數(shù)學(xué)：不妨給學(xué)生一場“邏輯的盛筵”

張鶴

北京高考試卷的命題者們是站在數(shù)學(xué)思維的高度向我們每一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師展示他們是如何認(rèn)識(shí)和理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的。2016年北京數(shù)學(xué)高考試題再一次向我們揭示出數(shù)學(xué)教育的目的：要培養(yǎng)會(huì)獨(dú)立思考數(shù)學(xué)問題的人、掌握解決數(shù)學(xué)問題一般方法的人、能夠享受數(shù)學(xué)邏輯之美的人。

讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度理解問題本質(zhì)

北京高考試卷的第8題歷年都是一個(gè)考查學(xué)生邏輯思維能力的題目，它不以計(jì)算能力的考查作為命制試題的目的，而是“多考思維，少考計(jì)算”——北京卷的一大特色和亮點(diǎn)。這些考題的一個(gè)共同點(diǎn)是：提供一個(gè)問題的背景（有數(shù)學(xué)方面的，也有實(shí)際生活情境），提出一個(gè)具有探索性的問題。學(xué)生若要解答這一類問題，需要能夠在理解問題背景的前提下探索問題的規(guī)律與本質(zhì)。這類問題關(guān)注的是學(xué)生理解問題、分析問題與解決問題的能力，需要學(xué)生具備研究問題的意識(shí)，需要學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有邏輯性，需要學(xué)生能夠綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。綜觀歷年的數(shù)學(xué)高考第8題，2011年理科卷考察的是平行四邊形內(nèi)部的整點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，文科卷則是以拋物線為背景、以三角形的面積為定值的三角形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；2012年是果樹年平均產(chǎn)量問題；2013年的數(shù)學(xué)高考結(jié)合正方體，文理科分別設(shè)置了不同的數(shù)學(xué)問題讓學(xué)生去探索；2014年理科卷是成績評(píng)定問題，文科卷則是爆米花最佳加工時(shí)間問題；2015年理科卷是汽車的“燃油效率”問題，文科卷則是汽車平均油耗量問題。今年的第8題仍然注重結(jié)合實(shí)際情境考查學(xué)生的邏輯推理能力。文科試卷的第8題選擇學(xué)生熟悉的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩為問題情境，理科試卷的第8題情境則是學(xué)生在解決概率問題中經(jīng)常遇到的摸球游戲。

可以看出，今年的北京卷第8題沒有給考生設(shè)置什么深?yuàn)W的、抽象的數(shù)學(xué)背景，反而是以學(xué)生都能理解的實(shí)際問題或熟悉的數(shù)學(xué)對象作為鋪墊，簡潔地陳述問題，以便學(xué)生能夠自然地將實(shí)際背景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。解決這個(gè)問題的關(guān)鍵在于學(xué)生要能夠從數(shù)學(xué)思想與觀點(diǎn)的高度理解問題的本質(zhì)，而這正是數(shù)學(xué)教育所承擔(dān)的使命。

從第8題反觀我們當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)，不得不承認(rèn)，我們的學(xué)生缺少經(jīng)歷思考問題、解決問題的過程，缺少從實(shí)際問題出發(fā)提煉出數(shù)學(xué)問題的體驗(yàn)。反思我們自己編制的一些試題或練習(xí)題時(shí)，還發(fā)現(xiàn)我們?nèi)鄙僖环N靈氣，沒能更好地讓學(xué)生從解決問題中感受邏輯思維的力量。這其實(shí)是北京高考試卷第8題帶給我們的啟示，或者說是樹立的一個(gè)追趕的目標(biāo)。

讓學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)科思維

北京高考試卷的第14題關(guān)注對數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科思維特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)和把握。這七年來，北京卷的第14題一直讓我們感受到數(shù)學(xué)問題本身所帶來的精神愉悅，讓我們體會(huì)到數(shù)學(xué)教學(xué)所應(yīng)該達(dá)到的境界。可以看出，今年的14題繼承了2010年以來的北京數(shù)學(xué)卷第14題的特點(diǎn)，準(zhǔn)確把握了數(shù)學(xué)學(xué)科的思維特征與研究方法。

我們以理科的14題為例，這道題目是通過所給出的一個(gè)分段函數(shù)的性質(zhì)來確定與自變量x取值有關(guān)的參數(shù)取值范圍?？梢钥闯觯}目要考查的是學(xué)生能否從函數(shù)解析式中得到函數(shù)的性質(zhì)，以及是否能運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問題。從對學(xué)生的能力要求來看，我們的教學(xué)要能夠達(dá)到這樣的目標(biāo)：學(xué)生要有能力研究出一個(gè)確定的函數(shù)解析式的最基本的性質(zhì)，并能夠把這些性質(zhì)通過函數(shù)的圖象體現(xiàn)出來；如果給一個(gè)帶參數(shù)的函數(shù)解析式，也就是還沒有確定的函數(shù)解析式，學(xué)生要知道如何根據(jù)函數(shù)圖象的幾何特征去確定參數(shù)的范圍，從而確定函數(shù)的性質(zhì)。學(xué)生面對明確的函數(shù)的解析式往往只會(huì)把它作為計(jì)算函數(shù)值的一個(gè)公式，沒想過通過這個(gè)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，而對于不確定的函數(shù)解析式，對于還在變化中的函數(shù)圖象，學(xué)生遇到的困難會(huì)更大。如果我們的學(xué)生經(jīng)過近一年的復(fù)習(xí)還沒有確立研究問題的意識(shí)，還沒有掌握研究函數(shù)的基本方法，今年的第14題，包括今后的第14題，對學(xué)生而言都會(huì)是一道難題。

