孫亞慶
物體間通過力的相互作用,交換運動,也彼此制約著對方的運動。牛頓第二定律是為它們之間相互作用,相互交換運動制定的共同遵守的法律約定合同,是它們平等運動于宇宙時空的行為準則,不得違背。牛頓第二定律是力學中進一步向能量守恒和動量守恒方向發(fā)展的基石,是物理學最為基礎(chǔ)的知識。學好它是物理學第一位的任務(wù)。
一、應(yīng)用牛頓第二定律解題的一般步驟
(1)確定研究對象,分析它的受力情況,畫出受力圖。注意不能遺漏任何一個力,又要避免重復,因為物體最終所獲得的加速度為所有外力共同作用的結(jié)果。
(2)找出所受外力的合力表達式,采用正交分解。通常其中一坐標軸選為加速度所在的方向比較容易計算。
(3)應(yīng)用牛頓第二定律列出方程,求解作答。在求解過程中,一般先進行字母運算,得出解答的一般形式,然后再代入數(shù)值進行計算,這樣不但可以減少煩瑣的數(shù)字運算,而且還能獲得題中相關(guān)量之間的變化關(guān)系。
(4)對結(jié)果在各種條件下進行討論,達到舉一反三的效果。
二、單個質(zhì)點的動力學問題
例1、一木塊能在與水平面成α角的斜面上勻速滑下,若使它以初速度v0沿此斜面向上滑動,試證它能上滑的最大距離
解:(1)先分析木塊勻速下滑的過程,木塊受重力G、彈力N,動摩擦力f,如圖1-a所示,運用正交分解有
又f=u·N
解得:
(2)用同樣的方法分析木塊的勻減速上滑過程,受力如圖1-b所示,根據(jù)牛頓第二定律得:
其中f=u·N=G·sinα
解得:a=2g·sinα(1)
由運動力學規(guī)律和(1)式得:
v02=2a·s
討論:①如果tanα=u,即斜面傾角滿足此條件式時,木塊正好能勻速下滑。
②如果tanα>u,物體將勻加速下滑。
③如果tanα
三、多個質(zhì)點構(gòu)成的物體系的動力學問題
上面討論的是單個質(zhì)點的動力學問題,但是在實際問題中,會經(jīng)常遇到幾個有相互作用力的物體系的動力學問題,這種情況一般都采用“隔離法”來求解。
所謂“隔離法”就是根據(jù)需要把研究對象從整個物體系中“隔離”出來,當作單個質(zhì)點問題審查處理。具體步驟如下:
(1)選擇“隔離體”。一般先選已知條件比較齊全的物體作為“隔離體”,后選其它的物體。
(2)根據(jù)牛頓第二定律解題的一般步驟,對每一個“隔離體”運用正交分解法列方程。
(3)如果獨立方程的個數(shù)少于未知量的個數(shù)時,要考慮相互聯(lián)系著的個體之間的作用力與反作用力的相等關(guān)系。
(4)為了解答相互聯(lián)系著的物體的動力學問題,還必須寫出由運動學條件所確定的各“隔離體”之間的加速度關(guān)系。通常情況下,各連接體的位移、速度、加速度全都相等。
例2、一條輕繩子跨過定滑輪,在輕繩子的兩端各掛有物體A、B,如圖-2示,已知mA=0.5kg,mB=0.1kg,開始時物體A離地面h=35cm。
求:(1)A物體下落的加速度大???
(2)A物體落地時的速度大???
(3)A物體落地后,B物體還能繼續(xù)上升多高?
解:(1)根據(jù)牛頓第二定律有:
對于A:GA-T=mA·aA①
對于B:T-GB=mB·aB②
據(jù)題意有aA=aB=a,由①+②得GA-GB=(mA+mB )·a③
③式所表達的含義是將A和B視為一整體,內(nèi)部之間通過繩子的相互作用力已彼此抵消,運用牛頓第二定律得出的結(jié)果,即:A+B=AB.
(2)A物體拖著B物體從靜止開始勻加速下降,加速距離為h,最終得到的落地末速度為:
(3)A物體著地后,繩子失去對B的拉力,B僅受重力,開始以初速度Vt作豎直上拋運動,直至速度減為0
例3、質(zhì)量m1=4kg和m2=8kg的兩個物體,用一輕繩相連,沿著傾角為30°的斜面下滑,如圖-3示,若m1與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.25,而m2與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.50。
求:(1)各個物體的加速度?
(2)繩的拉力?
解:(1)由于繩的牽連,m1和m2具有相同的加速度a,可視為整體,如圖-3a示,根據(jù)牛頓第二定律有:
(m1·gsin30°+m2·gsin30°)-(m1·gcos30°u1+m2·gcos30°u2)=(m1+m2)·a
上式第一項g·sin30°為重力的分力——下滑力產(chǎn)生的沿斜面向下的加速度,后面兩項和為動摩擦力產(chǎn)生的沿斜面向上的加速度。可見每個力都對加速度有貢獻,少算或多算任何一個力都不行,因為這相當于少算或多算了它們各自對加速度的貢獻,肯定是錯的。
(2)要計算繩子的拉力,需從繩子處分割開,單獨研究m1或m2,把繩子的拉力變成它們的外力才可以。因為內(nèi)力是物體內(nèi)部各部分之間的力,彼此間抵消,對整個物體不產(chǎn)生加速度效應(yīng)。只有外來的力才一定對物體產(chǎn)生一定的加速度。
“隔離”出m1,受力如圖-3b示:
根據(jù)牛頓第二定律有:
對于連接體問題,一般先采用“整體法”求出加速度,再用“隔離法”求出彼此之間的作用力。要得出正確的結(jié)果,準確的受力分析是關(guān)鍵。
拓展思考:如果兩物體與斜面間摩擦因數(shù)相等,兩物體將如何運動?T是多大?
例4、如圖-4,A靜止于光滑的水平面上,板A與物體B質(zhì)量依次為M、m,若物體相對于水平面的初速度為v0,物體B與A板間的動摩擦因數(shù)為u,A木板長為L,B物體的長度忽略不計,求:(1)物體A和B板的加速度;(2)初速度v0滿足什么條件時,物體B最終不從A板上滑下來。
解:(1)由于A和B的加速度不相等,只能用“隔離法”單獨研究,對于A受力如圖-4a示,
對于B,受力如圖-4b示,
u·mg=m·aB
aB=u·g
很顯然彼此之間的動摩擦力雖然相等,但作用在質(zhì)量不等的兩個物體身上,各自獲得加速度并不相等。
(2)要使物體B不從A板上滑下來,必須滿足當A和B最終的速度相等再不發(fā)生相對滑動時,B在A上滑過的距離不大于L。
設(shè)它們的最終速度為V,根據(jù)題意有:
聯(lián)解得:
拓展思考:如果B在A上滑過的距離大于L,B最終能從A上滑出,A、B各自的滑出速度如何算?