數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)新策略

【摘 要】從教學(xué)設(shè)計和教學(xué)過程闡述數(shù)學(xué)歸納教學(xué)的新策略，設(shè)計好問題，提出問題，借助視頻和學(xué)生的實驗操作，讓學(xué)生自主探究、總結(jié)、理解數(shù)學(xué)歸納法的原理。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 多米諾骨牌 自主探究

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）03B-0108-02

為了更好地總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用情況，筆者就2015年秋季學(xué)期上的一節(jié)有關(guān)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的授課新策略進行闡述，以便得到同行的指正。本節(jié)課的授課對象是本校普通班的學(xué)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，推理能力及運算能力比較弱。針對這種情況，筆者從教學(xué)設(shè)計和教學(xué)過程兩方面進行新設(shè)計。

一、數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的新設(shè)計

在使用大綱版教材時，教學(xué)重點是讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)歸納法的格式：“兩個步驟一個結(jié)論”證明與正整數(shù)有關(guān)的命題。至于什么是數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)生不太理解。為了突破重難點，教師主要是通過“忽略了兩個步驟之一”的錯題練習(xí)讓學(xué)生在解題和糾錯過程中加深理解格式的套用方法。這最終會出現(xiàn)的結(jié)果是：能力較弱的學(xué)生在證明過程中通常會出現(xiàn)“忽視奠基步驟的作用”或“沒有利用歸納假設(shè)”等問題。在借鑒大量的資料基礎(chǔ)上，筆者決定將數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)設(shè)計為解決以下四個問題：（1）為什么要使用數(shù)學(xué)歸納法？（2）什么是數(shù)學(xué)歸納法？（3）什么時候使用數(shù)學(xué)歸納法？（4）怎樣正確使用數(shù)學(xué)歸納法？這樣的設(shè)計不僅加深學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，而且能更好地突破重難點，較好地完成了課程目標。

二、數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)新過程

上課時，先由引例開始。

在此基礎(chǔ)上提出：如果我們進一步把所有的項都求出來驗證滿足通項公式an 也可以，但是不具備操作性。能不能找到一種用有限的步驟卻能逐一驗證的方法？即我們能否構(gòu)造一種方法，借助“遞推關(guān)系”，用有限個步驟的推理，就能對所有的進行檢驗，證明 n 取所有正整數(shù)都成立。

在尋找解決問題的方法中我們往往可以從實踐經(jīng)驗中得到啟發(fā)。比如上面的問題在現(xiàn)實生活中可以找到影子，如多米諾骨牌游戲。由此筆者介紹多米諾骨牌，讓學(xué)生觀看多米諾骨牌的視頻。提出問題：使得所有的骨牌都倒下，必須滿足什么條件？

請同學(xué)們小組交流討論。此時發(fā)現(xiàn)有一個小組中的兩個同學(xué)正在用7本字典擺多米諾骨牌陣，筆者趁機請他們到講臺來展示。這是筆者沒有課前預(yù)設(shè)的。當時筆者課前預(yù)設(shè)的是讓學(xué)生再觀看Flash動畫：幾片骨牌，第一塊的倒下導(dǎo)致第二塊的倒下，第二塊的倒下導(dǎo)致第三塊的倒下，直到全部的骨牌倒下。當時筆者給學(xué)生交流討論的時間比較充足，讓他們積極主動地參與到學(xué)習(xí)中來，也因此才有這個“閃光點”，有了很好的課堂生成。當時筆者心里非常高興，決定不用課前的預(yù)設(shè)了，好好利用這一生成，讓學(xué)生自主探索，使課堂更活躍。