教師最重要的職責(zé)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考數(shù)學(xué)問題并解決數(shù)學(xué)問題。而要落實(shí)這一點(diǎn)，就應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)從最基本的數(shù)學(xué)概念出發(fā)去理解數(shù)學(xué)問題；從數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)上去思考數(shù)學(xué)問題；用符合研究數(shù)學(xué)問題的一般方法去解決問題。北京卷的第14題（包括解答題的函數(shù)題：理科18題，文科20題）帶給我們教師的啟示是：函數(shù)教學(xué)（包括函數(shù)復(fù)習(xí)）最重要的任務(wù)之一就是要培養(yǎng)學(xué)生研究函數(shù)性質(zhì)的意識(shí)及方法。要讓學(xué)生樹立研究性質(zhì)的意識(shí)，關(guān)鍵在于教師提供復(fù)習(xí)素材，在學(xué)生的復(fù)習(xí)偏離正確軌道的時(shí)候，及時(shí)地進(jìn)行糾正并給出有針對性的指導(dǎo)。

讓學(xué)生掌握解決數(shù)學(xué)問題的基本方法

一份好的數(shù)學(xué)試卷往往把考查的重點(diǎn)放在考生是否真正地掌握了數(shù)學(xué)學(xué)科的思維特點(diǎn)、是否掌握了數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方法和解決數(shù)學(xué)問題的基本方法上。2016年的北京高考試卷就是如此，以下結(jié)合立體幾何試題的考查特點(diǎn)進(jìn)行分析。

這份試卷對立體幾何的考查目標(biāo)非常明確，就是要檢驗(yàn)考生的立體幾何的思維是否落實(shí)?？臻g想象能力不能簡單地理解為識(shí)圖能力或觀察能力，它是一種數(shù)學(xué)的思維能力，這種能力體現(xiàn)在學(xué)生對空間中幾何元素點(diǎn)、直線、平面及由這些基本元素所構(gòu)成的空間幾何體的位置的確定。如理科試卷的第7題給出了某三棱錐的三視圖，求該三棱錐的體積。這看似是一道計(jì)算題，但是要算出這個(gè)三棱錐的體積，學(xué)生首先要知道這是一個(gè)什么樣的三棱錐。而判斷的依據(jù)僅僅是這個(gè)三棱錐的三視圖（三視圖由三個(gè)平面圖形組成，是從三個(gè)方向?qū)臻g幾何體進(jìn)行投影所得到的）。學(xué)生需要從三視圖中分析三棱錐的幾何特征，也就是構(gòu)成這個(gè)三棱錐的點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，從而得到它的直觀圖。盡管這個(gè)思維過程本身非常抽象并且具有一定的難度，但是將三棱錐的體積這樣一個(gè)非常具體的數(shù)據(jù)作為評(píng)判的依據(jù)，有效地考察了學(xué)生的思維能力。

從七年來的北京試卷看，運(yùn)用三視圖來考查學(xué)生的立體幾何的思維能力一直是高考命題者們的目標(biāo)。如2010年的試題，題目給出了一個(gè)長方體去掉一個(gè)小長方體之后的正視圖和側(cè)視圖，讓學(xué)生從四個(gè)選項(xiàng)中找到這個(gè)幾何體的俯視圖。顯然，解題的關(guān)鍵在于考生要能夠結(jié)合題目對幾何體的幾何特征的基本描述以及三視圖中的兩個(gè)平面投影圖形，抽象得出這個(gè)幾何體的直觀圖，進(jìn)而找到其俯視圖。2015年的第5題與今年的第7題類似，是通過一個(gè)三棱錐的三視圖求其表面積，只不過從幾何體的特征看，今年的三棱錐的幾何特征更復(fù)雜一些而已。同樣，今年文理科的立體幾何解答題考查的都是通過一個(gè)明確了部分幾何特征與數(shù)量關(guān)系的四棱錐，讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究這個(gè)幾何體的其它幾何特征與數(shù)量關(guān)系。

一些學(xué)生在解答立體幾何題的時(shí)候，常常是匆匆掃一眼題目的條件，對所要研究的幾何體還沒有太深刻的思考就開始解答題目。由于缺乏對幾何體的整體分析，很難對所面臨的問題有一個(gè)圓滿的解決方案。這次立體幾何解答題進(jìn)一步明確了立體幾何教學(xué)的方向和目標(biāo)，那就是：教師應(yīng)該以空間幾何體為載體，幫助學(xué)生掌握研究幾何體的基本方法：首先從圍成的空間幾何體的面去分析是什么樣的平面圖形，側(cè)面與底面具有什么樣的位置關(guān)系，側(cè)棱與底面具有什么樣的位置關(guān)系，進(jìn)而分析空間幾何體中比較重要的截面與其它面之間的位置關(guān)系、幾何體的棱及體對角線之間的位置關(guān)系等。要讓學(xué)生體會(huì)到，研究空間幾何體的重要前提，是對于空間幾何體的線、面位置關(guān)系能夠進(jìn)行比較細(xì)致的研究并做出準(zhǔn)確的判斷。

通過對今年北京高考數(shù)學(xué)試卷的分析，我們得到的最深刻的感悟是：要提升高中數(shù)學(xué)課的教學(xué)質(zhì)量，我們要有理性，要有邏輯，要讓我們的課堂充滿智慧。課堂教學(xué)一定要能夠揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要能夠從觀念上啟發(fā)學(xué)生去深入地、科學(xué)地思考數(shù)學(xué)問題；要讓學(xué)生能夠領(lǐng)悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是靠記憶，學(xué)得好不好與記不記得住公式?jīng)]有必然的聯(lián)系。作為教師，我們一定要清楚：要想取得好成績，需要保證每一節(jié)課的高質(zhì)量；要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)的邏輯之美，需要保證教師教學(xué)的思維含量。