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    數(shù)形結(jié)合妙解數(shù)學難題

    2016-05-14 10:11:14陸蕓婷
    理科考試研究·初中 2016年9期
    關鍵詞:圖象數(shù)形習題

    陸蕓婷

    隨著課程改革的不斷深入,要求老師在教學中不僅僅要提高學生的數(shù)學成績,也要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思想.而在初中的學習階段,數(shù)形結(jié)合就是一種極其重要的數(shù)學思想,對學生的解題能力的提升有十分巨大的作用.數(shù)形結(jié)合的應用大致可以分為兩種情況.一是利用數(shù)的精確準確性質(zhì)來表現(xiàn)形當中的某些特征或?qū)傩?,這就是用“數(shù)”來解釋“形”;二是利用形的直觀性簡潔明了的特征來描述數(shù)與數(shù)之間的某種特定聯(lián)系,這就是用“形”來幫助“數(shù)”.筆者具有多年初中數(shù)學教學經(jīng)驗,對如何在課堂教學中以及習題訓練中培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想具有一定的研究,下面談一談自己的幾點心得體會,不足之處,敬請斧正.

    一、不等分析,妙求解集

    在數(shù)學教學中,作為老師我們不應該只是將數(shù)學知識傳授給學生,而是應該盡自己最大的能力讓自己的學生養(yǎng)成某種合適的方便的簡潔的解題習慣.數(shù)形結(jié)合的思想就是一種不錯的選澤,老師要學會在教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想,使學生能夠利用這一思想為自己解題謀求最大的便利.

    數(shù)形結(jié)合應用范圍十分廣泛,對各類題型的解題都有一定的幫助,尤其是在不等式的相關問題中,更能起到意想不到的作用,能夠幫助學生快速分析題目,對提高學生的解題速度大有益處,取得良好的效果.例如,當我們在學習解絕對值不等式這部分知識時,同學們都會遇到這樣的題目:不等式|x+2|+|x-3|>5的解集是.這是一道常見的數(shù)形結(jié)合的題目,在解題之前我們一定要弄清楚絕對值的幾何意義.數(shù)軸上表示數(shù)x的點離開原點的距離,就記作|x|.那么同理|x+2|就表示數(shù)x的點和數(shù)-2的點的距離,在學生弄清楚這些之后再進行題目分析.當遇到這種題目,學生的第一想法都應該是數(shù)形結(jié)合,根據(jù)已知條件畫出數(shù)軸再進行下一步考慮,如下圖所示.在數(shù)軸上我們可以看出,-2與3的距離就是5,所以點x不能出現(xiàn)在-2和3之間,也包括-2和3這兩個點.所以x只能出現(xiàn)在-2點的左側(cè)以及3點的右側(cè),只有這樣不等式才會成立,故而原不等式的解集就是x>3或x<-2.通過這種方法我們可以看出,數(shù)軸的畫出使問題的求解方向十分明確,x點的位置被-2和3這兩個點分為三段,學生只要依次進行考慮即可,出錯概率會大大降低.當然還有一點要注意,那就是-2和3這兩個點,有的同學總是忽略這兩個點的存在,對于大于號和大于等于號或者小于號和小于等于號分不清楚,導致解題失敗,這種情況一定要避免.

    通過數(shù)形結(jié)合的方法,使得求解解集的題目變得異常簡單,學生理解起來也會十分容易.掌握熟練的同學還能在其中發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合之美,在各類題型中總會不自覺地將其應用,提高自己的解題能力.

    二、函數(shù)關系,巧求范圍

    函數(shù)問題由于具有抽象性,所以對于初中生來說掌握起來是較為困難的,需要學生擁有強大的空間想象力,才能夠?qū)⑦@部分知識掌握透徹.所以當老師在講解函數(shù)部分知識時,一定要放慢速度,關注學生的掌握情況,通過老師不斷的努力幫助學生打好函數(shù)的基礎,以便將來在中考中取得佳績.

