NA序列部分和之隨機(jī)和的中心極限定理

鄒廣玉

(長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春130012)

?

NA序列部分和之隨機(jī)和的中心極限定理

鄒廣玉

(長(zhǎng)春工程學(xué)院 理學(xué)院， 吉林 長(zhǎng)春130012)

摘要:部分和之隨機(jī)和在理論和實(shí)際中有著重要價(jià)值，中心極限定理則給出了它的漸近分布.利用前人得到的NA序列部分和之和的中心極限定理和部分和最大值的矩不等式,獲得了NA序列部分和之隨機(jī)和的中心極限定理，形成了與獨(dú)立同分布情形對(duì)應(yīng)的結(jié)果，并應(yīng)用所得結(jié)論給出一類隨機(jī)函數(shù)隨機(jī)和的中心極限定理.

關(guān)鍵詞：NA序列；部分和之和；中心極限定理；隨機(jī)函數(shù)

定義 稱隨機(jī)變量{Xi,i∈I}是負(fù)相伴(NA)的,如果對(duì)于I的任意不交子集A、B,有Cov(g(Xi,i∈A),h(Xj,j∈B))≤0,其中I={1,… ,n}，g與h是任何兩個(gè)使得協(xié)方差存在且對(duì)每個(gè)變?cè)墙档暮瘮?shù).

稱隨機(jī)變量序列{Xi,i≥1}是NA的,如果對(duì)任何n≥2,X1,…,Xn都是NA的.

NA序列的概念最早由Alam和Saxena[8]提出，它是包含獨(dú)立隨機(jī)變量列在內(nèi)的重要相依類型，在可靠性理論、多元統(tǒng)計(jì)分析等有重要應(yīng)用.

1若干引理

設(shè){Xn,n≥1}為NA隨機(jī)變量列，記

引理2[6]設(shè){Xn,n≥1}為均值為0的嚴(yán)平穩(wěn)NA隨機(jī)變量序列，滿足下面條件：

(3) 對(duì)某個(gè)δ>0,E|X1|2+δ<∞，

則

引理3在引理2的條件下有

2主要結(jié)論

定理1設(shè){Xn,n≥1}為滿足引理2條件的NA隨機(jī)變量序列，{τn,n≥1}是取正整數(shù)值的隨機(jī)變量，滿足

(1)

其中a是正常數(shù)，則有

(2)

(3)

證明：先證式(2).記tn=[an]，注意到

(4)

事實(shí)上，由馬爾可夫不等式和引理1，有

P{|τn-tn|>tnδ}≤

P{|τn-tn|>tnε}≤

P{|τn-tn|>tnε}≤

P{|τn-tn|>tnε}≤

P{|τn-tn|>tnε}≤

P{|τn-tn|>tnε}.

(5)

式(3)的證明與上面完全類似，從略.

3應(yīng)用

設(shè)Wn=Wn(X1,X2,…,Xn)是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)(或統(tǒng)計(jì)量)，可以表示成

Wn=Sn+Rn,

(6)

其中Rn稱為余項(xiàng).很多常用的隨機(jī)函數(shù)(或統(tǒng)計(jì)量)都可表示成式(6)的形式,例如U統(tǒng)計(jì)量、Von-Mises統(tǒng)計(jì)量、線性模型的誤差方差估計(jì)量、移動(dòng)平均過程等.下面討論這類統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)和的漸近分布.

證明:由定理1知

下面說明

(7)

P{τn>2tn}≤

P{τn>2tn}≤

P{o(1)≥ε}+P{τn>2tn}→0,n→∞.

這就證明了式(7)，再由Slutsky定理可知定理2成立.

4結(jié)論

中心極限定理一直都是概率極限理論研究的中心問題之一，前人在一定條件下獲得了NA序列部分和之和的中心極限定理，本文在同樣的條件下將其推廣為部分和之隨機(jī)和的中心極限定理，拓寬了定理的適用范圍，并形成了與獨(dú)立同分布情形對(duì)應(yīng)的結(jié)果.作為應(yīng)用，還得出了一類隨機(jī)函數(shù)隨機(jī)和的中心極限定理.

參考文獻(xiàn)：

[1]RESNICK S I.Limit Laws for Record Values[J].Stochastic Processes and Their Applications，1973，1(1):67-82.

[2]ARNOLD B C，VILLASENOR J A.The Asymptotic Distributions of Sums of Records[J].Extremes，1999，1(3):351-363.

[3]江濤，林日其.I.I.D.隨機(jī)變量部分和之和的極限定理[J].淮南工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，22(2):73-75.

[4]江濤，蘇淳，唐啟鶴.I.I.D.隨機(jī)變量部分和之隨機(jī)和的極限定理[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，31(4):394-399.

[5]宇世航.同分布NA 序列部分和之和的強(qiáng)大數(shù)定律[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2008，43(4):62-66.

[6]宇世航，張銳梅.NA 序列部分和之和的中心極限定理[J].高師理科學(xué)刊，2007，27(3):1-4.

[7]蘭沖鋒，吳群英.隨機(jī)變量序列部分和之和的完全收斂性[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2014(1):72-75.

[8]ALAM K,SAXENA K M L.Positive Dependence in Multivariate Distributions[J].Comm.Statist.Theory Math，1981,10(12):1183-1196.

Central Limit Theorem for Random Sum of Partial Sums of NA Sequences

ZOU Guang-yu

(Changchun Institute of Technology, Changchun 130012, China)

Abstract:Random sum of partial sums was of great value in theory and practice ,and its asymptotic distribution was given by the central limit theorem.With the help of the central limit theorem for sum of partial sums and moment inequality for the maximum of partial sum of NA sequences,the central limit theorem for random sum of partial sums of NA sequences was obtained,which corresponded to the result on the I.I.D case.Then by the conclusion given above,a central limit theorem of random sum for a class of random functions was obtained.

Key words:NA sequences;sum of partial sums;central limit theorem;random functions

中圖分類號(hào)：O211.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.3969/j.issn.2095-2198.2016.01.017

文章編號(hào)：2095-2198(2016)01-0086-04

作者簡(jiǎn)介：鄒廣玉(1982-)，男，吉林通化人，博士，講師，主要從事概率極限理論的研究.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11401090)；吉林省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目(120120113)；長(zhǎng)春工程學(xué)院青年基金項(xiàng)目(320130019)

收稿日期：2014-09-03