創(chuàng)設(shè)“爭議”情境，引導合理分類——以一道例題的教學為例

☉江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學　杭超峰

?

創(chuàng)設(shè)“爭議”情境，引導合理分類——以一道例題的教學為例

☉江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學杭超峰

在我們所遇到的數(shù)學問題中，有些問題會因為題目條件的多重指向而導致結(jié)論不唯一，此時就需要我們對此中存在的多種情形逐一說明，這就是分類討論.在初中階段，對學生的數(shù)學學習和問題解決而言，分類討論是一種重要而常見的思想，影響著學生對數(shù)學問題的解決和數(shù)學思維的發(fā)展.為了幫助學生充分感悟分類討論思想，并形成分類討論的自覺意識，我們可以在例題教學中有意設(shè)置有“爭議”的情境，讓學生體會到分類討論的必要性和有效性.下面就結(jié)合一道例題的教學來談?wù)劰P者的做法，希望能給您帶來一些啟示.

一、一道例題的教學歷程

1.例題及分析

例題如圖1，作射線OC垂直于∠AOB的邊OA，作射線OD垂直于邊OB，猜想∠COD與∠AOB的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖1

分析：這道題目是在學生學習了相交線之后呈現(xiàn)的，意在幫助學生鞏固垂線的作法、垂直的定義、同角的余角相等、互補的定義等知識.由于題目沒有明確提出所要作出這些射線的具體位置，因此，解題時還需要對射線的位置進行分類討論，此外，題中對“∠COD與∠AOB的數(shù)量關(guān)系”的探究還會涉及整體思想.顯而易見，這道例題的解答不僅要用到學生近期獲得的絕大多數(shù)幾何知識，還需要學生具有較強的作圖技能，對數(shù)學思想的應(yīng)用也有著很高的要求.

2.例題教學簡錄及分析

教師首先安排學生自主閱讀例題，并讓學生將自己獲得信息在小組中進行了交流.3分鐘后，全班交流結(jié)束.

教師：根據(jù)題意，要解決這道例題，我們應(yīng)該先做什么？

學生（齊）：作圖！

教師：是的！我們應(yīng)該先作出射線OC和OD.請一位同學來將射線OC作出來！

學生1到黑板上板演作圖，當他從點O向上作出圖2中的射線OC1后，立即回到自己的位置上.此時，部分學生在下面小聲嘀咕，教師立即請其中一名學生發(fā)表自己的看法.

學生2：我覺得OC還可以從點O往下作.

教師：（很驚訝的樣子）啊！這里難道還要分類討論嗎？

學生3：對！題中并沒有明確OC的位置，只要滿足“OC垂直于∠AOB的邊OA”，怎么作都可以.所以，這里還可以從點O往下作出與OA垂直的射線.

教師：你來將它作出來.

學生3到黑板上從O點往下作出與OA垂直的射線OC2，如圖2.

教師：OD又該怎么作呢？

學生4：根據(jù)作OC的經(jīng)驗，OD也應(yīng)該有兩個方向.

教師：哪兩個方向？

圖2

學生4：從點O往OB的左上方作垂線或者從點O向OB的右下方作垂線.

教師請這名學生在黑板上作出OD1和OD2，如圖2.教師：你能清晰地（教師聲調(diào)提高，語氣加重）說出圖2中∠COD與∠AOB的數(shù)量關(guān)系嗎？

（由于多種情形混在一起，學生有些猶豫）

教師：原本簡單的圖1，在添加了四條射線后，復雜了不少，這給我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論、說明理由帶來了困難，有沒有什么辦法突破這一障礙呢？

學生5：我們可以將圖形分類呈現(xiàn).教師：好的！怎樣分類呢？

學生6：可以根據(jù)線的方向分類.

教師：具體說說！

學生7：可以分為“從點O向上作射線OC1、OD1”（學生作圖，下同，如圖3），“從點O向上作射線OC1，向下作射線OD2”（如圖4），“從點O向下作射線OC2，向上作射線OD1”（如圖5），“從點O向下作射線OC2、OD2”（如圖6）等四種情形.