    在學習過程中,學生們就會發(fā)現(xiàn)函數(shù)關系與圖象是同時存在的,所以在解決函數(shù)的相關問題時,很容易聯(lián)想到采用數(shù)形結(jié)合的方法,但是當遇到具體的題目時,還是需要根據(jù)題意一步一步地解決.很多學生只要看出是采用數(shù)形結(jié)合的方法解題之后,就不再動手去計算去求解,這是一種錯誤的學習方式,需要老師去提醒糾正.例如,老師在習題訓練課中都會給同學們布置這樣的作業(yè):如果方程4x2-2x+k=0的一個根大于-3并且小于1,另一個根大于1并且小于3,請求出k值的取值范圍.很明顯這道題可以與函數(shù)的知識相聯(lián)系起來,我們可以設y=4x2-2x+k,之后簡要畫出其函數(shù)圖象,再根據(jù)已知內(nèi)容進行求解,如圖2所示.根據(jù)題干中的兩根情況,再結(jié)合圖象中的位置關系,我們可以得到這樣一個方程組:即y(x=-3)>0、y(x=1)<0、y(x=3)>0.將數(shù)據(jù)代入其中,就可以得出-30

    通過函數(shù)的構(gòu)造并且與函數(shù)圖象相結(jié)合,再利用已知條件,可以創(chuàng)造合適的解決問題的方法,使復雜難懂的問題得到簡化,學生分析起來也會十分輕松,有利于學生快速尋到答案.

    三、幾何證明,速證大小

    幾何問題也是初中學習的重點內(nèi)容,在各年中考題目中都會有所體現(xiàn),所以老師也要加強學生幾何問題的分析能力,為取勝中考奠定基礎.在幾何的學習中,證明問題一直是學生的弱項,老師也要想方設法提高學生的證明能力,而在有些題型中也可以應用數(shù)形結(jié)合的思想,幫助學生分析幾何難題.

    幾何證明題的種類繁多,學生在進行中考之前一定都進行過大量的習題訓練,都有一定的解題經(jīng)驗.其中有一部分證明題可以利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決,需要老師引起注意,提醒學生對這類題目一定要重點把握,尤其是這種解題思維更要熟記于心.例如,在總復習的過程中,很多同學都會練習到這樣的題目:如圖3所示,有一個正方形ABCD,過其頂點C任意作一條直線,并且分別與AB、AD的延長線交于點E和點F.求證:AE+AF≥4AB.

    乍一看題目,給出的是圖形,卻要我們證明數(shù)量關系,很多同學都會覺得無從下手.但是如果同學們仔細分析,就可以發(fā)現(xiàn)需要在數(shù)的方向進行求解.根據(jù)題意,這是一道證明數(shù)量關系的題目,所以我們要選擇從“數(shù)”的方面下手.首先設AB=a,AE=m,AF=n,再連結(jié)AC.由圖可知,三角形AEF的面積為三角形AEC和三角形AFC二者之和,由此可以列出式子,即12mn=12am+12an,所以mn=a(m+n).接下來,我們可以設m+n=p,而mn=ap,所以m和n是方程x2-px+ap=0的兩個根.再加上m和n肯定為實數(shù),并且p>0,所以Δ=p2-4ap≥0,即p≥4a,所以m+n≥4a,這樣AE+AF≥4AB就得到了證明.

    這道題目與之前的兩道題就有明顯的不同,前兩道題目都是在“數(shù)”的方面的進行分析比較難以下手,所以選擇以“形”為突破口.而這道題則是直接在“形”的方面進行分析難以下手,進而才選擇在“數(shù)”的方面作為突破口.這就是數(shù)形結(jié)合思想在解題中應用的兩種方式,需要同學們都能夠掌握清楚.

    本文主要討論數(shù)形結(jié)合思想在不等式、函數(shù)以及幾何問題中的應用情況,需要老師引導學生對數(shù)形結(jié)合的思想有一個正確的認識.在解題過程中,注意培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的學習習慣,讓學生形成正確的慣性思維,使其能夠為自己的解題提供方便.

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