寫.初學(xué)時需要明確寫出中間變量，采取不用連續(xù)等號表示的解題過程；當(dāng)比較熟練后（特別是有多個中間變量時），解題過程卻是采用不直接寫出中間變量、用連續(xù)等號表示的“實用形式”；④使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的同時可能還涉及其他的求導(dǎo)法則.如求函數(shù)y=2xsinx2的導(dǎo)數(shù)就涉及乘法法則、求函數(shù)y=ln（x+x2+1）的導(dǎo)數(shù)中，在對中間變量u=x+x2+1求導(dǎo)時就涉及了加法法則.

2.例題設(shè)計存在的主要問題

例題的設(shè)計直接影響著教學(xué)的質(zhì)量，目前復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的教學(xué)例題普遍存在著以下問題：①例題設(shè)計沒有很好的體現(xiàn)基本初等函數(shù)的作用.目前教材中例題的呈現(xiàn)形式是多種函數(shù)類型、單個中間變量與多個中間變量、寫出中間變量和不寫出中間變量三種知識方法相互摻雜，客觀上增加了學(xué)習(xí)的難度.②教學(xué)的條理性、層次感體現(xiàn)的不夠.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的教學(xué)，分為只有一個中間變量的基礎(chǔ)層次和多個中間變量的熟練層次.③數(shù)學(xué)的思想和方法體現(xiàn)不夠.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，就是將其轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，要通過例題的示范，滲透化歸、類比等重要的數(shù)學(xué)思想和方法.

二、例題設(shè)計與呈現(xiàn)次序

經(jīng)過多年的教學(xué)探索，我們按照基本初等函數(shù)的呈現(xiàn)次序，圍繞中間變量的選擇這個核心，將整個教學(xué)過程分解為“基礎(chǔ)”與“熟練”兩個層次，設(shè)置下列5類例題.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

例1 冪函數(shù)系列

三、五組例題的使用

1.單組例題用于“初級”層次的教學(xué)

“初級”層次的教學(xué)目標(biāo)是：依據(jù)基本初等函數(shù)的類型，使學(xué)生能準(zhǔn)確的選擇中間變量，在使用法則求導(dǎo)、還原變量并化簡的基礎(chǔ)上，逐漸由明確寫出中間變量的“分析解題表示”過渡到不明確寫出中間變量“實用形式”，基本掌握復(fù)合求導(dǎo)的思想和方法，形成思維定勢.

①預(yù)前知識的復(fù)習(xí)與教學(xué)引入.對基本求導(dǎo)公式進(jìn)行拓展變形，為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法做好鋪墊.將基本求導(dǎo)公式中自變量的表示符號x換寫為字母u，t，v等，突破只用字母x表示自變量的思維定勢.

②例題的使用

1）例1 既用于法則的引入，也用于冪函數(shù)系列中間變量的確定.先讓學(xué)生思考，然后師生共同分析：（1）中的函數(shù)y=x+1可以使用加法法則求導(dǎo)，而y=（x+1）2，y=（x+1）3，可以按多項式的展開后使用加法法則求導(dǎo)；但y=（x+1）4與y=（x+1）n的求導(dǎo)那？隨著次數(shù)的增高，再用展開法就顯得比較麻煩，更重要的是沒有解法上的創(chuàng)新.分析這兩個函數(shù)的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)（以y=（x+1）n為例），只要令u=x+1，則函數(shù)y=（x+1）n就是y=un與u=x+1構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，而y=un與u=x+1都是基本初等函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)易求的（或者是已知的），那么y=（x+1）n的導(dǎo)數(shù)與y=un，u=x+1的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？這種情境式的引入方式，不僅起到引入復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的作用，重要的是讓學(xué)生體會復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法能起到化繁為簡、化難為易的目的，滲透化歸的數(shù)學(xué)思想和方法，通過師生互動，對形如y=[φ（x）]α（α≠-1）的冪函數(shù)，如何求導(dǎo)、如何選擇中間變量，學(xué)生很快就能掌握（要板書呈現(xiàn)求解過程）；

2）例2用于進(jìn)一步熟悉中間變量的確定規(guī)律.通過分析與引導(dǎo)，學(xué)生很快就能掌握形如y=eφ（x）或y=aφ（x）中間變量的選擇方法以及類似復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題；

3）例3—例5用于教師指導(dǎo)下的學(xué)生探索，進(jìn)一步掌握中間變量的確定規(guī)律以及公式的使用.在前兩個例題講解的基礎(chǔ)上，教師加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與提示，通過類比，學(xué)生很快就能解決例3—例5中函數(shù)中間變量的選擇方法及求導(dǎo).

以上5組例題，緊扣基本初等函數(shù)，只有一個中間變量，重點突出，便于總結(jié)規(guī)律，形成思維定勢；從教學(xué)方法上看，講練結(jié)合，學(xué)生有思考和動手的機會，較快的完成初級層次的教學(xué)目標(biāo)，為熟練層次的教學(xué)做好準(zhǔn)備.

小結(jié)如下：

4）拓展提高.涉及兩個方面：一是對上述例題的拓展變形，比如將正弦函數(shù)換成余弦函數(shù)、切函數(shù)、割函數(shù)又該如何選擇中間變量？也可以引導(dǎo)學(xué)生將u=φ（x）替換為其他的表達(dá)式（替換與求解過程可交給學(xué)生作為練習(xí)，既節(jié)省課堂時間，提高效率，又鍛煉學(xué)生的能力）；二是將寫出中間變量的解題過程轉(zhuǎn)化、換寫為不寫出中間變量的表達(dá)形式，熟練掌握只有一個中間變量時的求導(dǎo).

2.不同例題的組合用于熟練層次的教學(xué)

“熟練”層次的教學(xué)目標(biāo)是：要求學(xué)生面對多個中間變量的復(fù)合函數(shù)，突破第一層次的定勢思維，形成變勢思維.能針對不同類型的復(fù)合函數(shù)，用不寫出中間變量的“實用形式”，準(zhǔn)確、熟練的使用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.為達(dá)到這個目標(biāo)，突出本層次的教學(xué)重點，需要對例題進(jìn)行調(diào)整：①例題的組合使用.以前面的5類例題為基礎(chǔ)，適當(dāng)組合、搭配，構(gòu)造出多個中間變量的復(fù)合函數(shù)，用以熟練層次的教學(xué).如將例2的函數(shù)y=ex+1的指數(shù)x+1替換為例1中函數(shù)y=（2x+1）2即可得到y(tǒng)=e（2x+1）2，這就是一個具有兩個中間變量的復(fù)合函數(shù).這樣做的優(yōu)點是：以前面的教學(xué)為基礎(chǔ)，淡化計算，突出重點，不因復(fù)雜的計算和化簡干擾多個中間變量的選擇以及使用法則求導(dǎo).②適當(dāng)補充新例題.為形成變勢思維，真正掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的思想，可以重新設(shè)計部分新例題（或習(xí)題），用于結(jié)合其他的求導(dǎo)方法.如：求函數(shù)y=2xsinx2、y=ln（x+x2+1）的導(dǎo)數(shù)，等等（在此略）.

總之，如何進(jìn)行例題設(shè)計用于教學(xué)，是一個值得我們探討的問題.我們設(shè)計的5類例題，相互銜接、循序漸進(jìn).單組使用可以培養(yǎng)思維定勢；組合使用可以培養(yǎng)變式思維，對提高復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的教學(xué)質(zhì)量，效果良好.

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