圖3

圖4

圖5

圖6

教師：非常棒！因為作圖產(chǎn)生“爭議”，我們有必要根據(jù)射線的位置分類作圖，并分別探究“∠COD與∠AOB的數(shù)量關(guān)系”.接下來，就請大家根據(jù)這四個圖形逐一探討.

……

簡析：學生閱讀例題，初步感知本題的條件和結(jié)論，知道問題解決過程中需要解決哪些問題，這是引發(fā)“爭議”的起點.在接下來的教學中，教師追問“要解決這道例題，我們應(yīng)該先做什么”，讓“作圖”這一“爭議點”非常自然地走進了學生的視野.學生1的作圖結(jié)果是教師能夠預估到的，也是教師所期待的結(jié)果，只給出一個方向的OC，就給其他學生留下了探討的話題，“OC還可以從點O往下作”隨之出現(xiàn)，OC的兩個不同位置隨著學生思維爭辯中很快得出.類比OC的作法，無用再議，OD也應(yīng)有兩種不同的位置.據(jù)此一幅包含所有情況的圖形（圖2）便展示在學生的眼前，用這幅圖來解決問題顯然不是教師想看到的.因此，接下來教師引導學生再次從“線的方向”對這個綜合圖形進行分解，有序地呈現(xiàn)出所有可能出現(xiàn)的情形（圖3～圖6），這四幅圖成為學生解決問題的終極抓手，能夠順利求解自不必說.細細分析教師的教學歷程不難發(fā)現(xiàn)，為了引導學生進行合理分類，教者將文本與圖形緊密關(guān)聯(lián)在一起，以一個有爭議的話題引發(fā)了學生的思考，讓學生在圖文互換中感知到分類的必要性和有效性，進而形成了有理有據(jù)的四種情形.這樣的教學，其成效必定是顯著的.

二、三點感悟

1.創(chuàng)設(shè)合理爭議焦點，引導學生經(jīng)歷分類討論過程

例題是學生獲得與應(yīng)用數(shù)學“四基”的最重要的載體，是教師教和學生學的最主要的抓手.因此，例題教學也就應(yīng)該成為教師滲透分類討論思想的主要“陣地”.為了達成讓學生感悟分類討論思想的目的，我們設(shè)計教學時，應(yīng)重視創(chuàng)設(shè)能夠引發(fā)學生分類討論的“爭議點”，讓討論成為問題解決的自然需要，并隨著問題探究的深入十分自然地“嵌入”到思路的分析與問題的解決過程中來.以上面的例題為例，題目難度并不大，但因為沒有給出固定的圖形，因而，作圖就成為學生解題必須完成的步驟.當作圖成為學生解題的需求后，怎么作就成為必須解決的問題，這時就要對可能出現(xiàn)的多種情形進行逐一討論.分類討論一點不“做作”地進入到問題解決的過程之中，一切都是那么地“水到渠成”.分析教學歷程不難發(fā)現(xiàn)，執(zhí)教老師對可能引發(fā)學生產(chǎn)生“爭議”的焦點是非常清楚的，教學中，他首先讓學生自己閱讀例題，讓他們對例題的條件和結(jié)論有了較為清晰的認識，接下來的引導看似隨意之作，實則是一種“有預謀”的故意引導，學生在教師的追問下一步步走向了預設(shè)的“教學陷阱”，“還要分類討論”的話題被順利引出，“分類討論是必要的”得到了全體學生的認同.在師生的共同努力下，所有的可能都呈現(xiàn)在圖2中，復雜的圖形讓學生進一步體會到了分類的必要，在教師進一步追問下，分類的標準明晰了，所有的圖形有序地展示在學生眼前.應(yīng)該說，教師的引導與學生的展示在這則例題的教學中相得益彰，師生的共同努力使得分類討論從“幕后”走向了“前臺”.