在學(xué)生回答第一個問題后，筆者繼續(xù)提出：你認為怎么做會使多米諾骨牌陣不完全倒下？這是一個好的問題。它不是提問“是或不是”“對或不對”，而是讓學(xué)生自主去探索思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決問題能力。通過兩個學(xué)生將條件補充完整后，又讓剛才的兩個學(xué)生動手操作：（1）拿走中間的一塊并推倒；（2）拿走第一塊骨牌后推倒。通過視頻與實驗操作，學(xué)生總結(jié)出：使得所有的骨牌都倒下必須滿足兩個條件：（1）第一塊先倒下；（2）前一塊倒下能壓到后一塊并導(dǎo)致后一塊倒下。筆者再乘勝追擊：只是某兩塊嗎？此時學(xué)生補充：相鄰的兩塊。此時補充（1）（2）兩個條件的作用，條件（1）起到了歸納奠基作用，條件（2）是給出一個遞推關(guān)系：第 k 塊倒下一定導(dǎo)致第 k+1 塊倒下。并將游戲“理想化”，由有限轉(zhuǎn)換成無限。通過這個環(huán)節(jié)不僅使學(xué)生理解了多米諾骨牌游戲的原理，而且也助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟“歸納奠基”“歸納遞推”的作用，為他們能更好地理解數(shù)學(xué)歸納法原理打下了堅實的基礎(chǔ)。

讓學(xué)生思考教科書第93頁的“思考”，將多米諾骨牌游戲與求數(shù)列的通項公式類比。通過引導(dǎo)，學(xué)生容易類比得出猜想成立的兩個條件：（1）n=1時猜想成立；（2）如果 n=k 時猜想成立，那么 n=k+1 時猜想也成立，而且必須得利用 n=k 這一假設(shè)（因為是前一塊倒下導(dǎo)致后一塊倒下），從而給出了數(shù)學(xué)歸納法的原理。為了加強知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，請學(xué)生用程序框圖去表示這一原理，進一步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的理解。

本節(jié)課較好地完成了課前的預(yù)設(shè)，也有一定的生成。本節(jié)較好地提出問題，讓學(xué)生自主探究，滲透類比思想方法。利用理解數(shù)學(xué)歸納法的無限思想，又把程序框圖知識再復(fù)習(xí)了一遍。這不僅能說明數(shù)學(xué)之間的內(nèi)容是相互關(guān)聯(lián)的，而且還能使得程序框圖知識螺旋上升。讓學(xué)生歸納總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺，而且明白步驟二具有傳遞性，總結(jié)出本節(jié)的重難點?！秾W(xué)記》中說：“君子之教，喻也。道而弗牽，強而弗抑，開而弗達，道而弗牽則和，強而弗抑則易，開而弗達則思，和易以思，可謂善喻也?！边@節(jié)課基本達到了這一思想。但仍然有兩個主要的遺憾。上完課后筆者查閱“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”第八次課題會成果，發(fā)現(xiàn)陶維林先生的一個說法，從數(shù)學(xué)歸納法“n=k”到“n=k+1”過程來看，當“n=k”時，盡管 k∈N*可以任取，一旦取定總歸是一個有限的數(shù)，“k+1”也是有限的數(shù)，但由于“n=k+1”有無窮盡的“+1”的過程，從而 n 走向了無限。筆者在課堂上僅僅讓學(xué)生類比多米諾骨牌游戲從而歸納出數(shù)學(xué)歸納法，接著再用程序框圖初步體會了無限的思想，沒有能像陶維林先生這么精準地提練出來。學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的理解還得進一步深化，還得加強無限思想的滲透。這本節(jié)課的第一個遺憾。第二個遺憾是本節(jié)課著重讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，學(xué)生也知道這兩個步驟缺一不可，清楚地認識到證明“n=k+1”時必須利用假設(shè)，可是怎么用？最終要轉(zhuǎn)化成怎么樣的形式，筆者只是一筆帶過。這使得中下水平的同學(xué)在第二步驟時，碰到了困難。筆者通過這一節(jié)課的教學(xué)對原理課的教學(xué)有了更深層次的認識，在今后的課堂中還要進一步發(fā)揮主導(dǎo)作用，提好問題，啟發(fā)引導(dǎo)好學(xué)生。

【參考文獻】

[1]陶維林.數(shù)學(xué)歸納法和它的教學(xué)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)高中版，2009（10）

[2]洪秀滿.理解教材 有效“對話”——以“數(shù)學(xué)歸納法”為例[J].中國數(shù)學(xué)教育，2013（20）

【作者簡介】謝玉瓊（1981— ）女，壯族，中教一級教師，廣西賓陽人，廣西民族師范學(xué)院附屬中學(xué)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 盧建龍）