數(shù)列綜合問題

何靜

摘 要：對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列混合交匯的綜合問題，突破的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活應(yīng)用其定義、性質(zhì)、通項(xiàng)、前 項(xiàng)和，并能熟記相關(guān)的“二手結(jié)論”。

關(guān)鍵詞：等差；等比；前 項(xiàng)和；性質(zhì)

數(shù)列是特殊的函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的接軌之處，因而深受高考命題人青睞，是每年高考的必考內(nèi)容。

縱觀近幾年的高考數(shù)列試題，我們可以看出高考命題主要圍繞以下方面進(jìn)行考查：

（1）數(shù)列自身內(nèi)部問題的綜合考查（如與的關(guān)系問題、遞推數(shù)列問題的考查一直是高考的熱點(diǎn)，求數(shù)列的通項(xiàng)與求數(shù)列的和是最常見的題目，數(shù)列求和與極限等綜合性探索性問題也考查較多）。

（2）構(gòu)造新數(shù)列思想，如“累加、累乘、錯(cuò)位相減、倒序相加、裂項(xiàng)求和”等方法的應(yīng)用與創(chuàng)新.

（3）數(shù)列與其他知識(shí)的交匯綜合考查，如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、三角、解析幾何等知識(shí)的綜合.

（4）數(shù)列的應(yīng)用問題，主要是增長率、分期付款等數(shù)列模型.

等差數(shù)列、等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個(gè)特殊數(shù)列，高考中考查的非等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，主要是將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列，進(jìn)而得解，其核心思想是轉(zhuǎn)化與化歸.在高考中，文科試題與解方程、求特殊數(shù)列的和有關(guān)，理科試題中數(shù)列與函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等的綜合問題是熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)過程中要加強(qiáng)邏輯思維能力與推理能力的訓(xùn)練與培養(yǎng).對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列混合交匯的綜合問題，突破的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活應(yīng)用其定義、性質(zhì)、通項(xiàng)、前項(xiàng)和，并能熟記相關(guān)的“二手結(jié)論”.本文通過幾道考查數(shù)列性質(zhì)的題與高考題目鏈接對(duì)比來分析數(shù)列在高考中的基本考向.

例1（人教A版必修5習(xí)題2.3B組第2題）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和.求證：，，也成等差數(shù)列。

這是一道反映等差數(shù)列基本量思想的題目，利用通項(xiàng)與前項(xiàng)和的公式很容易解答，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.由此得出的結(jié)論具有典型性和代表性：“已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，設(shè)，則有，，也成等差數(shù)列”.在選擇題、填空題中可作為“二手結(jié)論”直接使用，在高考中有不少試題可以體現(xiàn).

既然等差數(shù)列有這樣的結(jié)論，類比到等比數(shù)列，請(qǐng)問：等比數(shù)列是否也有類似的結(jié)論呢？通過類比引導(dǎo)學(xué)生再回顧課本，可得到等比數(shù)列也有類似的結(jié)論。

人教A版必修5習(xí)題2.5B組第2題就蘊(yùn)涵著等比數(shù)列前項(xiàng)和的這一重要性質(zhì)：已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：，，也成等比數(shù)列.

鏈接高考：（2010年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第10題）設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項(xiàng)和、前項(xiàng)和、前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是（ ）

A.B.

C.D.

此題可以直接用上面提煉出的結(jié)論，，（）也成等比數(shù)列，代入、化簡、整理即可解答.由此可以看出高考試題并不神秘，很多試題都直接或間接來源于課本，或是原題，或是變式題，或是直接由課本題提升而得的結(jié)論.這說明我們?cè)诟呖紡?fù)習(xí)中要緊扣教材、回歸教材、抓綱務(wù)本。

例2：成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上1，3，9后又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)。

此題充分將等差數(shù)列等比數(shù)列進(jìn)行了交匯結(jié)合.要解答此題，就需要引導(dǎo)學(xué)生分析入手點(diǎn)，即如何設(shè)出滿足條件的數(shù)列，可技巧性的設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為，直接求得.這不僅訓(xùn)練了學(xué)生已知三個(gè)數(shù)的和且成等差數(shù)列的技巧設(shè)法，而且將基本量思想和方程思想也進(jìn)行了綜合訓(xùn)練.由此讓學(xué)生歸納總結(jié)出一般規(guī)律：

（1）若已知奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并知道其和，可設(shè)這個(gè)等差數(shù)列為…，，…（公差為）；

（2）若已知偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并知道其和，可設(shè)這個(gè)等差數(shù)列為…，，…（公差為）；

再啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考：若已知個(gè)數(shù)成等比數(shù)列并知道其積，又如何設(shè)該數(shù)列呢？

例3：有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是37，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是36，求這四個(gè)數(shù).

這是一道有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，可以讓學(xué)生體會(huì)在等差數(shù)列、等比數(shù)列中方程思想的應(yīng)用.可根據(jù)前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列設(shè)其為；或根據(jù)后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其為；或設(shè)其為等，讓學(xué)生感受利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)靈活設(shè)元而得到的不同的解法.然后由學(xué)生比較、總結(jié)，得出簡潔合理的最優(yōu)化運(yùn)算途徑，以此培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念分析問題、解決問題的能力，既培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，又培養(yǎng)學(xué)生思維的聚合性.

鏈接高考：（2011年高考數(shù)學(xué)湖北卷文科第17題）成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2，5，13后成為等比數(shù)列中的.

求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。

本題涉及等差數(shù)列，等比數(shù)列及其求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的基本運(yùn)算能力和推論論證能力，難度適中，是一道好題.解題的關(guān)鍵是尋找如何設(shè)出此數(shù)列，找到突破口問題就簡單多了.基本量法求解等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)問題是基本功，必須過關(guān)，其求解的基本思路是：需要緊扣等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)，做出合理的分析與比較，根據(jù)他們的五個(gè)基本量（）的內(nèi)在關(guān)系及題目中的條件建立方程（組），通過解方程（組）尋找突破口求解相關(guān)問題。

例4：有兩個(gè)等差數(shù)列，，，求.

解：設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和為，.

此題看似平凡，實(shí)則是一道難得的好題，它將等差數(shù)列的通項(xiàng)、前項(xiàng)和及性質(zhì)進(jìn)行了綜合復(fù)習(xí)，并體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想和構(gòu)造法，體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的綜合.解法1用的是構(gòu)造法，要注意性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”的正確使用；解法2用的是待定系數(shù)法，充分利用了等差數(shù)列前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)形式；解法3利用了等差數(shù)列前項(xiàng)的和與通項(xiàng)之間蘊(yùn)涵的一個(gè)關(guān)系：是等差數(shù)列，，此式在選擇題、填空題中可作為“二手結(jié)論”直接使用。

由此題再啟發(fā)學(xué)生思考：設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和為，，且滿足（1）如何求？（2）如何求？進(jìn)而得出一般性結(jié)論：

鏈接高考：（2009年高考數(shù)學(xué)海南/寧夏卷理科第16題）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則=.

解數(shù)列綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，通過給定信息的表象，只有抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，才能明確解題方向，形成解題策略。