2.堅持長期教學引導，幫助學生形成分類的意識

數(shù)學思想，一般與數(shù)學問題緊密關(guān)聯(lián).在初中階段的教學中，我們一般會將數(shù)學思想教學融入到問題解決過程之中，以例題教學引導數(shù)學思想的自然滲入.分類討論作為初中階段最為重要的數(shù)學思想，理應(yīng)成為教師教學的關(guān)注點，將其不斷滲透到常態(tài)教學之中，以便學生在數(shù)學學習與問題解決中形成自覺的分類意識.為此，我們在進行教學設(shè)計時，應(yīng)反復推敲即將落實的教學內(nèi)容，找尋分類討論思想的教學切入點，哪怕是極小的機會也絕不放過.比如，在“有理數(shù)”單元教學中，我們要始終將“可以從正反兩個角度來分析問題”作為分類討論教學的切入點，在教學絕對值時，要引導學生關(guān)注原點是數(shù)軸上正負數(shù)的分界點，絕對值為a（a>0）的數(shù)應(yīng)分布在數(shù)軸的兩側(cè)，如此反復強調(diào)，遇到絕對值時，學生自然會形成自覺的分類意識；再如，在用“疊合法”比較線段大小時，在演示線段疊合前，我們可以提問“會出現(xiàn)哪些結(jié)果呢”，這樣的問題是順著情境出來的，十分自然，學生稍加思考便會給出“有三種結(jié)果”，此時教師稍加引導，便可抽象出兩條線段間可能存在的三種大小關(guān)系，這是學生必須獲得的基礎(chǔ)知識，但比這些基礎(chǔ)知識更為重要的分類討論思想已經(jīng)巧妙地滲透到教學之中.這樣的例子還有很多，只要老師們在教學中能將分類討論思想與知識教學、技能訓練相機融合，分類討論早晚會變成學生的自覺意識，進而轉(zhuǎn)化為實實在在的學習力和解題力.

3.強化自主追問訓練，培養(yǎng)學生完美求解的習慣

合作交流下的探究是學生獲取數(shù)學結(jié)論的重要途徑，本文中就是沿著這條途徑完成例題教學的.然而，數(shù)學問題的解決并不可能都如本文中所敘述的那樣順利，數(shù)學結(jié)論的獲得及應(yīng)用，更多的還是要依賴于學生的獨立思考.所以，我們應(yīng)將發(fā)展學生獨立思考的能力與習慣，作為數(shù)學教學的核心任務(wù)加以落實.較強的自主追問意識和能力是學生獨立思考能力的重要組成部分，也是分類討論思想得以“落地生根”的基本保證.因此，當下教學，我們應(yīng)著力培養(yǎng)學生自主追問的習慣，要依靠例題教學與解題訓練，強化自主追問訓練.我們可以以數(shù)學問題的獨立思考和自主解答為抓手，不斷引導學生從問題的條件和結(jié)論兩個方面展開思考，通過對問題的條件和結(jié)論的反復推敲，盡最大可能將所有可能的情形都囊括到學生個體的思維中去，從而實現(xiàn)數(shù)學問題的完美解答.為此，我們可以長期使用幾乎一致的問題串引導學生展開思考，比如，還有其他情形嗎？圖形會不會變化呢？數(shù)值會不會改變？條件間還有其他組合嗎？在學生獲取解題思路和形成解題步驟的過程中，通過這些問題的反復追問，不僅可以有效避免漏解現(xiàn)象的發(fā)生，還能讓學生感受到分類討論的應(yīng)用價值，形成嚴謹思考并完美求解的數(shù)學思維與解題習慣.

三、結(jié)束語

分類討論是一種數(shù)學思想，從長遠上看，它還是學生認知客觀世界的一種非常重要的方法.因此，對分類討論數(shù)學思想的教學應(yīng)該引起包括筆者在內(nèi)的所有一線教師的高度重視.為了讓學生感悟這一思想，并形成分類的自覺意識，我們應(yīng)與其他數(shù)學思想的教學一樣，在細微處不斷滲透：概念教學，巧妙創(chuàng)設(shè)爭議情境，以分類討論實現(xiàn)概念的完美生成；解題教學，合理編排教學例題，以分類討論實現(xiàn)問題的完美解答；綜合實踐，靈活設(shè)計實踐項目，以分類討論展示數(shù)學的應(yīng)用價值.總之，分類在生活中無處不在，為了使其數(shù)學味更濃，我們應(yīng)從數(shù)學的角度設(shè)計有效的探究活動，讓學生在應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的過程中，加深對分類討論思想的認知，讓他們深刻感悟到分類討論的必要性和有效性，從而真正實現(xiàn)其在數(shù)學認知活動中的價值.